2022届高考物理二轮专题复习学案练习专题四 题型专练四 电磁感应中的单、双杆模型

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2．“导轨＋杆”模型又分为“单杆”型和“双杆”型；导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等；磁场的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等，情景复杂，形式多变．
3．在处理此类问题时，要以导体杆切割磁感线的速度为主线，由楞次定律、法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律分析电路中的电流，由牛顿第二定律分析导体杆的加速度及速度变化，由能量守恒分析系统中的功能关系，由动量定理中安培力的冲量分析电荷量．“导轨＋双杆”模型中还可能满足动量守恒定律．
高考题型1 电磁感应中的单杆模型
1．常见单杆情景及解题思路
2.在电磁感应中，动量定理应用于单杆切割磁感线运动，可求解变力的时间、速度、位移和电荷量．
①求电荷量或速度：Beq \x\t(I)LΔt＝mv2－mv1，q＝eq \x\t(I)Δt.
②求位移：－eq \f(B2L2\x\t(v)Δt,R总)＝0－mv0，即－eq \f(B2L2x,R总)＝0－mv0
③求时间：(i)－Beq \x\t(I)LΔt＋F其他Δt＝mv2－mv1
即－BLq＋F其他·Δt＝mv2－mv1
已知电荷量q，F其他为恒力，可求出变加速运动的时间．
(ii)eq \f(－B2L2\x\t(v)Δt,R总)＋F其他·Δt＝mv2－mv1，eq \x\t(v)Δt＝x.
若已知位移x，F其他为恒力，也可求出变加速运动的时间．
考题示例
例1 (2019·天津卷·11)如图1所示，固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，垂直于导轨放置的两根金属棒MN和PQ长度也为l、电阻均为R，两棒与导轨始终接触良好．MN两端通过开关S与电阻为R的单匝金属线圈相连，线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量k.图中虚线右侧有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B.PQ的质量为m，金属导轨足够长、电阻忽略不计．
图1
(1)闭合S，若使PQ保持静止，需在其上加多大的水平恒力F，并指出其方向；
(2)断开S，PQ在上述恒力作用下，由静止开始到速度大小为v的加速过程中流过PQ的电荷量为q，求该过程安培力做的功W.
答案 (1)eq \f(Bkl,3R) 方向水平向右 (2)eq \f(1,2)mv2－eq \f(2,3)kq
解析 (1)设线圈中的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律E＝eq \f(ΔФ,Δt)，则E＝k ①
设PQ与MN并联的电阻为R并，有
R并＝eq \f(R,2) ②
闭合S时，设线圈中的电流为I，根据闭合电路欧姆定律得I＝eq \f(E,R并＋R) ③
设PQ中的电流为IPQ，有
IPQ＝eq \f(1,2)I ④
设PQ受到的安培力为F安，有F安＝BIPQl ⑤
保持PQ静止，由受力平衡，有
F＝F安 ⑥
联立①②③④⑤⑥式得
F＝eq \f(Bkl,3R) ⑦
方向水平向右．
(2)设PQ由静止开始到速度大小为v的加速过程中，PQ运动的位移为x，所用时间为Δt，回路中的磁通量变化为ΔФ，平均感应电动势为eq \x\t(E)，有
eq \x\t(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt) ⑧
其中ΔФ＝Blx ⑨
设PQ中的平均电流为eq \x\t(I)，有
eq \x\t(I)＝eq \f(\x\t(E),2R) ⑩
根据电流的定义得
eq \x\t(I)＝eq \f(q,Δt) ⑪
由动能定理，有
Fx＋W＝eq \f(1,2)mv2－0 ⑫
联立⑦⑧⑨⑩⑪⑫式得
W＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(2,3)kq.
例2 (2019·浙江4月选考·22)如图2所示，倾角θ＝37°、间距l＝0.1 m的足够长金属导轨底端接有阻值R＝0.1 Ω的电阻，质量m＝0.1 kg的金属棒ab垂直导轨放置，与导轨间的动摩擦因数μ＝0.45.建立原点位于底端、方向沿导轨向上的坐标轴x.在0.2 m≤x≤0.8 m区间有垂直导轨平面向上的匀强磁场．从t＝0时刻起，棒ab在沿x轴正方向的外力F作用下，从x＝0处由静止开始沿斜面向上运动，其速度v与位移x满足v＝kx(可导出a＝kv)，k＝5 s－1.当棒ab运动至x1＝0.2 m处时，电阻R消耗的电功率P＝0.12 W，运动至x2 ＝0.8 m处时撤去外力F，此后棒ab将继续运动，最终返回至x＝0处．棒ab始终保持与导轨垂直，不计其他电阻，求：(提示：可以用F－x图像下的“面积”代表为F做的功，sin 37°＝0.6)
图2
(1)磁感应强度B的大小；
(2)外力F随位移x变化的关系式；
(3)在棒ab整个运动过程中，电阻R产生的焦耳热Q.
答案 见解析
解析 (1)x1＝0.2 m时，金属棒的速度v1＝kx1＝1 m/s
电阻R上的功率P＝I2R
I＝eq \f(E,R)
E＝Blv1
解得B＝eq \f(\r(30),5) T；
(2)①0≤x