2020-2021学年广西省贵港市高二（下）3月月考数学（理）试卷人教A版

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这是一份2020-2021学年广西省贵港市高二（下）3月月考数学（理）试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A={x∈N|0A.{0, 1, 3, 5}B.{0, 2, 4, 6}C.{1, 3, 5}D.{2, 4}

2. 复数z=1+i1−2i，则z的虚部是( )
A.−3B.−1C.1D.3

3. 若csα=35，且α在第四象限，则tanα=( )
A.34B.−34C.43D.−43

4. 抛物线y=x2的准线方程是（）
A.y=−14B.y=−12C.x=−14D.x=−12

5. 等差数列{an}中，已知a2=2，a5=8，则a9=( )
A.8B.12C.16D.24

6. 执行如图所示的程序框图，若输入x的值为1，则输出y的值为( )

A.2B.7C.8D.128

7. 已知函数fx=lnx，则f′3=( )
A.13B.−13C.ln3D.−ln3

8. 5人站成一排，若甲、乙彼此不相邻，则不同的排法种数共有( )
A.144B.72C.36D.12

9. 体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A.8πB.12πC.16πD.323π

10. 函数fx=−x3+4x2−4x的单调增区间是（）
A.−2,−23B.−2,23C.23,2D.−23,2

11. 在1x+2x6的展开式中常数项是( )
A.60B.120C.160D.960

12. 已知点M3,15是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上的一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△MF1F2为等腰三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.23B.10−24C.12或23D.23或10−23
二、填空题

2+i1−i=________．

若从集合{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10}中任选一个元素，则这个元素是奇数的概率为________．

抛物线y=14x2的焦点和准线的距离是________．

函数f(x)=12x2−9lnx的单调减区间为________．
三、解答题

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=7，b=2，A=60∘．
(1)求sinB的值；

(2)求c的值．

已知等差数列{an}中，a2=2，a1+a5=6．
(1)求{an}的通项公式；

(2)若bn=2an，求数列{bn}的前n项和Sn．

如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”．某宝电商分析了近8年“双十一”期间的宣传费用x（单位：万元）和利润y（单位：十万元）之间的关系，得到下列数据：
请回答：
(1)由表中数据，求线性回归方程y=bx+a，并预测当x=14时，对应的利润y为多少？（b，a，y精确到0.1）；
附参考公式：回归方程中y=bx+a中b和a最小二乘估计分别为 b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2，a=y−bx，参考数据： i=18xiyi=241，i=18xi2=356.

(2)为了更好地完成任务，某宝电商决定让宣传部门的3名成员各自制定两个方案，从中任选2个方案进行宣传，求这2个方案出自同一个人的概率．

已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=−1.
(1)求p的值；

(2)直线l:y=x−1交抛物线于A、B两点，求弦长|AB|.

若fx=13x3+x2−3x，x∈R，求：
(1)f(x)的单调增区间；

(2)f(x)在0,2上的最小值和最大值．

已知正方体ABCD−A1B1C1D1，

(1)证明： D1A//平面C1BD；

(2)求异面直线D1A与BD所成的角．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西省贵港市高二（下）3月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为A=x∈N|0B=2,4,6,8，
所以A∩B=2,4.
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
复数的基本概念
复数代数形式的乘除运算
【解析】
先计算复数，再利用复数的概念求解即可.
【解答】
解：复数z=1+i1−2i=1−2i2+i−2i=3−i，
所以z的虚部为−1.
故选B.
3.
【答案】
D
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
象限角、轴线角
【解析】
根据题意，由csα的值，结合同角三角函数基本关系式可得sin2α=1−cs2α=1625，又由α是第四象限角，可得sinα的值，再由tanα=sinαcsα计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，csα=35，
则sin2α=1−cs2α=1625.
因为α在第四象限，
所以sinα<0，即sinα=−45，
所以tanα=sinαcsα=−43.
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程．
【解答】
解：因为抛物线的标准方程为x2=y，焦点在y轴上，
所以2p=1，即p=12，
所以p2=14，
所以准线方程为y=−p2=−14．
故选A.
5.
【答案】
C
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知列式求得a1和d，则答案可求．
【解答】
解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由a2=2，a5=8，
得a1+d=2，a1+4d=8，
解得a1=0，d=2，
∴ a9=a1+8d=16．
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求y=9−xx<22xx≥2 的值，从而得解．
【解答】
解：执行程序框图，可得程序框图的功能是求y=9−x,x<2,2x,x≥2, 的值，
若x=1，不满足条件x≥2，
所以y=9−1=8，
输出y的值为8，
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
函数的求值
简单复合函数的导数
导数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为f′x=lnx′=1x，
所以f′3=13.
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
先全排，再插空即可.
【解答】
解：将其余三个人进行排列，排列方法有A33=6种，
再在产生的四个空中，找两个空插入即可，即有A42=12种，
故甲、乙彼此不相邻，共有6×12=72种排法.
故选B.
9.
【答案】
B
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
棱柱的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为正方体的体积为8，即其棱长为2，体对角线长为23，
因此其外接球直径为23，半径为3，
所以其外接球的表面积为4π×32=12π.
故选B.
10.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由fx=−x3+4x2−4x得f′x=−3x2+8x−4，
由f′x=−3x2+8x−4>0得3x2−8x+4<0，
解得23因此函数fx=−x3+4x2−4x的单调递增区间是23,2.
故选C.
11.
【答案】
C
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1x+2x6的展开式中的通项公式为
Tr+1=C6r1x6−r2xr=2rC6rx2r−6，
令2r−6=0，则r=3，
故常数项为第4项，且为23C63=160.
故选C.
12.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义和性质
椭圆的离心率
椭圆的标准方程
椭圆中的平面几何问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由△MF1F2为等腰三角形知：
当|F1M|=|F1F2|=2c时，F1−c,0，
则c+32+15=4c2，整理得c2−2c−8=0，
解得c=4或c=−2（舍），
而|F2M|=4−32+15=4=2a−2c=2a−8，
故a=6，此时e=ca=23；
当|F2M|=|F1F2|=2c时，F2c,0，
则c−32+15=4c2，整理得c2+2c−8=0，
解得c=2或c=−4（舍），
而|F1M|=3−−22+15=210=2a−2c=2a−4，
故a=2+10，此时e=ca=10−23，
故选D．
二、填空题
【答案】
3−i
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：2+i1−i=2+i−2i−i2=3−i.
故答案为：3−i.
【答案】
47
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
利用古典概型概率计算公式直接求解．
【解答】
解：集合{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10}中共有7个元素，其中4个是奇数，
故所求概率P=47．
故答案为：47.
【答案】
2
【考点】
抛物线的性质
【解析】
首先将y=14x2化成开口向上的抛物线方程的标准方程，得到系数2p＝4，然后根据公式得到焦点坐标为(0, 1)，准线方程为y＝−1，最后可得该抛物线焦点到准线的距离．
【解答】
解：将抛物线y=14x2化为标准方程形式为x2=4y，
∴ 抛物线开口向上，且2p=4，
∴ p2=1，
∴ 抛物线的焦点坐标为(0, 1).
又∵ 抛物线准线方程为y=−p2，即y=−1，
∴ 抛物线的焦点和准线的距离为d=1−(−1)=2.
故答案为：2.
【答案】
(0, 3)
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解．
【解答】
解：定义域为(0, +∞)，f′(x)=x−9x=x2−9x，
易得当0故函数的单调递减区间为(0, 3)，
故答案为：(0,3).
三、解答题
【答案】
解：(1)因为a=7，b=2，A=60∘.
由正弦定理asinA=bsinB，可得7sin60∘=2sinB，
所以sinB=217．
(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，
即(7)2=22+c2−2×2ccs60∘，
解得c=3或c=−1 （舍），
所以c=3．
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为a=7，b=2，A=60∘.
由正弦定理asinA=bsinB，可得7sin60∘=2sinB，
所以sinB=217．
(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，
即(7)2=22+c2−2×2ccs60∘，
解得c=3或c=−1 （舍），
所以c=3．
【答案】
解：(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则a1+d=2,2a1+4d=6,
解得a1=1,d=1,
∴an=1+1×(n−1)=n，n∈N∗.
(2)由(1)，可得bn=2an=2n，
∴Sn=b1+b2+...+bn
=21+22+...+2n
=2−2n+11−2
=2n+1−2．
【考点】
等差数列的通项公式
等比数列的前n项和
【解析】
(1)先设等差数列{an}的公差为d，再根据已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出等差数列{an}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后根据等比数列的求和公式即可计算出前n项和Sn．
【解答】
解：(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则a1+d=2,2a1+4d=6,
解得a1=1,d=1,
∴an=1+1×(n−1)=n，n∈N∗.
(2)由(1)，可得bn=2an=2n，
∴Sn=b1+b2+...+bn
=21+22+...+2n
=2−2n+11−2
=2n+1−2．
【答案】
解：1x=182+3+4+5+6+8+9+11=6，
y=181+2+3+3+4+5+6+8=4，
b=k=18xiyi−8xyk=18xi2−8x2=241−8×6×4356−8×62=4968≈0.7.
因为a=y−bx≈4−0.7×6=−0.2，
所以回归直线方程为y=0.7x−0.2，
当x=14时，y=0.7×14−0.2=9.6，
即利润约为9.6万元.
2记3名成员的方案分别为a1，a2，b1，b2，c1，c2，
从中任选2个方案的基本事件含有
a1,a2， a1,b1，a1,b2， a1,c1，a1,c2，
a2,b1， (a2,b2)， a2,c1，a2,c2，
b1,b2， b1,c1， b1,c2，
b2,c1， b2,c2， c1,c2共15种，
其中这2个方案出自同一个人的基本事件含有
a1,a2, b1,b2，c1,c2，共3种，
∴ 这2个方案出自同一个人的概率为P=315=15.
答：这2个方案出自同一个人的概率为15.
【考点】
求解线性回归方程
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
古典概型及其概率计算公式
【解析】
1利用已知条件求出样本中心坐标，回归直线方程的系数，得到回归直线方程，然后代入x=14，求出利润y；
2记3名成员的方案分别为a1，a2；b1，b2；c1，c2，从中任选2个方案的基本事件总数，求出这2个方案出自同一个人的基本事件数，然后求解概率即可．
【解答】
解：1x=182+3+4+5+6+8+9+11=6，
y=181+2+3+3+4+5+6+8=4，
b=k=18xiyi−8xyk=18xi2−8x2=241−8×6×4356−8×62=4968≈0.7.
因为a=y−bx≈4−0.7×6=−0.2，
所以回归直线方程为y=0.7x−0.2，
当x=14时，y=0.7×14−0.2=9.6，
即利润约为9.6万元.
2记3名成员的方案分别为a1，a2，b1，b2，c1，c2，
从中任选2个方案的基本事件含有
a1,a2， a1,b1，a1,b2， a1,c1，a1,c2，
a2,b1， (a2,b2)， a2,c1，a2,c2，
b1,b2， b1,c1， b1,c2，
b2,c1， b2,c2， c1,c2共15种，
其中这2个方案出自同一个人的基本事件含有
a1,a2, b1,b2，c1,c2，共3种，
∴ 这2个方案出自同一个人的概率为P=315=15.
答：这2个方案出自同一个人的概率为15.
【答案】
解：(1)依已知得p2=1，所以p=2；
(2)设Ax1,y1, Bx2,y2，
由y=x−1y2=4x消去y，
得x2−6x+1=0，
则x1+x2=6,x1x2=1，
所以|AB|=x1−x22+y1−y22
=2⋅x1−x22，
=2⋅x1+x22−4x1x2
=2⋅32=8.
【考点】
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
抛物线的定义
直线与圆的位置关系
两点间的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)依已知得p2=1，所以p=2；
(2)设Ax1,y1, Bx2,y2，
由y=x−1y2=4x消去y，
得x2−6x+1=0，
则x1+x2=6,x1x2=1，
所以|AB|=x1−x22+y1−y22
=2⋅x1−x22，
=2⋅x1+x22−4x1x2
=2⋅32=8.
【答案】
解：(1)f′x=x2+2x−3,
由f′x>0，解得x<−3或x>1，
所以fx的增区间为−∞,−3,1,+∞.
(2)令f′x=x2+2x−3=0，则 x=−3（舍）或x=1，
所以f(x)在[0,1)上单调递减，在[1,2]上单调递增，
所以f(x)在x=1处取得极小值，
因为f1=13+1−3=−53,f0=0，
f2=13×23+22−3×2=23，
所以fxmax=23，fxmin=−53.
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f′x=x2+2x−3,
由f′x>0，解得x<−3或x>1，
所以fx的增区间为−∞,−3,1,+∞.
(2)令f′x=x2+2x−3=0，则 x=−3（舍）或x=1，
所以f(x)在[0,1)上单调递减，在[1,2]上单调递增，
所以f(x)在x=1处取得极小值，
因为f1=13+1−3=−53,f0=0，
f2=13×23+22−3×2=23，
所以fxmax=23，fxmin=−53.
【答案】
(1)证明：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
∵ AB // C1D1，AB=C1D1，
∴ 四边形ABC1D1是平行四边形，
∴ D1A // C1B，
∵ D1A⊄平面C1BD，C1B⊂平面C1BD，
∴ D1A // 平面C1BD；
(2)解：由(1)知，D1A // C1B，
∴ 异面直线D1A与BD所成的角即为∠C1BD，
由题可知，△C1BD为等边三角形，
∴ ∠C1BD=60∘，
即异面直线D1A与BD所成的角为60∘．
【考点】
直线与平面平行的判定
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
∵ AB // C1D1，AB=C1D1，
∴ 四边形ABC1D1是平行四边形，
∴ D1A // C1B，
∵ D1A⊄平面C1BD，C1B⊂平面C1BD，
∴ D1A // 平面C1BD；
(2)解：由(1)知，D1A // C1B，
∴ 异面直线D1A与BD所成的角即为∠C1BD，
由题可知，△C1BD为等边三角形，
∴ ∠C1BD=60∘，
即异面直线D1A与BD所成的角为60∘．x
2
3
4
5
6
8
9
11
y
1
2
3
3
4
5
6
8