北师大版九年级上册第二章 一元二次方程综合与测试课时练习

这是一份北师大版九年级上册第二章 一元二次方程综合与测试课时练习，共13页。试卷主要包含了已知一元二次方程a等内容，欢迎下载使用。
1．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（ ）
A．1，5B．﹣1，3C．﹣3，1D．﹣1，5
2．若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞且k≠0B．k＜且k≠0C．k≤且k≠0D．k＜
3．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac＞0；
②若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0；
③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
④若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
4．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，则设道路的宽为xm，根据题意，列方程（ ）
A．32×20﹣20x﹣30x＝540
B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540
D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540
5．超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价（ ）
A．15元或20元B．10元或15元C．10元D．5元或10元
6．菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．10cmB．12 cmC．16cmD．12cm或16cm
7．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11B．12C．11或12D．15
8．如图，△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（ ）秒后四边形APQB是△ABC面积的．
A．2B．4.5C．8D．7
9．若x1是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设M＝（ax1+1）2，N＝2﹣ac，则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．不能确定
10．一元二次方程y2﹣y＝配方后可化为（ ）
A．＝1B．＝1
C．＝D．＝
二．填空题（共11小题，满分33分）
11．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为 ．
12．已知实数m，n满足3m2+6m﹣7＝0，3n2+6n﹣7＝0，且m≠n，则+＝ ．
13．若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为 ．
14．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x＝ ．
15．已知一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4＝0有一个根为零，则a的值为 ．
16．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 ．
17．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2+a﹣2＝0的两实根，那么m+n的最大值是 ．
18．△ABC的一边为5，另外两边的长恰好是方程2x2﹣12x+m＝0的两个根，则m的取值范围 ．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足3x1＝|x2|+2，则m的值为
20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x＝﹣1是方程的根，则△ABC是 三角形．
21．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是 ．
三．解答题（共5小题，满分57分）
22．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0
（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一边长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长．
23．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？
24．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
25．某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．
（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？
26．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，
∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，
解得：x＝﹣1或3，
即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，
故选：B．
2．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，
∴k≠0且△＝（﹣1）2﹣4k≥0，
解得：k≤且k≠0．
故选：C．
3．解：①若a+b+c＝0，那么x＝1为一个实数根．
如果原方程另一个实数根也是1，那么b2﹣4ac＝0，
因此①错误；
②把x＝﹣1代入方程得到：a﹣b+c＝0 （1）
把x＝2代入方程得到：4a+2b+c＝0 （2）
把（2）式加（1）式×2得到：6a+3c＝0，
即：2a+c＝0，故正确；
③方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，
则它的△＝﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0而方程ax2+bx+c＝0的△＝b2﹣4ac＞0，
∴必有两个不相等的实数根．故正确；
④若b＝2a+c则△＝b2﹣4ac＝（2a+c）2﹣4ac＝4a2+c2，
∵a≠0，
∴4a2+c2＞0故正确．
②③④都正确，
故选：C．
4．解：设道路的宽为x，根据题意得（32﹣x）（20﹣x）＝540．
故选：C．
5．解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）＝6000，
整理，得x2﹣15x+50＝0，
解这个方程，得x1＝5，x2＝10．
答：每千克水果应涨价5元或10元．
故选：D．
6．解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，
即AB＝3或4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，
当AD＝DC＝3cm，AC＝6cm时，3+3＝6，不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当AD＝DC＝4cm，AC＝6cm时，符合三角形三边关系定理，
即此时菱形ABCD的周长是4×4＝16，
故选：C．
7．解：x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0，x﹣3＝0，
x1＝2，x2＝3，
根据三角形的三边关系定理，第三边是2或3都行，
①当第三边是2时，三角形的周长为2+4+5＝11；
②当第三边是3时，三角形的周长为3+4+5＝12；
故选：C．
8．解：∵△ABC中，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
由勾股定理，得BC＝＝6．
设t秒后四边形APQB是△ABC面积的，
则t秒后，CQ＝BC﹣BQ＝6﹣t，PC＝AC﹣AP＝8﹣2t．
根据题意，知S△PCQ＝S△ABC，
∴CQ×PC＝×AC×BC，
即（6﹣t）（8﹣2t）＝××8×6，
解得t＝2或t＝8（舍去）．
故选：A．
9．解：∵x1是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，
∴ax12+2x1+c＝0，即ax12+2x1＝﹣c，
则M﹣N＝（ax1+1）2﹣（2﹣ac）
＝a2x12+2ax1+1﹣2+ac
＝a（ax12+2x1）+ac﹣1
＝﹣ac+ac﹣1
＝﹣1，
∵﹣1＜0，
∴M﹣N＜0，
∴M＜N．
故选：B．
10．解：y2﹣y＝，
y2﹣y+（）2＝+（）2，
（y﹣）2＝1，
故选：B．
二．填空题（共11小题，满分33分）
11．解：当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，
则k2﹣9＝0，
解得k＝±3，
当原方程是一元二次方程时，
△＝b2﹣4ac＝0，
即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0
解得：k＝﹣5．
故答案为±3或﹣5．
12．解：∵实数m，n满足3m2+6m﹣7＝0，3n2+6n﹣7＝0，且m≠n，
∴m，n分别为3x2+6x﹣7＝0的两根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣，
则原式＝＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
13．解：设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，
依题意可得
x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，
∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，
设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b，
∴（﹣6）2﹣4m＞0，m＜9，
根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4，
①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2
∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）；
②a为斜边时，c2+b2＝a2，
42+（6﹣a）2＝a2，
a＝，b＝6﹣a＝，
∴m＝ab＝＝，
故答案为．
14．解：设x2+3x＝y，
方程变形得：y2+2y﹣3＝0，即（y﹣1）（y+3）＝0，
解得：y＝1或y＝﹣3，即x2+3x＝1或x2+3x＝﹣3（无解），
故答案为：1．
15．解：把x＝0代入一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4＝0，
可得a2+3a﹣4＝0，
解得a＝﹣4或a＝1，
∵二次项系数a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
16．解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，
∴a+b＝4，ab＝3.5；
根据勾股定理可得：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣7＝9，
∴c＝3
17．解：根据题意得△＝4a2﹣4（a2+a﹣2）≥0，解得a≤2，
因为m+n＝2a，
所以m+n≤4，
所以m+n的最大值为4．
故答案为4．
18．解：由根与系数的关系可得：x1+x2＝6，x1•x2＝，
又有三角形的三边关系可得：|x1﹣x2|＜5，
则（x1﹣x2）2＜25，
即（x1+x2）2﹣4x1•x2＜25，
解得：m＞；
既然方程有两个实根，则△≥0，
解得m≤18．
故本题答案为：＜m≤18．
19．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2，
∴△＝（﹣6）2﹣4（m+4）＝20﹣4m≥0，
解得：m≤5，
∴m的取值范围为m≤5．
∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝6①，x1•x2＝m+4②．
∵3x1＝|x2|+2，
当x2≥0时，有3x1＝x2+2③，
联立①③解得：x1＝2，x2＝4，
∴8＝m+4，m＝4；
当x2＜0时，有3x1＝﹣x2+2④，
联立①④解得：x1＝﹣2，x2＝8（不合题意，舍去）．
∴符合条件的m的值为4．
故答案是：4．
20．解：把x＝﹣1代入（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0得a+c﹣2b+a﹣c＝0，
所以a＝b，
所以△ABC为等腰三角形．
故答案为等腰．
21．解：当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0，
解得：k＝27，
此时原方程为x2﹣12x+27＝0，即（x﹣3）（x﹣9）＝0，
解得：x1＝3，x2＝9，
∵3+3＝6＜9，
∴3不能为等腰三角形的腰；
当3为等腰三角形的底时，方程x2﹣12x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣12）2﹣4k＝144﹣4k＝0，
解得：k＝36，
此时x1＝x2＝﹣＝6，
∵3、6、6可以围成等腰三角形，
∴k＝36．
故答案为：36．
三．解答题（共5小题，满分57分）
22．解：（1）证明：∵△＝[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若腰长为4，将x＝4代入原方程，得：16﹣4（m+1）+2（m﹣1）＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
组成三角形的三边长度为2、4、4；
若底边长为4，则此方程有两个相等实数根，
∴△＝0，即m＝3，
此时方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
由于2+2＝4，不能构成三角形，舍去；
所以三角形另外两边长度为4和2．
23．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0，
∴m＝1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，
解得：x1＝x2＝，
∴菱形ABCD的边长是．
（2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0，
解得：m＝．
将m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0，
∴方程的另一根AD＝1÷2＝，
∴▱ABCD的周长是2×（2+）＝5．
24．解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50（1﹣a）2＝32，
解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
（2）设每千克应涨价x元，由题意，得
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理，得 x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
25．解：（1）（45﹣30）×[80﹣（45﹣40）×2]＝1050（元）．
答：每天的销售利润为1050元．
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，
依题意，得：（x﹣30）[80﹣2（x﹣40）]＝1200，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（不合题意，舍去）．
答：每件工艺品售价应为50元．
26．解：设t秒后，则：AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm； BQ＝2tcm．
（1）S△PBQ＝BP×，即4＝（5﹣t），
解得：t＝1或4．（t＝4秒不合题意，舍去）
故：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）PQ＝5，则PQ2＝25＝BP2+BQ2，即25＝（5﹣t）2+（2t）2，t＝0（舍）或2．
故2秒后，PQ的长度为5cm．
（3）令S△PQB＝7，即：BP×＝7，（5﹣t）×＝7，
整理得：t2﹣5t+7＝0．
由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，则方程没有实数根．
所以，在（1）中，△PQB的面积不等于7cm2．