高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式学案

2.3.3 点到直线的距离公式  

1. 会用向量工具推导点到直线的距离公式.

2.掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题.

3.通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力

重点：点到直线的距离公式的推导思路分析；点到直线的距离公式的应用．

难点：点到直线的距离公式的推导不同方法的思路分析．

一、自主导学

1.点到直线的距离

(1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.

(2)图示:

(3)公式:d=.

点睛： (1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.

(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.

二、小试牛刀

1.判断对错：点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为. (　　)

2.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.

3.你能说出代数式的几何意义吗?

一、情境导学

     在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短?

思考1：最容易想到的方法是什么？

反思：这种解法的优缺点是什么？

 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？ 

如图，点P到直线l的距离，就是向量的模，设是直线l上的任意一点， 是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量, =。

思考2：如何利用直线l的方程得到与的方向向量垂直的单位向量？

思考3：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？

二、典例解析

例1、求点P(3，－2)到下列直线的距离：

(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.

应用点到直线的距离公式应注意的三个问题

(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．

(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．

(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．

跟踪训练1 已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,

求直线l的方程.

点睛：用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.

延伸探究 若将本题改为“已知直线l经过点M(-1,2),点A(2,3),B(-4,5)在l的同侧且到该直线l的距离相等”,则所求l的方程为　　　　　. 

易错点——因对斜率的情况考虑不全面而致错

案例 求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线l的方程.

点睛:在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解.

1.点(1,-1)到直线y=1的距离是(　　)

A. B. C.3 D.2

2.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于(　　)

A. B.-

C.-或- D.-

3.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是　　　　　. 

4.已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.

5.已知直线l经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.

1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.

2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰.

参考答案：

知识梳理

二、小试牛刀

1.答案:×

2.答案:C

解析:由点到直线的距离公式可得.

3.提示:该代数式可表示平面内点(a,b)到直线x+y+1=0的距离.

学习过程

思考1： 思路①.  定义法,其步骤为：①求l 的垂线l PQ的方程②  解方程组，③得交点Q的坐标④求|P Q|的长

思考2： 设直线l：上的任意两点，则是直线l的方向向量。把,     两式相减，得 ，由平面向量的数量积运算可知，向量与向量垂直，向量 就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量的单位向量，我们取 ，

从而= =

因为点在直线l上所以代入上式，

得=

因此=

二、典例解析

例1、 [解]　(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得

d＝＝.

(2因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.

(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.

跟踪训练1 解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,

恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,

故x=-1满足题意;

当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,

设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,

由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得

即x+3y-5=0.

综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.

,解得k=-,

此时l的方程为y-2=-(x+1),

(方法二)由题意得l∥AB或l过AB的中点.

当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB,

即x+3y-5=0.

当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.

综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.

直线l的斜率为kl,则kAB=kl==-,

此时直线l的方程为y-2=-(x+1),

延伸探究 解析:将本例(2)中的x=-1这一情况舍去即可,也就是要舍去两点在直线l异侧的情况.

答案:x+3y-5=0

案例 所以原点到该直线的距离d==3.

所以15k+8=0.所以k=-.

故直线l的方程为-x-y+3×+5=0,

错解:设所求直线方程为y-5=k(x+3),

整理,得kx-y+3k+5=0.

错因分析本题出错的根本原因在于思维不严密,求直线的方程时直接设为点斜式,没有考虑斜率不存在的情况.

正解:当直线的斜率存在时,设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.

即8x+15y-51=0.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=-3也满足题意.故满足题意的直线l的方程为8x+15y-51=0或x=-3.

所以原点到该直线的距离d==3.

所以15k+8=0.所以k=-.

故所求直线方程为y-5=-(x+3),

达标检测

1.解析:d==2,故选D.   答案:D

2.解析:由点到直线的距离公式可得,化简得|3a+3|=|6a+4|,

解得实数a=-或-.故选C.

答案:C

3.解析:由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,

设垂足为M,则|MP|最小,

直线MP的方程为y-1=-(x-2),

解方程组

∴所求点的坐标为(5,-3).

答案:(5,-3)

4.【解析】由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，

即x－2y＋3＝0，由两点间距离公式得

|BC|＝，

点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，

d＝，

所以S＝|BC|·d＝×2×＝4，

即△ABC的面积为4.

5.解:(方法一)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k.

又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.

由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,

∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.

得,解得k=0或k=1.

(方法二)当直线l过线段AB的中点时,A,B两点到直线l的距离相等.

∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),

∴直线l的方程是x-y+2=0.

当直线l∥AB时,A,B两点到直线l的距离相等.

∵直线AB的斜率为0,∴直线l的斜率为0,

∴直线l的方程为y=2.

综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.