高考一轮复习专题22 利用导数证明不等式(原卷版)无答案

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专题22 利用导数证明不等式【知识总结】1、待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证。 2、隔离分析法往往要在前面问题中证明出某个不等式，在后续的问题中应用前面的结论，呈现出层层递进的特点。 3、若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标。【例题讲解】考点：不等式的证明方向1：移项作差构造法【例1】已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直。(1)求a，b的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥。【变式训练】　已知函数f(x)＝xlnx－ex＋1。(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)证明：f(x)<sinx在(0，＋∞)上恒成立。方向2：特征分析法【例2】)已知函数f(x)＝ax－lnx－1。(1)若f(x)≥0恒成立，求a的最小值；(2)证明：＋x＋lnx－1≥0；(3)已知k(e－x＋x2)≥x－xlnx恒成立，求k的取值范围。【变式训练】　已知函数f(x)＝ln(x－1)－k(x－1)＋1。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；(3)证明：＋＋＋…＋<(n∈N*且n>1)。方向3：隔离分析法【例3】已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)。(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0。【变式训练】　已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)当a＝1时，求f(x)的极值，并证明f(x)>g(x)＋恒成立；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。【例题训练】一、多选题1．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（    ）A． B． C． D．2．下列不等式正确的是（    ）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，3．已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（    ）A． B．C．是R上的增函数 D．，则有二、解答题4．已知函数，，若最小值为0.（1）求实数的值；（2）设，证明：.5．已知函数，.（1）当时，求函数的最大值；（2）设，当，且，求证：.6．已知函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，证明：；（2）设实数，是函数的两个零点，求实数的取值范围．7．已知，当时恒成立．（1）求实数的取值范围；（2）当时，求证：．8．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求证：.9．已知函数.(1)若只有一个极值点，求的取值范围.(2)若函数存在两个极值点，记过点的直线的斜率为，证明：.10．函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当，时，证明：.11．已知函数．（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，求证：．12．函数.（1）若，求的单调性；（2）当时，若函数有两个零点，求证：.13．已知函数．（1）试讨论的单调性；（2）若，证明：．14．已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）若对任意恒有不等式成立.①求实数的值；②证明：.15．已知a＞0，函数．（1）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围；（2）当x＞1时，求证：．（e＝2.718…）16．已知函数，.（1）判断函数的单调性；（2）若，判断是否存在实数，使函数的最小值为2？若存在求出的值；若不存在，请说明理由；（3）证明：.17．已知函数.（1）求证：；（2）函数，有两个不同的零点，.求证：.18．已知函数，.（1）若函数在区间内是增函数，求的取值范围；（2）证明：.19．已知函数.（1）若a= -2，求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证.20．（1）当时，求证：；（2）若对于任意的恒成立，求实数k的取值范围；（3）设a>0，求证；函数在上存在唯一的极大值点，且.