2020-2021学年4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较教案设计

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

【教学目标】

1．通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养。

2．利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养。

【教学重难点】

1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性。(重点)

2．会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。(难点)

【教学过程】

一、基础铺垫

(1)三种函数的增长趋势

当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。

当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快。

当x>0，n>1时，幂函数y＝xn也是增函数，并且当x>1时，n越大，其函数值的增长就越快。

思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？

[提示]  指数函数

(2)三种函数的增长对比

对数函数y＝logax(a>1)增长最慢，幂函数y＝xn(n>0)，指数函数y＝ax(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有ax>xn>logax。

思考2：在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax<xn<an成立？

[提示]  不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax<xn<ax成立。

二、新知探究

1．指数、对数、幂函数增长趋势的比较

【例1】  函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示。设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2．

(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；

(2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2 016)，g(2 016)的大小。

[解]  (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x。

(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，

∴f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)。

∴1<x1<2，9<x2<10.∴x1<8<x2<2 016．

从图像上知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)；

当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数。

∴f(2 016)>g(2 016)>g(8)>f(8)。

【教师小结】

（一）指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较

（二）指数、幂、对数比较大小

(1)常用方法

单调性法、图象法，中间搭桥法、作差(商)法。

(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较。

(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小。

2．建立函数模型解决实际问题

【例2】  假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择哪种投资方案？

[思路探究]  首先建立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题。

[解]  设第x天所得回报是y元。

由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；

方案二：y＝10x(x∈N＋)；

方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)。

作出三个函数的图像如图：

由图可以看出，从每天所得回报看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿元，

∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三。

 通过计算器计算列出三种方案的累积收入表。

∴投资1天到6天，应选方案一，投资7天方案一、二均可，投资8天到10天应选方案二，投资11天及其以上，应选方案三。

【教师小结】

解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题来解决，结合函数图像有助于直观认识函数间在不同范围的大小关系。

三、课堂总结

三种函数模型的表达式及其增长特点的总结

(1)指数函数模型：表达式为f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0)，当b>1时，增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当0<b<1时，函数值由快到慢地减少。

(2)对数函数模型：表达式为f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0)，当a>1时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当0<a<1时，相应函数值逐渐减少，变化得越来越慢。

(3)幂函数模型：表达式为f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1，α>0)，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型。

四、课堂检测

1．思考辨析

(1)y＝x10比y＝1．1x的增长速度更快些。(    )

(2)对于任意的x>0，都有2x>log2x。(    )

(3)对于任意的x，都有2x>x2．(    )

[答案]  (1)×  (2)√  (3)×

2．三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如下表：

其中关于x呈对数型函数变化的变量是______________，

呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型函数变化的变量是________。

y3  y2  y1  [由表中数据可知，y1随x的增加成倍增加，属于幂函数型函数变化，y2随x的增加成“几何级数”增加，属于指数型函数变化，y3随x的增加增加越来越慢，属于对数函数变化。]

3．某商场2018年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：

①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；

②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；

③f(x)＝x2＋px＋q。

能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝________。

③，x2－8x＋17  [①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为③，由f(1)＝10，f(3)＝2，得

，

解得p＝－8，q＝17，

所以，f(x)＝x2－8x＋17．]

4．用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系。统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元)。又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型。

(1)当b＝时，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型；

(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值。

[解]  (1)b＝时 ，[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2＝142＋，

∴a＝时，f(x)＝x＋为最佳模型。

(2)f(x)＝＋，则y4＝f(4)＝。