2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：素养提升2　高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略学案

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素养提升2　高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略

1[2019全国卷Ⅰ,12分]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sin B - sin C)2=sin2A - sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若2a+b=2c,求sin C.
(1)先利用正弦定理将角的关系化为边的关系,再利用余弦定理求出A的大小.(2)先运用正弦定理将边的关系转化为角的关系,再结合同角三角函数的基本关系式及第(1)问的结论求解sin C的值.
(1)(sin B - sin C)2=sin2B - 2sin Bsin C+sin2C=sin2A - sin Bsin C,即sin2B+sin2C - sin2A=sin Bsin C.①
由正弦定理可得b2+c2 - a2=bc,②
所以cos A=b2+c2-a22bc=12,③
因为A∈(0,π),
所以A=π3.④
(2)因为2a+b=2c,由正弦定理得2sin A+sin B=2sin C,⑤
又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,A=π3,
所以2×32+32cos C+12sin C=2sin C,
整理可得3sin C - 6=3cos C.⑥
因为sin2C+cos2C=1,⑦
所以(3sin C - 6)2=3(1 - sin2C),⑧
解得sin C=6+24或sin C=6-24.⑨
因为sin B=2sin C - 2sin A=2sin C - 62>0,
所以sin C>64,
故sin C=6+24.⑩
感悟升华

阅
卷
现
场

得分点
第(1)问
采点得
分说明
①已知条件展开化简得2分;
②利用正弦定理进行边角互化得1分;
③利用余弦定理求值得1分;
④给定范围内求出角A得1分.
5分
第(2)问
采点得
分说明
⑤利用正弦定理进行边角互化得1分;
⑥利用三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简得1分;
⑦想到同角三角函数的基本关系式得1分;
⑧建立关于sin C的方程得1分;
⑨解方程得1分;
⑩得到最终结果得2分.
7分
满
分
策
略
1.求解解三角形问题的关键
准确把握正、余弦定理的内容,根据已知条件灵活地选用公式是解三角形的关键.
2.边角互化
运用正弦定理可实现边角互化,如本例第(1)问.
3.求解解三角形问题的技巧
解三角形时常会用到同角三角函数的基本关系式及三角恒等变换,所以熟练掌握三角公式也是不可缺少的环节.
4.角的变换的运用
在解三角形的过程中,角的变换尤其关键,如已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及利用三角形内角和定理的变换.
一
题
多
解
第(2)问也可用如下两种解法.
解法一　因为2a+b=2c,由正弦定理得2sin A+sin B=2sin C,
又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,A=π3,所以2×32+32cos C+12sin C=2sin C,整理可得3sin C - 6=3cos C,
即3sin C - 3cos C=23sin(C - π6)=6,
所以sin(C - π6)=22.由C∈(0,2π3),得C - π6∈( - π6,π2),所以C - π6=π4,C=π4+π6,sin C=sin(π4+π6)=6+24.
解法二　由(1)知B=2π3 - C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(2π3 - C)=2sin C,即62+32cos C+
12sin C=2sin C,可得cos(C+π3)= - 22.由于0