人教版数学九年级上册期末复习试卷04（含答案）

人教版数学九年级上册期末复习试卷

一、选择题

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．下列方程是一元二次方程的是（　　）

A．x﹣2=0 B．x2﹣4x﹣1=0 C．x3﹣2x﹣3=0 D．xy+1=0

3．下列事件中，是必然事件的是（　　）

A．明天太阳从东方升起

B．打开电视机，正在播放体育新闻

C．射击运动员射击一次，命中靶心

D．经过有交通信号灯的路灯，遇到红灯

4．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（　　）

A．35° B．55° C．145° D．70°

5．抛物线y=2（x﹣1）2+3的对称轴为（　　）

A．直线x=1 B．直线y=1 C．直线y=﹣1 D．直线x=﹣1

6．在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（2，1）

7．下列说法正确的是（　　）

A．三点确定一个圆

B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等

C．相等的圆心角所对的弧相等

D．圆内接四边形的对角互余

8．已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的概率是，则袋中球的总个数是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

9．在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

10．关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）

A．m≥1 B．m＜1 C．m=1 D．m＜﹣1

11．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（　　）

A．5 B．7 C．8 D．10

12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列四个结论：①AC＜0；②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3；③b=2a；④函数的最大值是c﹣a．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

二、填空题

13．抛物线y=x2+5x﹣1的开口方向是　   　．

14．掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为奇数的概率是　   　．

15．将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是　   　．

16．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠B′BC′=　   　．

17．某工程一月份的产值为600万元，三月份的产值达到了726万元，设每月产值的增长率x相同，则可列出方程为　   　．

18．如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=2，则这个圆锥底面圆的半径是　   　．[来源:学*科*网]

三、解答题

19．解关于x的方程：x2﹣4x=0．

20．如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于E，且BE=DE，求证： =．

21．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．

（1）求m的值；

（2）求△ABC的周长．

22．如图，在方格纸上，每个小方格都是边长为1cm的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A′B′C′（其中A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′）．

（1）画出旋转后的△A′B′C′；

（2）求点A在旋转过程中所经过的路线的长．（结果保留π）

23．如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字，小明做了60次投掷试验，结果统计如下：

（1）求上述试验中“2朝下”的频率；

（2）随机投掷正四面体两次，请用列表或画树状图法，求两次朝下的数字之和大于5的概率．

24．某商品的进货价为每件30元，为了合理定价，先投放市场试销．据市场调查，销售价为每件40元时，每周的销售量是180件，而销售价每上涨1元，则每周的销售量就会减少5件，设每件商品的销售价上涨x元，每周的销售利润为y元．

（1）用含x的代数式表示：每件商品的销售价为　   　元，每件商品的利润为　   　元，每周的商品销售量为　   　件；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（3）应怎样确定销售价，使该商品的每周销售利润最大？最大利润是多少？

25．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．

26．如图，直线y=x+3与两坐标轴交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C．

（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．

故选：D．

2．下列方程是一元二次方程的是（　　）

A．x﹣2=0 B．x2﹣4x﹣1=0 C．x3﹣2x﹣3=0 D．xy+1=0

【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；

B、是一元二次方程，故此选项正确；

C、不是一元二次方程，故此选项错误；

D、不是一元二次方程，故此选项错误；

故选：B．

3．下列事件中，是必然事件的是（　　）

A．明天太阳从东方升起

B．打开电视机，正在播放体育新闻

C．射击运动员射击一次，命中靶心

D．经过有交通信号灯的路灯，遇到红灯

【解答】解：A、明天太阳从东方升起是必然事件，故A符合题意；

B、打开电视机，正在播放体育新闻是随机事件，故B不符合题意；

C、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故C不符合题意；

D、经过有交通信号灯的路灯，遇到红灯是随机事件，故D不符合题意；

故选：A．

4．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（　　）

A．35° B．55° C．145° D．70°[来源:学科网ZXXK]

【解答】解：∵∠C=35°，

∴∠AOB=2∠C=70°．

故选：D．

5．抛物线y=2（x﹣1）2+3的对称轴为（　　）

A．直线x=1 B．直线y=1 C．直线y=﹣1 D．直线x=﹣1

【解答】解：∵y=2（x﹣1）2+3，

∴该抛物线的对称轴是直线x=1，

故选：A．

6．在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（2，1）

【解答】解：∵P（1，2），

∴点P关于原点对称的点的坐标是：（﹣1，﹣2），

故选：A．

7．下列说法正确的是（　　）

A．三点确定一个圆

B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等

C．相等的圆心角所对的弧相等

D．圆内接四边形的对角互余

【解答】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，A错误；

三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，B正确；

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，C错误；

圆内接四边形的对角互补，D错误；

故选：B．

8．已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的概率是，则袋中球的总个数是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【解答】解：袋中球的总个数是：2÷=8（个）．

故选：D．

9．在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，

∵OC⊥AB，

∴AC=BC=AB=×8=4，

在Rt△AOC中，OA=5，

∴OC=，

即圆心O到AB的距离为3．

故选：A．

10．关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）

A．m≥1 B．m＜1 C．m=1 D．m＜﹣1

【解答】解：

∵关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，

∴△=0，即（﹣2）2﹣4m=0，解得m=1，

故选：C．

11．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（　　）

A．5 B．7 C．8 D．10

【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，

∴PA=PB，

同理可得：CA=CE，DE=DB．

∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，

∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，

∴△PCD的周长=10，

故选：D．

12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列四个结论：①AC＜0；②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3；③b=2a；④函数的最大值是c﹣a．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

【解答】解：∵图象与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，两根是x1=﹣1，x2=3，故②正确；

∵函数图象开口向下，故a＜0，有﹣＞0，则b＞0，故①正确；

对称轴为x=1=﹣，则2a+b=0，故③错误；

又∵当x=1时，y=a+b+c=a﹣2a+c=c﹣a，故④正确；

故选：B．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．抛物线y=x2+5x﹣1的开口方向是　向上　．

【解答】解：

在y=x2+5x﹣1中，

∵a=1＞0，

∴抛物线开口向上，

故答案为：向上．

14．掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为奇数的概率是　　．

【解答】解：根据题意知，掷一次骰子6个可能结果，而奇数有3个，

所以掷到上面为奇数的概率为：．

故答案为：．

15．将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是　y=﹣x2﹣4x﹣4　．

【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是y=﹣（x+2）2，即y=﹣x2﹣4x﹣4．

故答案为：y=﹣x2﹣4x﹣4．

16．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠B′BC′=　68°　．

【解答】解：∵把△ABC绕点A逆时针旋转44°，得到△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，

∴∠BAB′=44°，AB=AB′．

∴∠AB′B=∠ABB′．

∴∠B′BC′=（180°﹣44°）=68°．

故答案为：68°．[来源:Z|xx|k.Com]

17．某工程一月份的产值为600万元，三月份的产值达到了726万元，设每月产值的增长率x相同，则可列出方程为　600（1+x）2=726　．

【解答】解：设平均每月增长率是x，由题意得：600（1+x）2=726，

故答案为600（1+x）2=726．

18．如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=2，则这个圆锥底面圆的半径是　　．

【解答】解：如图，连接AO，∠BAC=120°，

∵BC=2，∠OAC=60°，

∴OC=，

∴AC=2，

设圆锥的底面半径为r，则2πr==π，

解得：r=，

故答案是：．

三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19．（6分）解关于x的方程：x2﹣4x=0．

【解答】解：x2﹣4x=0，

x（x﹣4）=0，

则x=0，x﹣4=0，

解得x1=0，x2=4．

20．（6分）如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于E，且BE=DE，求证： =．

【解答】证明：在△AED和△CEB中，

，

∴△AED≌△CEB（AAS）．    

∴AD=BC，

∴=．

21．（8分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．

（1）求m的值；

（2）求△ABC的周长．

【解答】解：（1）把x=2代入方程得4﹣4m+3m=0，解得m=4；

（2）当m=4时，原方程变为x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，

∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形

∴△ABC的腰为6，底边为2，

∴△ABC的周长为6+6+2=14．

22．（8分）如图，在方格纸上，每个小方格都是边长为1cm的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A′B′C′（其中A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′）．

（1）画出旋转后的△A′B′C′；

（2）求点A在旋转过程中所经过的路线的长．（结果保留π）

【解答】解：（1）△A′B′C′如图所示：

（2）由勾股定理得：OA==2，

∴点A在旋转过程中所经过的路线的长为=π．

23．（8分）如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字，小明做了60次投掷试验，结果统计如下：

（1）求上述试验中“2朝下”的频率；

（2）随机投掷正四面体两次，请用列表或画树状图法，求两次朝下的数字之和大于5的概率．

【解答】解：（1）“2朝下”的频率： =，

（2）根据题意列表如下：

总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次朝下数字之和大于5的结果有6种．

则P（两次朝下的数字之和大于5）==．

24．（10分）某商品的进货价为每件30元，为了合理定价，先投放市场试销．据市场调查，销售价为每件40元时，每周的销售量是180件，而销售价每上涨1元，则每周的销售量就会减少5件，设每件商品的销售价上涨x元，每周的销售利润为y元．

（1）用含x的代数式表示：每件商品的销售价为　x+40　元，每件商品的利润为　x+10　元，每周的商品销售量为　180﹣5x　件；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（3）应怎样确定销售价，使该商品的每周销售利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：（1）每件商品的销售价为：（x+40）元，每件商品的利润为：（x+10）元，

每周的商品销售量为：（180﹣5x）件；

故答案为：x+40，x+10，180﹣5x；

（2）所求函数关系式为：y=（x+10）（18﹣5x）               

即y=﹣5x2+130x+1800；

（3）∵在y=﹣5x2+130x+1800中，

a=﹣5＜0，b=130，x=1800，

∴当x=﹣=﹣=13时，x+40=13+40=53，[来源:Zxxk.Com]

y有最大值且最大值为： =1800﹣=2645（元），

∴当售价为53元时，可获得最大利润2645元．

25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠BAE，

∴∠OAC=∠CAE，

∴∠OCA=∠CAE，

∴OC∥AE，

∴∠OCD=∠E，

∵AE⊥DE，

∴∠E=90°，

∴∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，

∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，

∴CD是圆O的切线；

（2）

∵在Rt△AED中，∠D=30°，AE=6，

∴AD=2AE=12，

在Rt△AED中，∵∠D=30°，

∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，

∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，

∴CD=，

∴S△OCD=，

∵∠D=30°，∠OCD=90°，

∴∠DOC=60°，

∴S扇形OBC=×π×OC2=，

∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC

∴S阴影=8﹣，

∴阴影部分的面积为8﹣．

26．（10分）如图，直线y=x+3与两坐标轴交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C．

（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）当x=0时，y=3，

∴B（0，3），

当y=0时，x+3=0，x=﹣3，

∴A（﹣3，0）；…（2分）

（2）把A（﹣3，0），B（0，3）分别代入y=﹣x2+bx+c得：

，解得：，

∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；   …（5分）

顶点D坐标为（﹣1，4）…（6分）

（3）存在．       

设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）．

∵A（﹣3，0），B（0，3），

∴AB2=32+32=18，AP2=（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2，BP2=t2+（﹣t2﹣2t）2．…（8分）[来源:学科网]

当△PAB是以AB为直角边的直角三角形时，可分两种情况：

①如图1，如果点B为直角顶点，那么AB2+BP2=AP2

（事实这里的点P与点D 重合）

即18+t2+（﹣t2﹣2t）2=（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2，

整理得t2+t=0，解得t1=﹣1，t2=0（不合题意舍去），

则点P的坐标为（﹣1，4）；                    …（9分）

②如图2，如果点A为直角顶点，那么AP2+AB2=BP2，

即18+（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2=t2+（﹣t2﹣2t）2，

整理得t2+t﹣6=0，解得t1=2，t2=﹣3（不合题意舍去），

则点P的坐标为（2，﹣5）；

综上所述，所有符合条件的点P的坐标为（﹣1，4）或（2，﹣5）．…（10分）

另解：如图3，作DE⊥y轴于点E，发现∠ABO=∠DBE=45°

可知顶点D满足△DAB是直角三角形，这时点P的坐标为（﹣1，4）；

作PA⊥AB交抛物线于点P，作PF⊥x轴于点F，发现∠PAF=∠APF=45°，

由PF=AF求出另一点P为（2，﹣5）．

说明：不同解法，请参照评分说明给分．