2020-2021学年河南省郑州市中牟县八年级（上）期中数学试卷

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2020-2021学年河南省郑州市中牟县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据互为相反数的定义和性质，互为相反数的两个数和为0，即可判定选择项．
【解答】解：∵+（﹣）＝0，
∴的相反数是﹣．
故选：B．
【点评】此题主要考查了求无理数的相反数，无理数的相反数和有理数的相反数的意义相同，无理数的相反数是各地中考的重要考点．
2．（3分）下列各组数分别为一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的一组是（　　）
A．5，11，12 B．2，2，3 C．3，4，5 D．4，5，6
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A、∵52+112≠122，
∴5，11，12为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵22+22≠32，∴以2，213为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵32+42＝52，∴以3，4，5为边能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵42+52≠62，∴以4，5，6为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
3．（3分）下列说法中不正确的是（　　）
A．10的平方根是 B．﹣8是64的一个平方根
C．27的立方根是3 D．的平方根是
【分析】根据立方根，平方根的定义，即可解答．
【解答】解：A、10的平方根是±，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、﹣8是64的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、27的立方根是3，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、的平方根是±，原说法不正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平方根，立方根，解决本题的关键是熟记立方根，平方根的定义．
4．（3分）下列各点在一次函数y＝2x﹣3的图象上的是（　　）
A．（2，3） B．（2，1） C．（0，3） D．（3，0）
【分析】把各点分别代入一次函数y＝2x﹣3检验即可．
【解答】解：A、2×2﹣3＝1≠3，原式不成立，故本选项错误；
B、2×2﹣3＝1，原式成立，故本选项正确；
C、2×0﹣3＝﹣3≠3，原式不成立，故本选项错误；
D、2×3﹣3＝3≠0，原式不成立，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，比较简单，只要把四个选项一一代入检验即可．
5．（3分）下列各数中，与﹣3的乘积是有理数的是（　　）
A．+3 B．﹣3 C．3﹣ D．
【分析】直接利用分母有理化因式分析得出答案．
【解答】解：与﹣3的乘积是有理数的是：+3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分母有理化，正确掌握运算法则是解题关键．
6．（3分）如图，数轴上有O，A，B，C，D五个点，根据图中各点所表示的数，判断在数轴上的位置会在下列哪一条线段上（　　）

A．OA B．AB C．BC D．CD
【分析】估算的近似值，再进行判断即可．
【解答】解：∵3.62＝12.96，42＝16，4.72＝22.09，
∴3.6＜＜4＜4.7，
∴在数轴上的位置会在线段BC上，且离点B较近，
故选：C．
【点评】本题考查无理数的估算，数轴表示数的意义和方法，正确的估算无理数的大小是正确判断的前提．
7．（3分）将平面直角坐标系内的△ABC的三个顶点坐标的横坐标乘以﹣1，纵坐标不变，则所得的三角形与原三角形（　　）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．无任何对称关系
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可知所得的三角形与原三角形关于y轴对称．
【解答】解：∵横坐标乘以﹣1，∴横坐标相反，又纵坐标不变，∴关于y轴对称．故选B．
【点评】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
8．（3分）如图，李强和同事驾驶快艇执行巡逻任务，他们从岛屿A处向正南方向航行到B处时，向右转60°航行到C处，再向左转80°继续航行，此时快艇的航行方向为（　　）

A．南偏东20° B．南偏东80° C．南偏西20° D．南偏西80°
【分析】根据平行线的性质，可得∠HCF的度数，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：过点C作DC∥AB，如图：

∵DC∥AB，∠GBH＝60°，
∴∠HCF＝∠GBH＝60°．
∵∠HCE＝80°，
∴∠ECF＝∠HCE﹣∠HCF＝80°﹣60°＝20°，
此时快艇的航行方向为南偏东20°，
故选：A．
【点评】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠HCF的度数是解题的关键．
9．（3分）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　）

A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
D．S四边形AECD＝S四边形DEBC
【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．
【解答】解：根据勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的证明依据．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
10．（3分）育红中学八五班的数学社团在做如下的探究活动：在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点A1，第2次移动到点A2……第n次移动到点An，则△OA2A2021的面积是（　　）

A．1009 B． C．505 D．
【分析】由OA4n＝2n知OA2020＝＝101，据此得出A2A2021＝1010﹣1＝1009，据此利用三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：由题意知OA4n＝2n，
∵2021÷4＝505…1，
∴OA2020＝＝1010
∴A2A2021＝1010﹣1＝1009，
则△OA2A2020的面积是×1×1009＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）﹣64的立方根是　﹣4　．
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64，
∴﹣64的立方根是﹣4．
故选﹣4．
【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
12．（3分）如图，在象棋棋盘上，“馬”位于点（2，2），“炮”位于点（﹣1，2），写出“兵”所在的位置：　（﹣2，3）　．

【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
“兵”所在的位置：（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．

【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
13．（3分）写出两个m的值，使相应的一次函数y＝mx+4的值都是随x的增大而减小，那么m＝　﹣1或﹣2　．
【分析】根据一次函数y＝mx+4的值都是随x的增大而减小，可以得到m的取值范围，然后即可写出两个符合要求的m的值，注意本题答案不唯一．
【解答】解：∵一次函数y＝mx+4的值都是随x的增大而减小，
∴m＜0，
故答案为：﹣1或﹣2．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
14．（3分）如图所示是一个长方体纸盒，纸盒的长为12cm，宽为9cm，高为5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点G，蚂蚁爬行的最短路程是　2　cm．

【分析】分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段AB的长度，再进行比较即可．
【解答】解：①如图1，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，

∵∠ACG＝90°，AC＝12+9＝21，CG＝5，
在Rt△ACG中，由勾股定理得：AG＝＝（cm）；
②如图2，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，

∵∠ABG＝90°，AB＝12，BG＝9+5＝14，
在Rt△ACBG中，由勾股定理得：AG＝＝＝2（cm）；
③如图3，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，

∵∠AFG＝90°，AF＝5+12＝17，FG＝9，
在Rt△AFG中，由勾股定理得：AG＝＝（cm）．
∴蚂蚁爬行的最短路程是2cm，
故答案为：2．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．
15．（3分）某个周末，李海和他的叔叔先后从家出发，他们沿着同一条公路匀速前往某景区，李海8点骑着电动车出发，如图是他行驶路程s（km）随行驶时间t（h）变化的图象．李海的叔叔开车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上李海，则叔叔的开车速度v（km/h）的范围是　60≤v≤80　．

【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出李海的骑车速度和叔叔的开车速度v（km/h）的范围，本题得以解决．
【解答】解：由图象可得，
李海的速度为120÷3＝40（km/h），
∵李海的叔叔开车9点出发，要在10点至11点之间（含10点和11点）追上李海，
∴（10﹣9）v≤（10﹣8）×40，得v≤80，
（11﹣9）v≥40（11﹣8），得v≥60，
∴叔叔的开车速度v（km/h）的范围是60≤v≤80，
故答案为：60≤v≤80．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）计算：
（1）2﹣++；
（2）（）2﹣．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2++
＝3﹣；
（2）原式＝2+2+1﹣（﹣）
＝3+2﹣2+
＝1+3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．（7分）周末了，小红带弟弟一起荡秋千，秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图所示．
（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为t的函数？
（2）当t＝2.8s时，h的值是多少？并说明它的实际意义；
（3）秋千摆动第二个来回需要多少时间？

【分析】（1）由函数的定义可以解答本题；
（2）根据函数图象和题意可以解答本题；
（3）根据函数图象中的数据可以解答本题．
【解答】解：（1）由图象可知，
对于每一个摆动的时间t，h都有唯一确定的值与其对应，
∴变量h是关于t的函数；
（2）①由函数图象可知，当t＝2.8s时，h≈1.25m，
它的实际意义是：秋千摆动到2.8s时，秋千离地面的高度约为1.25m；
（3）由图象可知，
秋千摆动第二个来回需要5.4﹣2.8＝2.6（s），
答：秋千摆动第二个来回需2.6s．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（9分）育新实验学校八（二）班的学生从学校O点出发，要到某基地进行为期一周的校外实践活动，他们第一天的任务是进行体能训练，学生们先向正西方向行走了2km到A处，又往正南方向行走3km到B处，然后又折向正东方向行走6km到C处，再向正北方向走5km才到校外实践基地P处．如图，以点O为原点，取O点的正东方向为x轴的正方向，取O点的正北方向为y轴的正方向，以500m为一个单位长度建立平面直角坐标系．
（1）在平面直角坐标系中，画出学生体能训练的行走路线图；
（2）分别写出A，B，C，P点的坐标．
（3）请在横线上直接写出O，P两点之间的距离　4km　．

【分析】（1）根据平面直角坐标系确定出各点的位置即可；
（2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标；
（3）根据两点间的距离公式即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）A（﹣4，0）；B（﹣4，﹣6）；C（8，﹣6）；P（8，4）；
（3）O，P两点之间的距离为×＝4（km）．
故O，P两点之间的距离为4km．
故答案为：4km．

【点评】本题考查了两点间的距离公式，坐标确定位置，熟练掌握在平面直角坐标系中确定点的位置的方法是解题的关键．
19．（9分）我们在学习第二章《实数》这节课时，画了如图所示的图形，即“以数轴上单位长度为1的线段为边作一个正方形，然后以原点O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点A”，请解答下列问题：
（1）线段OA的长度是多少？
（2）这个图形的目的是为了说明什么？
（3）请在数轴上画出表示﹣的点P．（不写作法，保留作图痕迹）

【分析】（1）首先根据勾股定理求出线段OB的长度，然后结合数轴的知识即可求解；
（2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解；
（3）因为10＝9+1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是．再以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的负半轴交于一点P，则点P即是要作的点．
【解答】解：（1）∵OB2＝12+12＝2，
∴OB＝，
∴OA＝OB＝；
（2）数轴上的点和实数一一对应关系；
（3）如图：OA＝3，AB＝1，AB⊥OA，由勾股定理得：OC＝＝＝．
以O为圆心，OC为半径画弧交数轴的负半轴于点P，点P即表示﹣的点．

【点评】此题考查的知识点是实数与数轴，用到的知识点是勾股定理，关键是能够正确运用数轴上的点来表示一个无理数．
20．（9分）如图，一牧童的家在点A处，他和哥哥一起在点C处放马，点A，C到河岸的距离分别是AB＝500m，CD＝700m，且B，D两地间的距离为600m．夕阳西下，弟兄俩准备从C点将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．
（1）他们应该将马赶到河边的什么地点？请在图中画出来．
（2）请求出他们至少要走的路程．

【分析】（1）将此题转化为轴对称问题，作出A点关于河岸的对称点A′，根据两点之间线段最短得出BA′的长即为牧童要走的最短路程；
（2）根据（1）中所画图象，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）作A点关于河岸的对称点A′，连接CA′交河岸与P，
则PC+PA＝PC+PA′＝CA′最短，故牧童应将马牵到河边的P地点．

（2）作DB′＝BA′，且DB′⊥BD，
∵DB′＝BA′，DB′⊥BD，CB′∥A′A，
∴四边形A′B′CA是矩形，
∴B'A'＝BD，
在Rt△CB′A′中，连接A′B′，则CB′＝CD+DB′＝1200（m），
∴CA′＝＝600（m）．

【点评】此题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题在生活中的应用，要将轴对称的性质和勾股定理灵活应用，体现了数学在解决简单生活问题时的作用．
21．（10分）已知一次函数y＝kx+3与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B．
（1）求一次函数的表达式及点B的坐标；
（2）画出函数y＝kx+3的图象；
（3）过点B作直线BP与x轴交于点P，且OP＝2OA，求△ABP的面积．

【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式求得k的值，即可求得直线的解析式，再令x＝0求出y的值即可得出直线与y轴的交点；
（2）根据题意求出AP和OB，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：（1）将点A（2，0）代入直线y＝kx+3，得
0＝2k+3，
解得k＝﹣，
∴y＝﹣x+3．
当x＝0时，y＝3．
∴B（0，3）；
（2）一次函数的图象如图所示：

（3）∵A（2，0），
∴OA＝2，
∵点P在x轴上，且OP＝2OA，
∴OP＝2OA＝4，
∴P（4，0）或（﹣4，0），
∴AP＝2或6，
∵S△ABP＝，
∴S△ABP＝＝3或S△ABP＝＝9，
∴△ABP的面积为3或9．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，运用点的坐标与图形的知识求出相关线段的长度是解题的关键．
22．（10分）已知点A（3a+2，2a﹣4），试分别根据下列条件，求出a的值并写出点A的坐标．
（1）点A在x轴上；
（2）点A与点A'（﹣4，﹣）关于y轴对称；
（3）经过点A（3a+2，2a﹣4），B（3，4）的直线，与x轴平行；
（4）点A到两坐标轴的距离相等．
【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标等于零，可得方程，解方程可得答案；
（2）根据关于y轴对称点的性质，横坐标互为相反数、纵坐标相同，可得方程，解方程可得答案；
（3）根据平行于x轴直线上的点纵坐标相等，可得方程，解方程可得答案；
（4）根据点A到两坐标轴的距离相等，可得关于a的方程，解方程可得答案．
【解答】解：（1）依题意有2a﹣4＝0，
解得a＝2，
3a+2＝3×2+2＝8．
故点A的坐标为（8，0）；
（2）依题意有3a+2＝4，
解得a＝．
点A的坐标为（4，﹣）；
（3）依题意有2a﹣4＝4，
解得a＝4，
3a+2＝3×4+2＝14，
故点A的坐标为（14，4）；
（4）依题意有|3a+2|＝|2a﹣4|，
则3a+2＝2a﹣4或3a+2+2a﹣4＝0，
解得a＝﹣6或a＝0.4，
当a＝﹣6时，3a+2＝3×（﹣6）+2＝﹣16，
当a＝0.4时，3a+2＝3×0.4+2＝3.2，2a﹣4＝﹣3.2．
故点A的坐标为（﹣16，﹣16）或（3.2，﹣3.2）．
【点评】本题考查了点的坐标，x轴上的点的纵坐标等于零；y轴上的点的横坐标等于零；关于y轴对称点的性质，横坐标互为相反数、纵坐标相同；平行于x轴直线上的点纵坐标相等．
23．（11分）上个周末，姚家中学的李老师开车带着家人从学校出发，沿着图①中的线路去绿博园、中牟黄河滩区游玩、然后去官渡中学探望朋友．李老师一家早上7：30开着电动汽车从学校出发行走一段时间到绿博园，在绿博园游玩了一段时间；又开车去雁鸣湖镇辖区的黄河滩，他们在滩区游玩了1.5h；然后在中午12：30赶到官渡中学（电动汽车的行驶速度是40km/h）．图②中的图象表示李老师一家所行驶的路程y（km）与时间x（h）的函数关系．

（1）点A的坐标是　（，20）　，他们在绿博园游玩了　1.5　h，线段OA的函数表达式是　y＝40x　；
（2）线段OA，BC，DE平行吗？请简单说明理由．
（3）请求出线段BC的函数表达式；
（4）如果李辉在11：30骑电动车从官渡中学出发，以20km/h的速度沿图①中的线路前往黄河滩区游玩，那么李辉在几点钟会和李老师相遇？
【分析】（1）根据电动汽车的行驶速度是40km/h可得点A的坐标，根据图象可知他们在绿博园游玩了1.5h，根据线段OA的函数是正比例函数直接可得相应的函数表达式
（2）根据电动汽车的行驶速度都是40km/h，可得线段OA，BC，DE平行；
（3）利用待定系数法求解即可；
（4）根据题意列方程求解即可．
【解答】解：（1）点A的坐标是（，20），他们在绿博园游玩了1.5h，线段OA的函数表达式是y＝40x（）；
故答案为：（，20）；1.5；y＝40x；
（2）线段OA，BC，DE平行．
因为电动汽车的行驶速度都是40km/h，三条相等的函数表达式系数k都是电动汽车的行驶速度，由一次函数的性质，k相同，直线是平行的；
（3）设线段BC的函数表达式为y＝kx+b，
由（1）（2）得k＝40，
又由图象可知，点B的坐标是（2，20），
所以20＝80k+b，解得b＝﹣60，
所以线段BC的函数表达式为y＝40x﹣60；
（4）设李辉出发a小时后，两车相遇，
根据题意得：20a+40（a﹣）＝30，
解得a＝，
所以，它们在12点10分相遇．