2021年江西省南昌市八年级上学期数学期中试卷

这是一份2021年江西省南昌市八年级上学期数学期中试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 八年级上学期数学期中试卷
一、单选题
1.中，已知： ， ，则 中按角分类是（    ）．
A. 锐角三角形                        B. 直角三角形                        C. 钝角三角形                        D. 斜三角形
2.斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，它是根据斐波那契数列画出米的螺旋曲线，科学家在自然界中发现存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（    ）．
A.                        B.                        C.                        D. 
3.一个正多边形的每一个内角是 ，则从这个正多边形的一个顶点出发可作（    ）条对角线．
A. 5                                           B. 4                                           C. 3                                           D. 2
4.我国的纸伞工艺十分巧妙,如图,伞圈 D 能沿着伞柄滑动,伞不论张开还是缩拢,伞柄 AP 始终平分同一平面内所成的角∠BAC,为了证明这个结论,我们的依据是（    ）

A. SAS                                     B. SSS                                     C. AAS                                     D. ASA
5.已知：AD是 的中线， ， ，则AD的取值范围是（    ）．
A.                      B.                      C.                      D. 
6.如图，边长是6的等边 ，BD为 的平分线，动点P ， Q分别在线段BC ， BD上运动，连接CQ ， PQ ， 当线段 的长度最短时，BP的长度为（    ）．

A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
二、填空题
7.中，已知 ， ，则 的外角为________度．
8.一个多边形的每个外角都是36°，这个多边形是________边形

9.如图，图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则 的度数等于________．

10.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于________cm.

11.如图，已知： ，且 ，E、F是AD上的两点， ， ．若 ， ， ，则 ________

12.如图， 中． ， ，点D在线段AB上运动（D不与A、B重合），连接CD ， 作 ，DE交BC于点E ， 若 是等腰三角形，则 的度数是________．

三、解答题
13.从7根长度都是1的牙签中选取部分或者全部来摆放三角形（牙签不可以折断），你能摆放出多少种形状不同的三角形（两个全等三角形视为一种三角形）？并请你一一写出每种三角形的三边长．
14.如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．

15.如图，在 中，D是BC边上的一点， ，BE平分 ，交AC边于点E ， 连接DE ．

（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
16.如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别是 ， ， ；

（1）在图中画出 关于y轴的对称图形 ；
（2）在下面的空格中直接写出点 ， ， 的坐标：
（________，________）， （________，________）， （________，________）．
17.在三角形纸片ABC中， ， ， ，点E在AC上， ．将三角形纸片ABC按图中方式折叠，使点A的对应点 落在AB的延长线上，折痕为ED ， 交BC于点F ．

（1）求 的度数；
（2）求BF的长度．
18.如图，在 中，已知： ．

（1）写出图中所有等腰三角形，若 ．求 的度数：
（2）若 ， ，请用含x的式子表示y ．
19.如图， 的角平分线AD ， BE相交于点P ， ．

（1）求证： 是直角三角形；
（2）过点P作 交AC于点H ， PH与BC的延长线相交于点F ． 求证： ．
20.如图，在 中，已知： ， ，AD是它的角平分线， 且 ．

（1）求 的面积；
（2）在解完（1）问后，小智经过反思后发现 ，小慧发现 ，请判断小智和小慧的发现是否正确？若正确，请写出证明过程，若错误，请说明理由．
21.如图， 和 是共顶点A的两个全等的等边三角形．
 
（1）该图形显然是轴对称图形．请你仅用无刻度的直尺画出该图形的对称轴l（不必写出作法，但要保留作图痕迹，标注对称轴l）
（2）在备用图1中，连接BD ， CE ， 求证： ；
（3）在备用图2中，连接BE ， CD ， 求证： ．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】∵∠A＝40°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°−40°−45°＝95°，
∴△ABC为钝角三角形，
故答案为：C．
【分析】利用三角形的内角和求出∠C的度数，再利用角分类三角形即可。
2.【答案】 D
【解析】【解答】根据轴对称图形的定义，只有选项D是轴对称图形，其它都不是，
故答案为：D．

【分析】根据轴对称图形的定义逐项判定即可。
3.【答案】 A
【解析】【解答】一个正多边形的每一个内角是 ，
一个正多边形的每一个外角是180º-135º=45º，
正多边形的边数：360÷45=8，
从这个正多边形的一个顶点出发，共可以作对角线的条数为：8−3=5，
故答案为：A．

【分析】根据正多边形的性质求出多边形的边数，再根据多边形对角线的规律求解即可。
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：根据伞的结构，AE=AF，伞骨DE=DF，AD是公共边，
∵在△ADE和△ADF中，

∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠DAE=∠DAF，
即AP平分∠BAC．
故答案为：B．

【分析】利用“SSS”证明△ADE≌△ADF，再利用全等的性质得到∠DAE=∠DAF，即可得出结论。
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，

∵AD是 的中线，
∴BD=CD
在△ADB和△EDC中

∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴CE=AB，
∵AB=5，AC=7，
∴CE=5，
设AD=x，则AE=2x，
∴7-5＜2x＜7+5，
∴1＜x＜6，
∴1＜AD＜6，
故答案为：C．

【分析】延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，利用“SAS”证明△ADB≌△EDC，得到CE=AB，再根据三角形三边的关系列出不等式组求解即可。
6.【答案】 C
【解析】【解答】如图，连接AQ ，

∵等边△ABC中，BD为 的平分线，
∴BD⊥AC ，
∴CQ=AQ ，
∴CQ+PQ=AQ+PQ ，
∴当A ， Q ， P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，
此时，P为BC的中点，
又∵等边△ABC的边长为6cm ，
∴BP=CP= ,
故答案为：C.

【分析】连接AQ ， 根据等边三角形的性质，即可得到CQ=AQ，依据当点A、Q、P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+ PQ的最小值为线段AP的长，即可得到BP的长。
二、填空题
7.【答案】 130
【解析】【解答】解：由三角形的内角和定理可得到∠A+∠B+∠C=180°，
∵∠A=70°，∠B=60°，
∴∠C=180°﹣70°﹣60°=50°，
∴ 的外角=180º-∠C=180-50º=130º，
故答案为：130°．

【分析】利用三角形的外角的性质：等于不相邻的两个内角和求解即可。
8.【答案】 正十
【解析】【解答】因为每一个外角相等可以得到这是一个正多边形，又因为多边形的外角和是360度，所以可以得到一共有10个外角，就有十个内角；故答案是正十边形

【分析】注意利用外角和解决这个问题比较简单
9.【答案】 60°
【解析】【解答】在左图中，边a所对的角为180°−50°−70°＝60°，
因为图中的两个三角形全等，
所以∠1的度数为60°，
故填：60°．

【分析】根据全等三角形的性质：对应角相等求解即可。
10.【答案】 7
【解析】【解答】解：由折叠的性质知，AE=CE，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7cm.
故答案为：7.
【分析】根据折叠的性质可知AE=CE，进而根据三角形周长的计算方法、线段的和差及等量代换即可由△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC算出答案。
11.【答案】 4
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，
∴∠A=∠C，
∵∠A=∠C，∠CED=∠AFB=90°，AB=CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS）
∴AF=CE=3，BF=DE=2，
∵EF=1，DF=DE-EF=2-1=1，
∴AD=AF+DF=3+1=4．
故答案为：4．

【分析】先利用“AAS”证明△ABF≌△CDE，再利用全等的性质得到AF=CE=3，BF=DE=2，最后根据线段的计算求解即可。
12.【答案】 50º或80º或110º
【解析】【解答】 在 中． ， ，
，
由题意，分以下三种情况：（1）当 为等腰 的顶角时，
，
，
；（2）当 为等腰 的顶角时，则 ，
，
，
；（3）当 为等腰 的顶角时，则 ，
，
；
综上， 的度数为 或 或 ，
故答案为：50º或80º或110º．

【分析】分类讨论：（1）当 为等腰 的顶角时；（2）当 为等腰 的顶角时；（3）当 为等腰 的顶角时，然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和求解即可。
三、解答题
13.【答案】 解：由题意，根据选取牙签的根数，分以下五种情况：
⑴当选取3根牙签时，
三边长只能是 ，满足三角形的三边关系定理，能摆出三角形；
⑵当选取4根牙签时，
三边长只能是 ，不满足三角形的三边关系定理，不能摆出三角形；
⑶当选取5根牙签时，
三边长可以是 或 ，
其中， 不满足三角形的三边关系定理，不能摆出三角形，
满足三角形的三边关系定理，能摆出三角形；
⑷当选取6根牙签时，
三边长可以是 或 或 ，
其中， 和 均不满足三角形的三边关系定理，均不能摆出三角形，
满足三角形的三边关系定理，能摆出三角形；
⑸当选取7根牙签时，
三边长可以是 或 或 或 ，
其中， 和 均不满足三角形的三边关系定理，均不能摆出三角形，
和 均满足三角形的三边关系定理，均能摆出三角形；
综上，能摆放出5种形状不同的三角形，它们的三边长分别是 、 、 、 、 ．
【解析】【分析】根据三角形三边的关系逐一摆放出来即可。
14.【答案】 证明：∵BE=DF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
∴∠A=∠D．
【解析】【分析】证明BC=EF，然后根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得．
15.【答案】 （1）证明： BE平分 ，
，
在 和 中， ，
；

（2）解： ， ，
，
由（1）已证： ，
，
又 ，
，
即 的度数为 ．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得到， 再利用“SAS”证明全等即可；
（2）先根据三角形的外角性质可得， 再根据三角形全等的性质可得。
16.【答案】 （1）解：先作点A、B、C关于y轴的对称点，A′B′C′，连结A′B′、B′C′、C′A′，
如图△A′B′C′为所求．


（2）2；4；4；3；3；1
【解析】【解答】解：（2）点A与点A′关于y轴对称，它们纵坐标不变，横坐标是互为相反数，
，则点A′（2，4），同理点 的对称点B′（4，3），点 的对称点C′（3，1）．
故答案为：（2，4）（4，3）（3，1）．

【分析】（1）先找出点A、B、C关于y轴的对称点，再连接即可；（2）根据平面直角坐标系直接写出点坐标即可。
17.【答案】 （1）解：由折叠的性质得： ，
，点 落在AB的延长线上，
，
，
由对顶角相等得： ；

（2）解： ，
，
在 中， ， ，
，
由（1）知， ，
是等边三角形，
，
由折叠的性质得： ， ，
，
则在 中， ．
【解析】【分析】（1） 由折叠的性质得：   ， 再根据邻补角的定义可得， 然后根据直角三角形的性质可得， 最后根据对顶角相等即可得；
（2）先根据线段的和差可得CE=1，再根据等边三角形的判定与性质可得EF=CE=1，然后根据折叠的性质可得   ，  从而得到， 最后利用直角三角形的性质即可得。
18.【答案】 （1）解： ，
是等腰三角形， ，
，
是等腰三角形， ，
，
，
又 ，
；

（2）解： 在 中， ， ，
，
又 ，
，即 ，
，
即 ．
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的定义即可得到所有等腰三角形，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和可得∠B=∠ADB=70°，然后根据等腰三角形的性质可得∠C=∠CAD，最后根据三角形的外角性质求解即可；（2）先根据等腰三角形的性质、三角形的内角和可得∠B=∠ADB=90°-再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质得到∠ADB=2y，即可得到结论。
19.【答案】 （1）证明：∵AP平分∠BAC，BP平分∠ABC，
∴ 2∠1＝∠BAC，2∠2＝∠ABC，
在△APB中，∠1＋∠2＋∠APB＝180°，
∵∠APB＝135°，
∴∠1＋∠2＝45°，
∴∠ABC＋∠BAC＝2（∠1＋∠2）＝90°，
∴∠ACB＝180°－（∠ABC＋∠BAC）＝90°，
∴△ABC是直角三角形；


（2）证明：∠3＝180°－∠APB＝45°，
∵PH⊥AD，
∴∠FPD＝90°，
∴∠FPB＝∠FPD＋∠3＝135°＝∠APB，
而BP平分∠ABC，
∴∠2＝∠PBF，
在△FPB和△APB中，
∠2＝∠PBF，PB＝PB，∠FPB＝∠APB，
∴△FPB≌△APB，
∴PA＝PF．
【解析】【分析】（1）首先根据角平分线的定义得到2∠1=∠BAC，2∠2=∠ABC，再根据三角形内角和求得∠ABC+∠BAC，再利用三角形内角和求得∠ACB即可得证；（2）根据角度关系，利用“ASA”证得 △FPB≌△APB， 再利用全等的性质即可得证。
20.【答案】 （1）解：如图，过点D作 于点F，

是 的角平分线，且 ，
，
，
，
，
，
，
即 的面积为36；

（2）解：小智和小慧的发现都正确，证明如下：
由（1）可知， ，
则 ，即小智的发现正确；
如图，过点A作 于点G，
则 ，
所以 ，即小慧的发现正确．
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的性质可得DF=DE=4，再根据△ABC的面积等于△ABD的面积与△ACD的面积之和即可求得；（2）先根据DF=DE=4，利用三角形的面积公式可得小智的发现正确；再利用三角形的面积公式可得， 然后结合即可得到小慧的发现正确。
21.【答案】 （1）解：先连接BD、CE，相交于点O，再过点A、O作直线，如图所示：
则直线 即为所作；


（2）证明：如图，

和 是两个全等的等边三角形，
，
，即 ，
在 和 中， ，
，
；

（3）证明：如图，

和 是两个全等的等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
．
【解析】【分析】（1） 先连接BD、CE，相交于点O，再过点A、O作直线即可求解；（2）先根据等边三角形的性质、全等三角形的性质得到， 再根据角的和差可得， 再利用“SAS”证明全等即可；（3）先根据等边三角形的性质、全等三角形的性质得到， 然后根据三角形的内角和及角的和差求出∠1+∠3=60°，从而可得， 即可判断。