2022年中考数学专题复习类型四 抛物线型问题（解析版）

这是一份2022年中考数学专题复习类型四 抛物线型问题（解析版），共15页。
（1）求、的值；
（2）如果抛物线经过点、，该抛物线的顶点为点，求的值；
图1
O
x
y
（3）设点在直线上，且在第一象限内，直线与轴的交点为点，如果，求点的坐标.
【答案】：（1） （2）（3）（4,8）
【解析】：（1） ∵直线的经过点
∴
∴
∵直线的经过点
∴
∴
（2）由可知点的坐标为
∵抛物线经过点、
∴
∴，
∴抛物线的表达式为
∴抛物线的顶点坐标为
∴,,
∴
∴
∴
∴
（3）过点作轴，垂足为点，则∥轴
∵,
∴△∽△
∴
∵直线与轴的交点为点
∴点的坐标为,
又，
∴，
∵
∴,
∵∥轴
∴
∴
∴
即点的纵坐标是
又点在直线上
点的坐标为
【典例2】如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（-1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点.
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）联结AD、DC，求的面积；
备用图
第2题图
（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．

【答案】（1）（1，-4）（2）3（3）或
【解析】：（1） 点B（-1，0）、C（3，0）在抛物线上
∴，解得
∴抛物线的表达式为，顶点D的坐标是（1，-4）
（2）∵A（0，-3），C（3，0），D（1，-4） ∴，，
∴ ∴
∴
（3）∵，，
∴△CAD∽△AOB，∴
∵OA=OC， ∴
∴，即
若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似 ，且△ABC为锐角三角形
则也为锐角三角形，点P在第四象限
由点C（3，0），D（1，-4）得直线CD的表达式是，设（）
过P作PH⊥OC，垂足为点H，则，
①当时,由得，
∴，解得， ∴
②当时,由得，
∴，解得，∴
综上得或
【典例3】已知抛物线经过点、、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）联结AC、BC、AB，求的正切值；
（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作交轴于点，当点在点的上方，且与相似时，求点P的坐标．
（第3题图）
y
x
A
B
C
O
【答案】：（1）解得

点的坐标为或
【解析】：（1）设所求二次函数的解析式为，将（,）、（，）、（,）代入，得
解得
所以，这个二次函数的【解析】式为
（2）∵（,）、（，）、（,）
∴，，
∴
∴
∴
（3）过点P作，垂足为H
设，则
∵（,）
∴，
∵
∴当△APG与△ABC相似时，存在以下两种可能：
① 则
即 ∴ 解得
∴点的坐标为
② 则
即 ∴ 解得
∴点的坐标为
【典例4】已知抛物线经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）求△ABD的面积；
（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴
右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH与△AOB相
似，求点P的坐标.
【答案】：（1）抛物线的表达式为（2）1（3）点P的坐标为（5,8），.
【解析】：（1）由题意得：， 解得：，
所以抛物线的表达式为.
（2）由（1）得D（2，﹣1），
作DT⊥y轴于点T,
则△ABD的面积=.
（3）令P.
由△DPH与△AOB相似，易知∠AOB=∠PHD=90°，
所以或，
解得：或，
所以点P的坐标为（5,8），.
【典例5】平面直角坐标系xOy中（如图8），已知抛物线经过点A（1,0）和B（3,0），
与y轴相交于点C，顶点为P．
图5
（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；
（2）点E在抛物线的对称轴上，且EA=EC，
求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为
直线MN，点Q在直线MN右侧的抛物线
上，∠MEQ=∠NEB，求点Q的坐标．

【答案】：（1）P的坐标是（2，-1）（2）m=2（3），点E的坐标为（5，8）
【解析】：（1）∵二次函数的图像经过点A（1，0）和B（3，0），
∴，解得：，．
∴这条抛物线的表达式是
顶点P的坐标是（2，-1）．
（2）抛物线的对称轴是直线，设点E的坐标是（2，m）．
根据题意得： ，解得：m=2，
∴点E的坐标为（2，2）．
（3）解法一：设点Q的坐标为，记MN与x轴相交于点F．
作QD⊥MN，垂足为D，
则，
∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF，∴△QDE∽△BFE，
∴，∴，
解得（不合题意，舍去），．
∴，点E的坐标为（5，8）．
解法二：记MN与x轴相交于点F．联结AE，延长AE交抛物线于点Q，
∵AE=BE， EF⊥AB，∴∠AEF=∠NEB，
又∵∠AEF=∠MEQ，∴∠QEM=∠NEB，
点Q是所求的点，设点Q的坐标为，
作QH⊥x轴，垂足为H，则QH=，OH=t，AH=t-1，
∵EF⊥x轴，∴EF ∥QH，∴，∴，
解得（不合题意，舍去），．
∴，点E的坐标为（5，8）．
x
B
C
第6题图
O
y
·
【典例6】在平面直角坐标系xOy中，已知点B（8,0）和点C（9，）．抛物线（a，c是常数，a≠0）经过点B、C，且与x轴的另一交点为A．对称轴上有一点M ，满足MA=MC．
（1） 求这条抛物线的表达式；
（2） 求四边形ABCM的面积；
（3） 如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，
且AD//BC，求点D的坐标．
【答案】：（1）抛物线的表达式：
（2）3（3） 点D的坐标
【解析】：（1）由题意得：抛物线对称轴，即．
点B（8,0）关于对称轴的对称点为点A（0,0）∴，
将C（9，-3）代入，得
∴抛物线的表达式：
（2）∵点M在对称轴上，∴可设M（4，y）
又∵MA=MC，即
∴, 解得y=-3, ∴M（4，-3）
y
∵MC//AB且MC≠AB, ∴四边形ABCM为梯形，,
AB=8,MC=5,AB边上的高h = yM = 3
∴
x
O
(3) 将点B（8,0）和点C（9，﹣3）代入 可得
M
A
C
B
，解得
由题意得，∵AD//BC, ∴ ，
又∵AD过（0,0），DC=AB=8，
设D(x,-3x) ,
解得(不合题意，舍去)，
∴∴点D的坐标．
A
B
O
C
x
y
（第7题图）
D
【典例7】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于
点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）求证：∠DAB=∠ACB；
（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为
底的等腰三角形，求Q点的坐标．
【答案】：（1）顶点坐标D（－1，4）．（2）
（3）点Q的坐标是，
【解析】：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入中，
得，解得．
∴抛物线的解析式是：．
∴顶点坐标D（－1，4）．
（2）令，则，，，∴A（－3，0）
∴，∴∠CAO=∠OCA．
在中，．
∵，，，
∴，；
∴，是直角三角形且，
∴，
又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，∴∠DAC=∠OCB．
∴，
即．
（3）令，且满足，,0)，，4）
∵是以AD为底的等腰三角形，
∴，即，
化简得：．
由，
解得，．
∴点Q的坐标是，．
【典例8】如图8，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，并与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点是点．
（1）求和的值；
（2）点是轴上一点，且以点、、为顶点的三角形与△相似，求点的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点：它关于直线的对称点恰好在轴上．如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，试说明理由．
图8
x
y
1
1
O
【答案】：（1）b=1（2）点有两个，其坐标分别是和 （3）点的坐标是或
【解析】：
（1） 由直线经过点，可得.
由抛物线的对称轴是直线，可得.
∵直线与轴、轴分别相交于点、，
∴点的坐标是，点的坐标是.
∵抛物线的顶点是点，∴点的坐标是.
∵点是轴上一点，∴设点的坐标是.
∵△BCG与△BCD相似，又由题意知，，
∴△BCG与△相似有两种可能情况：
①如果，那么，解得，∴点的坐标是.
②如果，那么，解得，∴点的坐标是.
综上所述，符合要求的点有两个，其坐标分别是和 ．
（3）点的坐标是或.
【典例9】已知：如图9，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图像与x轴交于点
A（3，0），与y轴交于点B，顶点C在直线上，将抛物线沿射线AC的方向平移，当顶点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）求平移过程中线段BC所扫过的面积；
（3）已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标．
备用图
图9
．
【答案】：（1）抛物线的解析式为
（2）12（3）有，，），．
【解析】：（1）∵顶点C在直线上，∴，∴．
将A（3，0）代入，得，
解得，．
∴抛物线的解析式为．
（2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，垂足分别为M、N．
∵=，∴C（2，）
∵，∴∠MAC=45°，∴∠ODA=45°，
∴．
∵抛物线与y轴交于点B，∴B（0，），
∴．
∵抛物线在平移的过程中，线段BC所扫过的面积为平行四边形BCDE的面积，
∴．
（3）联结CE.
∵四边形是平行四边形，∴点是对角线与的交点，
即 .
（i）当CE为矩形的一边时，过点C作，交轴于点，
设点，在中，，
即 ，解得 ，∴点
同理，得点
（ii）当CE为矩形的对角线时，以点为圆心，长为半径画弧分别交轴于点
、，可得 ，得点、
综上所述：满足条件的点有，，），．
【典例10】如图，已知抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，），P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长；
（3）如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．
(第10题图)
y
P
O
x
C
B
A
【答案】：（1）抛物线的表达式为：y=x2-2x
（2） BC= m-2+1=m-1（3）P的坐标为（）
(第10题图)
y
P
O
x
C
B
A
【解析】：（1）∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，）
∴
解得：
∴抛物线的表达式为：y=x2-2x；
（2）∵点P 的横坐标为m，
∴P 的纵坐标为：m2-2m
令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N
∵P是抛物线上位于第一象限内的一点，
∴PN= m2-2m，ON=m，O M=1
由得∴ BM=m-2
∵ 点C的坐标为（1，），
∴ BC= m-2+1=m-1
（3）令P(t，t2-2t)
△ABP的面积等于△ABC的面积
∴AC=AP
过点P作PQ⊥BC交BC于点Q
∴CM=MQ=1
∴t2-2t=1
∴（舍去）
∴ P的坐标为（）