2021年吉林省长春市朝阳区中考数学二模试卷 解析版

这是一份2021年吉林省长春市朝阳区中考数学二模试卷 解析版，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若等式3□（﹣4）＝﹣1成立，则“□”内的运算符号是（ ）
A．+B．﹣C．×D．÷
2．（3分）国家统计局1月18日公布，初步核算，2020我国国内生产总值（GDP）首次突破100万亿元，约为1016000亿元，其中1016000亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.016×105B．1016×1010C．1.016×1014D．1.016×1012
3．（3分）一个正方体的六个面分别标有六个不同的点数，其展开图如图所示，则该正方体可能是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4B．a2•a2＝2a2C．（a3）2＝a5D．a8÷a4＝a4
5．（3分）设“●”、“▲”、“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么“■”、“▲”、“●”这三种物体按质量从大到小的排列顺序为（ ）
A．■●▲B．■▲●C．▲●■D．▲■●
6．（3分）如图，过直径AB延长线上的点C作⊙O的切线，切点为D，若AC＝7，AB＝4，则sinC＝（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝75°，∠A＝60°，AB＝2．按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN交AC于点D，则CD的长为（ ）
A．B．2C．+1D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上，连结OA，过点A作AB平行于x轴，点B在点A的右侧，连结OB交该函数的图象于点C，连结AC，若OC＝2BC，且△OAC的面积为，则k的值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：（）2﹣（）0＝ ．
10．（3分）命题“同位角相等”是 命题（填“真”或“假”）．
11．（3分）某种苹果的售价是每千克x元，打7折销售后每千克 元．
12．（3分）如图，正五边形ABCDE和正六边形EFGHMN的边CD、FG在直线l上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在l的同侧，则∠DEF的大小是 度．
13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，分别以点A和点B为圆心、AB长为半径作圆弧，两弧交于点C和点D，若AB＝2，则图中阴影部分图形的周长和为 ．（结果保留π）
14．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（2，0）和点B（4，0），若P（5，y1）、Q（m，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，则m的取值范围是 ．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：2（a2﹣5）﹣（a+1）（a﹣1），其中a＝．
16．（6分）“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小明得到了A、B、C三枚纪念章，如图，A、B、C三枚纪念章正面上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”和“天宫一号”的图案，三枚纪念章除正面图案不同外，其余均相同，小明将这三枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取一枚，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上至少有一张印有“嫦娥五号”图案的概率．
17．（6分）为迎接母亲节，某花店老板决定将玫瑰花每枝降价1元促销，降价后，30元可购买玫瑰花的数量是原来可购买玫瑰花数量的1.5倍．求降价后每枝玫瑰花的售价．
18．（7分）图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法，所画的图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中画一个△ABC，使其面积为2．
（2）在图②中画一个△ABD，使其面积为4．
（3）在图③中画一个四边形ABEF，使其面积为5．
19．（7分）某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了8次跳高选拔比赛，他们的原始成绩（单位：cm）如表：
两名同学的8次跳高成绩数据分析如下表：
根据图表信息回答下列问题：
（1）求出a、b、c、d的值；
（2）这两名同学中， 的成绩更为稳定；（填甲或乙）
（3）若预测跳高165cm就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择哪位同学参赛，并说明理由．
20．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的一点，分别过点A、B作BD、AD的平行线交于点E，且AB平分∠EAD．
（1）求证：四边形EADB是菱形；
（2）连接EC，当∠BAC＝60°，BC＝2时，求△ECB的面积．
21．（8分）甲同学骑共享单车保持匀速从家到公园，到达公园后休息了一会，以相同的速度原路骑共享单车返回家中．设甲同学距离家的路程为y（m），运动时间为x（min），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）a＝ ．
（2）在甲同学从公园返回家的过程中，求y与x之间的函数关系式．
（3）在甲同学从家出发的同时，乙同学以100m/min的速度从公园匀速步行去甲同学家学习，当乙同学与甲同学之间的路程为200m时，直接写出甲同学的运动时间．
22．（9分）【问题原型】如图①，四边形ABDE、AGFC都是正方形，AB＞AC，连结CE、BG．
求证：BG＝CE．
【发现结论】如图②，设图①中的直线CE与直线BG交于点H．
求证：EH⊥BG．
【结论应用】将图①中的正方形AGFC绕着点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°），在整个旋转过程中，当点E、C、G三点在同一条直线上时，若AB＝3，AC＝2，借助图①，直接写出BG的长．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，D为边AB的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AC→CB向终点B运动．当点P不与点C重合时，连结PD，以CP，PD为边作▱CPDE，设点P的运动时间为t秒．
（1）C、D两点之间的距离为 ；
（2）当点E落在边BC上时，求▱CPDE的周长；
（3）当点P在边BC上运动时，若四边形CPDE是轴对称图形，求t的值；
（4）设▱CPDE的对角线的交点为O，点D关于对角线PE的对称点为D'，连结OD'，当OD′⊥CD时，直接写出t的值．
2021年吉林省长春市朝阳区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）若等式3□（﹣4）＝﹣1成立，则“□”内的运算符号是（ ）
A．+B．﹣C．×D．÷
【分析】把运算符合放入“□”内检验即可．
【解答】解：∵3+（﹣4）＝﹣1，
∴等式3□（﹣4）＝﹣1成立，“□”内的运算符号是+．
故选：A．
2．（3分）国家统计局1月18日公布，初步核算，2020我国国内生产总值（GDP）首次突破100万亿元，约为1016000亿元，其中1016000亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.016×105B．1016×1010C．1.016×1014D．1.016×1012
【分析】根据把一个大于10的数记成a×10n的形式的方法进行求解，即可得出答案．
【解答】解：1016000亿＝101600000000000＝1.016×1014．
故选：C．
3．（3分）一个正方体的六个面分别标有六个不同的点数，其展开图如图所示，则该正方体可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：A、“5”的对面是“2”，故本选项错误；
B、“6”的对面是“1”，故本选项错误；
C、符合，故本选项正确；
D、“5”的对面是“2”，故本选项错误．
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4B．a2•a2＝2a2C．（a3）2＝a5D．a8÷a4＝a4
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故本选项不合题意；
B、a2•a2＝a4，故本选项不合题意；
C、（a3）2＝a6，故本选项不合题意；
D、a8÷a4＝a4，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）设“●”、“▲”、“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么“■”、“▲”、“●”这三种物体按质量从大到小的排列顺序为（ ）
A．■●▲B．■▲●C．▲●■D．▲■●
【分析】设▲、●、■的质量为a、b、c，根据图形，可列出不等式和等式，由此可将质量从大到小排列．
【解答】解：设▲、●、■的质量为a、b、c，
由图形可得：，
由①得：c＞a，
由②得：a＝2b，
故可得c＞a＞b．
所以这三种物体按质量从大到小的排列顺序为■▲●．
故选：B．
6．（3分）如图，过直径AB延长线上的点C作⊙O的切线，切点为D，若AC＝7，AB＝4，则sinC＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意求出半径、OC，根据切线的性质定理得到∠ODC＝90°，根据正弦的定义计算即可．
【解答】解：OA＝OB＝AB＝2，
∴OC＝AC﹣OA＝5，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，即∠ODC＝90°，
∴sinC＝＝，
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝75°，∠A＝60°，AB＝2．按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN交AC于点D，则CD的长为（ ）
A．B．2C．+1D．
【分析】先利用三角形内角和计算出∠C＝45°，再利用基本作图和线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，所以∠DBC＝∠C＝45°，则∠ADB＝90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出AD、BD，从而得到CD的长．
【解答】解：∵∠ABC＝75°，∠A＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
由作法得MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝45°，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝90°，
在Rt△ABD中，∵∠A＝60°，
∴AD＝AB＝1，
∴DB＝AD＝，
∴DC＝．
故选：D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上，连结OA，过点A作AB平行于x轴，点B在点A的右侧，连结OB交该函数的图象于点C，连结AC，若OC＝2BC，且△OAC的面积为，则k的值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
【分析】过点C作CE∥x轴交y轴于点E，延长BA交y轴于D，根据OC＝2BC，可得S△ABC＝，根据反比例函数y＝（k≠0）的|k|的几何意义可得S△OAD＝S△OCE＝k，从而得出：S△OBD＝k+5，再由△OcE∽△OBD，依据相似三角形性质列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点C作CE∥x轴交y轴于点E，延长BA交y轴于D，
∵OC＝2BC，且△OAC的面积为，
∴S△ABC＝，
∵AB∥x轴，CE∥x轴，
∴S△OAD＝S△OCE＝|k|＝k，
∴S△OBD＝S△OAD+S△AOC+S△ABC＝k++＝k+5，
∵CE∥BD，
∴△OCE∽△OBD，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴＝，
解得：k＝8，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：（）2﹣（）0＝ 1 ．
【分析】根据二次根式的性质和零次幂可得答案．
【解答】解：（）2﹣（）0＝2﹣1＝1．
故答案为：1．
10．（3分）命题“同位角相等”是 假 命题（填“真”或“假”）．
【分析】两直线平行，同位角相等，如果没有前提条件，并不能确定同位角相等，由此可作出判断．
【解答】解：两直线平行，同位角相等，
命题“同位角相等”是假命题，因为没有说明前提条件．
故答案为：假．
11．（3分）某种苹果的售价是每千克x元，打7折销售后每千克 0.7x 元．
【分析】利用售价×折扣＝打折后销售价格解答即可．
【解答】解：某种苹果的售价是每千克x元，打7折销售后每千克0.7x元，
故答案为：0.7x．
12．（3分）如图，正五边形ABCDE和正六边形EFGHMN的边CD、FG在直线l上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在l的同侧，则∠DEF的大小是 48 度．
【分析】解法一：根据多边形内角和公式，分别求出正五边形和正六边形的内角度数，即可得∠EDF和∠EFD的度数，再根据三角形的内角和定理即可得出答案；
解法二，根据多边形的外角和是360°，分别求出∠EDF和∠EFD的度数，再根据三角形的内角和是180°，从而得出∠DEF的度数．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴每个内角度数为＝108°．
∴∠EDC＝108°，
∴∠EDF＝72°，
同理可得正六边形BFGHMN每个内角度数为120°．
∴∠EFG＝120°，
∴∠EFD＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EDF﹣∠EFD＝180°﹣72°﹣60°＝48°．
解法二：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EDF＝72°，
∵六边形EFGHMN是正六边形，
∴∠EFD＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EDF﹣∠EFD＝180°﹣72°﹣60°＝48°；
故答案为：48．
13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，分别以点A和点B为圆心、AB长为半径作圆弧，两弧交于点C和点D，若AB＝2，则图中阴影部分图形的周长和为 π ．（结果保留π）
【分析】利用作法得到BC＝BA＝AC＝BD＝AD，则△ACB和△ADB都是等边三角形，所以∠ABC＝∠ABD＝60°，然后根据弧长公式计算图中弧CAD的长．
【解答】解：连接AC、BC、DA、DB，如图，
由作法得BC＝BA＝AC＝BD＝AD＝2，
∴△ACB和△ADB都是等边三角形，
∴∠ABC∠BAC＝∠BAD＝∠ABD＝60°，
∴图中的长＝的长＝＝π，
⊙O的周长＝2π×1＝2π，
∴图中阴影部分图形的周长和为：π+π+2π＝π．
故答案为：π．
14．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（2，0）和点B（4，0），若P（5，y1）、Q（m，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，则m的取值范围是 1＜m＜5 ．
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，即可求得点P（5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点为（1，y1），根据点的坐标特征即可得出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝3，函数图象开口向上，
∴点P（5，y1）关于直线x＝3的对称点为（1，y1），
∵y1＞y2，
∴1＜m＜5，
故答案为：1＜m＜5．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：2（a2﹣5）﹣（a+1）（a﹣1），其中a＝．
【分析】原式利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2a2﹣10﹣（a2﹣1）
＝2a2﹣10﹣a2+1
＝a2﹣9，
当a＝时，原式＝5﹣9＝﹣4．
16．（6分）“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小明得到了A、B、C三枚纪念章，如图，A、B、C三枚纪念章正面上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”和“天宫一号”的图案，三枚纪念章除正面图案不同外，其余均相同，小明将这三枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取一枚，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上至少有一张印有“嫦娥五号”图案的概率．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中小明两次抽到图案上至少有一张印有“嫦娥五号”图案的结果数为5，
则小明两次抽到图案上至少有一张印有“嫦娥五号”图案的概率是．
17．（6分）为迎接母亲节，某花店老板决定将玫瑰花每枝降价1元促销，降价后，30元可购买玫瑰花的数量是原来可购买玫瑰花数量的1.5倍．求降价后每枝玫瑰花的售价．
【分析】设降价后每枝玫瑰花的售价是x元，则每支玫瑰花的原价是（x+1）元，利用数量＝总价÷单价，结合降价后用30元可购买玫瑰花的数量是原来可购买玫瑰花数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出降价后每枝玫瑰花的售价．
【解答】解：设降价后每枝玫瑰花的售价是x元，则每支玫瑰花的原价是（x+1）元，
依题意得：＝1.5×，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意．
答：降价后每枝玫瑰花的售价是2元．
18．（7分）图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法，所画的图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中画一个△ABC，使其面积为2．
（2）在图②中画一个△ABD，使其面积为4．
（3）在图③中画一个四边形ABEF，使其面积为5．
【分析】（1）取格点C，连接AC，BC，利用三角形的面积计算方法得出符合题意的图形；
（2）在（1）的基础上作点A关于BC的对称点D即可；
（3）在（2）的基础上增加一个面积为1的三角形即可．
【解答】解：（1）取格点C，连接AC，BC，
如图所示，△ABC即为所求，
∵AC＝，BC＝2，AB＝＝，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴S＝2；
（2）如图所示，△ABD即为所求，
（3）如图所示，四边形ABEF即为所求．
19．（7分）某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了8次跳高选拔比赛，他们的原始成绩（单位：cm）如表：
两名同学的8次跳高成绩数据分析如下表：
根据图表信息回答下列问题：
（1）求出a、b、c、d的值；
（2）这两名同学中， 甲 的成绩更为稳定；（填甲或乙）
（3）若预测跳高165cm就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择哪位同学参赛，并说明理由．
【分析】（1）利用平均数、众数及中位数的定义分别求得a、b、c的值即可；
（2）方差越大，波动性越大，成绩越不稳定，反之也成立；
（3）比较一下甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛的成绩，看谁的成绩在1.65或1.65米以上的次数多，就选哪位运动员参赛．
【解答】解：（1）a＝×（169+165+168+169+172+173+169+167）＝169；
b＝×（169+169）＝169；
∵169出现了3次，最多，
∴c＝169，
d＝×[2×（169﹣169）2+（165﹣169）2+（167﹣169）2+（168﹣169）2+（172﹣169）2+（173﹣169）2]＝5.75；
（2）∵甲的方差小于乙的方差，
∴甲的成绩更稳定，
故答案为：甲；
（3）应选择甲，理由如下：
若跳高1.65米就获得冠军，那么成绩在1.65或1.65米以上的次数甲多，则选择甲．
20．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的一点，分别过点A、B作BD、AD的平行线交于点E，且AB平分∠EAD．
（1）求证：四边形EADB是菱形；
（2）连接EC，当∠BAC＝60°，BC＝2时，求△ECB的面积．
【分析】（1）根据已知条件求得四边形EADB是平行四边形，根据角平分线定义得到∠EAB＝∠DAB，根据平行线的性质得到∠EAB＝∠DBA，于是得到结论；
（2）解直角三角形和根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BE，AE∥BD，
∴四边形EADB是平行四边形，
∵AB平分∠EAD，
∴∠EAB＝∠DAB，
∵AE∥BD，
∴∠EAB＝∠DBA，
∴∠DAB＝∠DBA，
∴AD＝BD．
∴四边形EADB是菱形；
（2）解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC＝2，
∴tan60°＝＝，
∴AC＝2，
∴S△ACB＝AC•BC＝×2×2＝2，
∵AE∥BC，
∴S△ECB＝S△ACB＝2．
21．（8分）甲同学骑共享单车保持匀速从家到公园，到达公园后休息了一会，以相同的速度原路骑共享单车返回家中．设甲同学距离家的路程为y（m），运动时间为x（min），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）a＝ 14 ．
（2）在甲同学从公园返回家的过程中，求y与x之间的函数关系式．
（3）在甲同学从家出发的同时，乙同学以100m/min的速度从公园匀速步行去甲同学家学习，当乙同学与甲同学之间的路程为200m时，直接写出甲同学的运动时间．
【分析】（1）根据题意，从家到公园与公园回家的路程和速度相等，则所用时间也相等，进而根据图象列式求解即可；
（2）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将图象中的两个点代入解析式求得k、b即可求解；
（3）本题需要进行分类讨论，分别以当甲同学在前往公园的途中，与乙同学相遇前，甲乙相距200m，当甲同学在前往公园的途中，与乙同学相遇后，甲乙相距200m，当甲同学在返回家中的途中，当乙同学已经到达甲同学家时，甲乙相距2000﹣200×（20﹣14）＝800m为三种情况列式求解即可得解．
【解答】解：（1）根据题意，从家到公园与公园回家的路程和速度相等，则所用时间也相等，
∴24﹣a＝10﹣0，
∴a＝14，
故答案为：14；
（2）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将（14，2000）与（24，0）代入得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣200x+4800；
（3）根据题意，公园到甲同学家的距离为2000m，乙同学从公园匀速步行去甲同学家速度为10m/min，当x＝0时，y＝2000，当x＝20时，y＝0，
∴对应的函数解析式为：y＝﹣100x+2000，
甲同学从家去往公园的途中，对应的函数解析式为：y＝200x，
①当甲同学在前往公园的途中，与乙同学相遇前，甲乙相距200m，
∴﹣100x+2000﹣200x＝200，解得x＝6；
②当甲同学在前往公园的途中，与乙同学相遇后，甲乙相距200m，
∴200x﹣（﹣100x+2000）＝200，解得x＝，
③当甲同学在返回家中的途中，当乙同学已经到达甲同学家时，甲乙相距2000﹣200×（20﹣14）＝800m，
∴200（t﹣14）+200＝2000，解得x＝23，
∴综上所述：x的值为6或或23．
22．（9分）【问题原型】如图①，四边形ABDE、AGFC都是正方形，AB＞AC，连结CE、BG．
求证：BG＝CE．
【发现结论】如图②，设图①中的直线CE与直线BG交于点H．
求证：EH⊥BG．
【结论应用】将图①中的正方形AGFC绕着点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°），在整个旋转过程中，当点E、C、G三点在同一条直线上时，若AB＝3，AC＝2，借助图①，直接写出BG的长．
【分析】【问题原型】由正方形的性质可得AB＝AE，AG＝AC，∠CAG＝∠EAB＝90°，通过△ABG≌△AEC证明BG＝CE；
【发现结论】设EH交AB于点I，由全等三角形的对应角相等和对顶角相等，证明∠HBI+∠BIH＝∠AEI+∠EIA＝90°，从而证明EH⊥BG；
【结论应用】根据【发现结论】的结论，EH⊥BG，点E、C、G三点在同一条直线上分两种情况，即点B与点A在直线CE的异侧、点B与点A在直线CE的同侧，在△EBG中由勾股定理列方程即可求出BG的长．
【解答】【问题原型】证明：如图1，∵四边形ABDE、AGFC都是正方形，
∴AB＝AE，AG＝AC，∠CAG＝∠EAB＝90°，
∴∠BAG＝∠EAC＝90°﹣∠BAC，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE．
【发现结论】证明：如图2，设EH交AB于点I，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠HBI＝∠AEI，
∵∠BIH＝∠EIA，
∴∠HBI+∠BIH＝∠AEI+∠EIA＝90°，
∴∠BHI＝90°，
∴EH⊥BG．
【结论应用】如图3，点B与点A在直线CE的异侧，
由【发现结论】得EH⊥BG，
∵E、C、G三点在同一条直线上，直线CE与直线BG交于点H．
∴点G在直线EH上，
∴点H与点G重合，
∴∠BGE＝90°，
∵∠BAE＝∠CAG＝90°，AB＝AE＝3，AG＝AC＝2，
∴BE＝＝＝，CG＝＝＝，
设BG＝CE＝x，
∵BG2+EG2＝BE2，
∴x2+（x+）2＝（）2，
解得x1＝，x2＝（不符合题意，舍去），
∴BG＝；
如图4，点B与点A在直线CE的同侧，E、C、G三点在同一条直线上，
∵四边形ABDE、AGFC都是正方形
∴AB＝AE，AG＝AC，∠CAG＝∠EAB＝90°，
∴∠BAG＝∠EAC＝90°+∠EAG，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，∠ABG＝∠AEC，
设BG交AE于点K，则∠AKB＝∠GKE，
∴∠AEC+∠GKE＝∠ABG+∠AKB＝90°，
∴∠BGE＝90°，
设BG＝CE＝x，
∵BG2+EG2＝BE2，
∴x2+（x﹣）2＝（）2，
x1＝，x2＝（不符合题意，舍去），
BG＝，
综上所述，BG的长为或．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，D为边AB的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AC→CB向终点B运动．当点P不与点C重合时，连结PD，以CP，PD为边作▱CPDE，设点P的运动时间为t秒．
（1）C、D两点之间的距离为 5 ；
（2）当点E落在边BC上时，求▱CPDE的周长；
（3）当点P在边BC上运动时，若四边形CPDE是轴对称图形，求t的值；
（4）设▱CPDE的对角线的交点为O，点D关于对角线PE的对称点为D'，连结OD'，当OD′⊥CD时，直接写出t的值．
【分析】（1）连结CD，则CD是直角三角形斜边上的中线，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可求得CD的长，即C、D两点之间的距离；
（2）当点E落在BC边上时，则PD∥BC，由“平行线分线段成比例定理”可证明PA＝PC，则PD是△ABC的中位线，可求出PC、PD的长，进而求出平行四边形CPDE的周长；
（3）点P在BC边上，按四边形CPDE是菱形或矩形分类讨论，过点P作AC或BC的垂线，根据三角形的中位线定理和勾股定理列方程求出相应的t的值；
（4）按点P在AC边上或点P在BC边上分类讨论，过点P作CD的垂线构造与△ABC相似的直角三角形和等腰直角三角形，再列方程求出相应的t的值．
【解答】解：（1）当图1，连结CD，
∵Rt△ABC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AB＝10，
∴CD＝AB＝×10＝5，
∴C、D两点之间的距离是5，
故答案为：5．
（2）如图2，∵四边形CPDE是平行四边形，
∴PD∥CE，
∵点E在BC上，
∴PD∥BC，
∵AD＝BD
∴，
∴AP＝CP，
∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∴CP＝AC＝3，PD＝BC＝4，
∴2（CP+PD）＝2×（3+4）＝14，
∴平行四边形CPDE的周长为14．
（3）如图3，点P在BC边上，且PD＝PC，则四边形CPDE是菱形，
∴四边形CPDE是轴对称图形，
作DG⊥BC于点G，则∠PGD＝∠BGD＝∠ACB＝90°，
∴DG∥AC，
∴，
∴CG＝GB＝BC＝4，
∴DG＝AC＝3，PG＝10﹣2t，PD＝PC＝2t﹣6，
∵PG2+DG2＝PD2，
∴（10﹣2t）2+32＝（2t﹣6）2，
解得t＝，
如图4，点P在BC边上，点E落在AC边上，则∠PCE＝90°，
∴四边形CPDE是矩形，
此时四边形CPDE是轴对称图形，
∵PD∥AC，
∴，
∴CP＝BP＝BC＝4，
∴2t﹣6＝4，
解得t＝5，
综上所述，t的值为或5．
（4）如图5，点P在AC边上，连结PE、CD，则PE与CD相交于点O，
连结D′E，作PI⊥CD于点I，则∠PIC＝∠PIO＝90°，
∵OD′⊥CD，
∴∠DOD′＝90°，
∵△ODE与△OD′E关于直线PE对称，
∴∠POI＝∠DOE＝∠D′OE＝∠DOD′＝45°，
∴∠OPI＝∠POI＝45°，
∵CD＝AD＝BD＝AB＝5，
∴OC＝CD＝×5＝，∠DCA＝∠A，
∴＝sin∠DCA＝sinA＝＝，＝cs∠DCA＝csA＝＝，
∴OI＝PI＝（6﹣2t），CI＝（6﹣2t），
∴（6﹣2t）+（6﹣2t）＝，
解得t＝；
如图6，点P在BC边上，连结PE、CD，则PE与CD相交于点O，
连结D′E，作PI⊥CD于点I，则∠PIC＝∠PIO＝90°，
∵OD′⊥CD，
∴∠DOD′＝90°，
∵△ODE与△OD′E关于直线PE对称，
∴∠POI＝∠DOE＝∠D′OE＝∠DOD′＝45°，
∴∠OPI＝∠POI＝45°，
∵CD＝AD＝BD＝AB＝5，
∴OC＝CD＝×5＝，∠DCB＝∠B，
∴＝sin∠DCB＝sinB＝＝，＝cs∠DCB＝csB＝＝，
∴OI＝PI＝（2t﹣6），CI＝（2t﹣6），
∴（2t﹣6）+（2t﹣6）＝，
解得t＝，
综上所述，t的值为或．
学生/成绩/次数
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
甲
169
165
168
169
172
173
169
167
乙
161
174
172
162
163
172
172
176
学生/成绩/名称
平均数
（单位：cm）
中位数
（单位：cm）
众数
（单位：cm）
方差
（单位：cm2）
甲
a
b
c
d
乙
169
172
172
31.25
学生/成绩/次数
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
甲
169
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乙
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学生/成绩/名称
平均数
（单位：cm）
中位数
（单位：cm）
众数
（单位：cm）
方差
（单位：cm2）
甲
a
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c
d
乙
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172
31.25