2020年河北省唐山市丰润区中考数学模拟试卷（6月份） 解析版

这是一份2020年河北省唐山市丰润区中考数学模拟试卷（6月份） 解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A．0B．﹣3C．D．
2．（3分）以下图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如果，∠1＝120°，要使a∥b，则∠2的大小是（ ）
A．120°B．100°C．80°D．60°
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2x2y+3xy＝5x3y2B．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6
C．（3a+b）2＝9a2+b2D．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2
5．（3分）如图，A处在B处的北偏东45°方向，A处在C处的北偏西15°方向，则∠BAC等于（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
6．（3分）解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
8．（3分）若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则（ ）
A．AM＞ANB．AM≥ANC．AM＜AND．AM≤AN
9．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17B．（x﹣3）2＝14C．（x﹣6）2＝44D．（x﹣3）2＝1
10．（3分）下列整数中，与最接近的整数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．（2分）为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据，如下表：
关于以上数据，说法正确的是（ ）
A．甲、乙的众数相同
B．甲、乙的中位数相同
C．甲的平均数小于乙的平均数
D．甲的方差小于乙的方差
12．（2分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（ ）
A．3B．C．﹣3D．﹣
13．（2分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（ ）
A．B．C．D．
14．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
15．（2分）如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的边长是（ ）
A．1B．C．D．2
16．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a＞0，顶点坐标为（，m），给出下列结论：①若点（n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，当n＜时，则y1＜y2；②关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，那么（ ）
A．①正确，②正确B．①正确，②错误
C．①错误，②正确D．①错误，②错误
二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分）
17．（3分）计算÷的结果是 ．
18．（3分）已知a+b＝，则代数式2a+2b﹣3的值为 ．
19．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A、B、C、D均落在格点上．
（1）S△BDC：S△BAC＝ ；
（2）点P为BD的中点，过点P作直线l∥BC，过点B作BM⊥l于点M，过点C作CN⊥l于点N，则矩形BCNM的面积为 ．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）已知．
（1）化简T；
（2）若＝0，求T的值．
21．（8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）请在网格中，画出线段BC关于原点对称的线段B1C1．
（2）请在网格中，过点C画一条直线CD，将△ABC分成面积相等的两部分，与线段AB相交于点D，写出点D的坐标；
（3）若有另一点P（﹣3，﹣3），连接PC，求tan∠BCP的值．
22．（10分）某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．
请根据图中信息，解决下列问题：
（1）两个班共有女生多少人？
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）求扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数；
（4）身高在170≤x＜175（cm）的5人中，甲班有3人，乙班有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B．
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝ ．
24．（10分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
25．（10分）如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线l上，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB'C'D'．B'C'交对角线AC于点M，C'D'交直线l于点N，连接MN．
（1）当MN∥B'D'时，
①求证：△AB'M≌△AD'N；
②求α的大小；
（2）如图2，对角线B'D′交AC于点H，交直线l于点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB'的周长为2时，求菱形ABCD的周长．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
（3）已知E，F分别是x轴和抛物线上的动点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的F点的坐标．
2020年河北省唐山市丰润区中考数学模拟试卷（6月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A．0B．﹣3C．D．
【分析】根据无理数的三种形式求解．
【解答】解：＝2，为无理数．
故选：D．
2．（3分）以下图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（3分）如果，∠1＝120°，要使a∥b，则∠2的大小是（ ）
A．120°B．100°C．80°D．60°
【分析】根据同位角相等，两直线平行即可求解．
【解答】解：如果∠2＝∠1＝120°，
那么a∥b，
所以要使a∥b，则∠2的大小是120°．
故选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2x2y+3xy＝5x3y2B．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6
C．（3a+b）2＝9a2+b2D．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2
【分析】分别根据合并同类项的法则、积的乘方，完全平方公式以及平方差公式化简即可．
【解答】解：A.2x2y和3xy不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；
B．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，故选项B不合题意；
C．（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，故选项C不合题意；
D．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2，故选项D符合题意．
故选：D．
5．（3分）如图，A处在B处的北偏东45°方向，A处在C处的北偏西15°方向，则∠BAC等于（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
【分析】根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，即可求解．
【解答】解：如图，
∵AE，DB是正南正北方向，
∴BD∥AE，
∵∠DBA＝45°，
∴∠BAE＝∠DBA＝45°，
∵∠EAC＝15°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝45°+15°＝60°，
故选：D．
6．（3分）解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①得：x≤﹣1，
解不等式②得：x＜5，
将两不等式解集表示在数轴上如下：
故选：D．
7．（3分）如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】求出∠BOC，利用圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：∵＝，
∴∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BPC＝∠BOC＝50°，
故选：B．
8．（3分）若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则（ ）
A．AM＞ANB．AM≥ANC．AM＜AND．AM≤AN
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：因为线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，
所以AM≤AN，
故选：D．
9．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17B．（x﹣3）2＝14C．（x﹣6）2＝44D．（x﹣3）2＝1
【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．
【解答】解：用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
故选：A．
10．（3分）下列整数中，与最接近的整数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．
【解答】解：∵32＝9，42＝16，
∴3＜＜4，
10与9的距离小于16与10的距离，
∴与最接近的是3．
故选：A．
11．（2分）为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据，如下表：
关于以上数据，说法正确的是（ ）
A．甲、乙的众数相同
B．甲、乙的中位数相同
C．甲的平均数小于乙的平均数
D．甲的方差小于乙的方差
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；对于n个数x1，x2，…，xn，则x¯＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数；s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]进行计算即可．
【解答】解：A、甲的众数为7，乙的众数为8，故原题说法错误；
B、甲的中位数为7，乙的中位数为4，故原题说法错误；
C、甲的平均数为6，乙的平均数为5，故原题说法错误；
D、甲的方差为4.4，乙的方差为6.4，甲的方差小于乙的方差，故原题说法正确；
故选：D．
12．（2分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（ ）
A．3B．C．﹣3D．﹣
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为（1，3），然后把A′的坐标代入y＝中即可得到k的值．
【解答】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），
把A′（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3．
故选：A．
13．（2分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在Rt△ACD中即可求出sin∠BAC的值．
【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝5．
∴sin∠BAC＝＝．
故选：D．
14．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【分析】根据∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，想办法求出∠BAC，∠DAC即可解决问题．
【解答】解：∵∠B＝70°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣100°＝80°，
由作图可知：MN垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝80°﹣30°＝50°，
故选：C．
15．（2分）如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的边长是（ ）
A．1B．C．D．2
【分析】过点B作BG⊥AC于点G．，正六边形ABCDEF中，每个内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°，即∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，于是AG＝AC＝，AB＝2，
【解答】解：如图，过点B作BG⊥AC于点G．
正六边形ABCDEF中，每个内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∴∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴AG＝AC＝，
∴GB＝1，AB＝2，
即边长为2．
故选：D．
16．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a＞0，顶点坐标为（，m），给出下列结论：①若点（n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，当n＜时，则y1＜y2；②关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，那么（ ）
A．①正确，②正确B．①正确，②错误
C．①错误，②正确D．①错误，②错误
【分析】①根据二次函数的增减性进行判断便可；
②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m，再把m代入一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误．
【解答】解：①∵顶点坐标为（，m），n＜，
∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x＝的对称点为（1﹣n，y1），
∴点（1﹣n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，
∵（1﹣n）﹣（﹣2n）＝n﹣＜0，
∴1﹣n＜﹣2n，
∵a＞0，
∴当x＞时，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，故此小题结论正确；
②把（，m）代入y＝ax2+bx+c中，得m＝a+b+c，
∵对称轴x＝﹣，
∴b＝﹣a，
∴a+b＝0，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0中，Δ＝b2﹣4ac+4am﹣4a＝b2﹣4ac+4a（a+b+c）﹣4a＝（a+b）2﹣4a＝02﹣4a＝﹣4a＜0，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，故此小题正确；
故选：A．
二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分）
17．（3分）计算÷的结果是 3 ．
【分析】根据二次根式的性质把化简，再根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解：．
故答案为：3
18．（3分）已知a+b＝，则代数式2a+2b﹣3的值为 ﹣2 ．
【分析】原式前两项提取2变形后，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a+b＝，
∴原式＝2（a+b）﹣3＝1﹣3＝﹣2．
故答案为：﹣2．
19．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A、B、C、D均落在格点上．
（1）S△BDC：S△BAC＝ 5：1 ；
（2）点P为BD的中点，过点P作直线l∥BC，过点B作BM⊥l于点M，过点C作CN⊥l于点N，则矩形BCNM的面积为 ．
【分析】（1）由题意得：AC＝1，AD＝6，CD＝5，由三角形面积公式得出S△ABD：S△BAC＝6：1，得出S△BDC：S△BAC＝5：1即可；
（2）证出CE＝DE＝CD＝，由勾股定理求出BC＝＝，证明△CNE∽△BAC，得出＝，解得：CN＝，由矩形面积公式即可得出矩形BCNM的面积
【解答】解：（1）由题意得：AC＝1，AD＝6，CD＝5，
∴S△ABD：S△BAC＝6：1，
∴S△BDC：S△BAC＝5：1；
故答案为：5：1；
（2）如图所示：
∵点P为BD的中点，直线l∥BC，
∴PE是△BCD的中位线，CE＝DE＝CD＝，
∵四边形BCNM是矩形，
∴∠BCN＝∠CNE＝90°，
∴∠ACB+∠ECN＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，BC＝＝＝，
∴∠ECN＝∠ABC，
∴△CNE∽△BAC，
∴＝，即＝，
解得：CN＝，
∴矩形BCNM的面积＝BC×CN＝×＝；
故答案为：．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）已知．
（1）化简T；
（2）若＝0，求T的值．
【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果；
（2）利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）T＝[﹣]÷
＝•
＝•
＝；
（2）∵+（b﹣3）2＝0，
∴a+1＝0，b﹣3＝0，
解得：a＝﹣1，b＝3，
则T＝＝．
21．（8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）请在网格中，画出线段BC关于原点对称的线段B1C1．
（2）请在网格中，过点C画一条直线CD，将△ABC分成面积相等的两部分，与线段AB相交于点D，写出点D的坐标；
（3）若有另一点P（﹣3，﹣3），连接PC，求tan∠BCP的值．
【分析】（1）根据坐标画得到对应点B1、C1，连接即可；
（2）取AB的中点D画出直线CD即可；
（3）根据勾股定理和勾股定理逆定理可得出△PBC为等腰直角三角形，∠PCB＝45°，进而可求出tan∠BCP＝1．
【解答】解：（1）如图，线段B1C1即可即为所求；
（2）如图，直线CD即为所求，点D坐标为（﹣1，﹣4）；
（3）连接PB，
由勾股定理得，PB2＝12+32＝10，BC2＝12+32＝10，PC2＝22+42＝20，
∴PB＝BC，PB2+BC2＝PC2，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴∠PCB＝45°，
∴tan∠BCP＝1．
22．（10分）某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．
请根据图中信息，解决下列问题：
（1）两个班共有女生多少人？
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）求扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数；
（4）身高在170≤x＜175（cm）的5人中，甲班有3人，乙班有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率．
【分析】（1）根据D部分学生人数除以它所占的百分比求得总人数，
（2）用总人数乘以C、E所占的百分比求得C、E部分人数，从而补全条形图；
（3）用360°乘以E部分所占百分比即可求解；
（4）利用树状图法，将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）总人数为13÷26%＝50人，
答：两个班共有女生50人；
（2）C部分对应的人数为50×28%＝14人，E部分所对应的人数为50﹣2﹣6﹣13﹣14﹣5＝10；
频数分布直方图补充如下：
（3）扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数为×360°＝72°；
（4）画树状图：
共有20种等可能的结果数，其中这两人来自同一班级的情况占8种，
所以这两人来自同一班级的概率是＝．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B．
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝ ．
【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，∠OBD＝∠D，证出∠OBD+∠ABC＝90°，得出AB⊥OB，即可得出结论；
（2）由勾股定理得出OA＝＝13，得出OC＝OA﹣AC＝8，再由三角函数定义即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠OCD，
∴∠ABC＝∠OCD，
∵OD⊥AO，
∴∠COD＝90°，
∴∠D+∠OCD＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠D，
∴∠OBD+∠ABC＝90°，
即∠ABO＝90°，
∴AB⊥OB，
∵点B在圆O上，
∴直线AB与⊙O相切；
（2）解：∵∠ABO＝90°，
∴OA＝＝＝13，
∵AC＝AB＝5，
∴OC＝OA﹣AC＝8，
∴tan∠BDO＝＝＝；
故答案为：．
24．（10分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
【分析】（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b由题意得出：当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；得出方程组，解方程组即可；
（2）由题意得出方程（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，解方程即可．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b
当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；
∴，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；
（2）由题意得：
（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，
整理得：x2﹣10x+9＝0，
解得：x1＝1．x2＝9，
∵让顾客得到更大的实惠，
∴x＝9，
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
25．（10分）如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线l上，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB'C'D'．B'C'交对角线AC于点M，C'D'交直线l于点N，连接MN．
（1）当MN∥B'D'时，
①求证：△AB'M≌△AD'N；
②求α的大小；
（2）如图2，对角线B'D′交AC于点H，交直线l于点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB'的周长为2时，求菱形ABCD的周长．
【分析】（1）①根据平行线分线段成比例可得MB'＝ND'，再根据SAS即可证明△AB'M≌△AD'N；
②由（1）全等得∠B'AM＝∠D'AN＝α，由旋转知，∠D'AN＝∠BAB'＝α，从而得出α的度数；
（2）首先通过ASA证明△AB'E≌△AD'G，得EB'＝GD'，AE＝AG．再通过SAS证明△AHE≌△AHG，得EH＝GH，根据△HEB'的周长为2，可得GH+GD'+B'H＝2，即AB'＝2，从而解决问题．
【解答】解：（1）①四边形AB'C'D'是菱形，
∴AB'＝AD'＝C'B'＝C'D'，∠AB'C'＝∠AD'C，
∵MN∥B'D'，
∴，
∴MB'＝ND'，
在△AB'M和△AD'N中，
，
∴△AB'M≌△AD'N（SAS），
②由旋转知，∠D'AN＝∠BAB'＝α，
∵△AB'M≌△AD'N，
∴∠B'AM＝∠D'AN＝α，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴，
∴∠BAB'＝15°，
∴α＝15°；
（2）由旋转知，∠B'AD'＝∠BAD＝60°，
∵四边形AB'C'D'是菱形，
∴AB'＝AD'，∠AB'C'＝∠AD'C'＝120°，
∴△AB'D'是等边三角形，∠AB'E＝∠AD'B'＝60°，
又∵∠EAB'＝∠GAD'＝α，
∴△AB'E≌△AD'G（ASA），
∴EB'＝GD'，AE＝AG．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EAH＝∠GAH，
又∵AE＝AG，AH＝AH，
∴△AHE≌△AHG（SAS），
∴EH＝GH
∵△HEB'的周长为2，
∴EH+EB'+HB'＝2，
∴GH+GD'+B'H＝2，
∴B'D'＝2，
∵△AB'D'是等边三角形，
∴AB'＝2，
由旋转知，AB＝AB'＝2，
∴菱形ABCD的周长为8．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
（3）已知E，F分别是x轴和抛物线上的动点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的F点的坐标．
【分析】（1）求得A、B两点坐标，代入抛物线解析式，获得b、c的值，获得抛物线的解析式；
（2）通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标；
（3）A，B，E，F四点作平行四边形，分当AB为边时与AB为对角线进行讨论，当AB为边时，利用BF∥AE求点F的坐标；当AB为对角线时，同样可利用BF∥AE求点F的坐标．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+2中，
令y＝0，得x＝4；令x＝0，得y＝2，
∴A（4，0），B（0，2），
把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图，过点B作BE∥x轴，交抛物线于点E，过点D作BE的垂线，垂足为F，
∵BE∥x轴，
∴∠BAC＝∠ABE，
∵∠ABD＝2∠BAC，
∴∠ABD＝2∠ABE，
即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE，
∴∠DBE＝∠ABE，
∴∠DBE＝∠BAC，
设D点的坐标为（x，﹣x2+x+2），则BF＝x，DF＝﹣x2+x，
∵tan∠DBE＝，tan∠BAC＝，
∴＝＝，
即＝，
解得x1＝0（舍去），x2＝2，
当x＝2时，﹣x2+x+2＝3，
∴点D的坐标为（2，3）；
（3）A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形分以下两种情况：
①AB为边，如图：
∴AE∥BF，
∵点E在x轴上，
∴F的纵坐标与点B纵坐标相等，
设点F（x，2），将其代入y＝﹣x2+x+2，
解得：x＝3或0，
∵点F在点B右边
∴x＝3，
∴F（3，2）；
②AB为对角线，如图：
可知BF∥EA，
∵点E在x轴上，
∴F的纵坐标与点B纵坐标相等，
设点F（x，2），将其代入y＝﹣x2+x+2，
解得：x＝3或0，
∵点F在点B右边
∴x＝3，
∴F（3，2），
③当AB为边时，EF在x轴下方，点F的纵坐标y＝﹣2，
∴﹣2＝﹣x2+x+2，
解得x＝，
∴F（，﹣2）或（，﹣2）
综上，点F的坐标为（3，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．
甲
2
6
7
7
8
乙
2
3
4
8
8
甲
2
6
7
7
8
乙
2
3
4
8
8