专题25 电磁感现象中的双棒模型-2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练（解析版）

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2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练
专题25 电磁感现象中的双棒模型
特训目标
特训内容
目标1
高考真题（1T—4T）
目标2
等间距不加力双棒模型（5T—8T）
目标3
等间距加力双棒模型（9T—12T）
目标4
不等间距不加力双棒模型（13T—16T）
目标5
不等间距加力双棒模型（17T—20T）
【特训典例】
一、 高考真题
1．如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t=0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图像中可能正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】ab棒向右运动，切割磁感线产生感应电流，则受到向左的安培力，从而向右做减速运动，；金属棒cd受向右的安培力作用而做加速运动，随着两棒的速度差的减小安培力减小，加速度减小，当两棒速度相等时，感应电流为零，最终两棒共速，一起做匀速运动，故最终电路中电流为0，故AC正确，BD错误．
2．如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度向右运动，磁场内的细金属杆N处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M刚进入磁场时受到的安培力F的大小和方向；
（2）若两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为，求：①N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量q；②初始时刻N到的最小距离x；
（3）初始时刻，若N到的距离与第（2）问初始时刻的相同、到的距离为，求M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围。

【答案】（1），方向水平向左；（2）①，②；（3）
【详解】（1）细金属杆M以初速度向右刚进入磁场时，产生的动生电动势为电流方向为，电流的大小为则所受的安培力大小为安培力的方向由左手定则可知水平向左；
（2）①金属杆N在磁场内运动过程中，由动量定理有且联立解得通过回路的电荷量为
②设两杆在磁场中相对靠近的位移为，有；整理可得联立可得
若两杆在磁场内刚好相撞，N到的最小距离为
（3）两杆出磁场后在平行光滑长直金属导轨上运动，若N到的距离与第（2）问初始时刻的相同、到的距离为，则N到cd边的速度大小恒为，根据动量守恒定律可知解得N出磁场时，M的速度大小为由题意可知，此时M到cd边的距离为若要保证M出磁场后不与N相撞，则有两种临界情况：
①M减速出磁场，出磁场的速度刚好等于N的速度，一定不与N相撞，对M根据动量定理有
；联立解得
②M运动到cd边时，恰好减速到零，则对M由动量定理有；
同理解得综上所述，M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围为
3．如图（a），一倾角为的绝缘光滑斜面固定在水平地面上，其顶端与两根相距为L的水平光滑平行金属导轨相连；导轨处于一竖直向下的匀强磁场中，其末端装有挡板M、N．两根平行金属棒G、H垂直导轨放置，G的中心用一不可伸长绝缘细绳通过轻质定滑轮与斜面底端的物块A相连；初始时刻绳子处于拉紧状态并与G垂直，滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧与水平面平行．从开始，H在水平向右拉力作用下向右运动；时，H与挡板M、N相碰后立即被锁定．G在后的速度一时间图线如图（b）所示，其中段为直线．已知：磁感应强度大小，，G、H和A的质量均为，G、H的电阻均为；导轨电阻、细绳与滑轮的摩擦力均忽略不计；H与挡板碰撞时间极短；整个运动过程A未与滑轮相碰，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好：，，重力加速度大小取，图（b）中e为自然常数，．求：
（1）在时间段内，棒G的加速度大小和细绳对A的拉力大小；
（2）时，棒H上拉力的瞬时功率；
（3）在时间段内，棒G滑行的距离．

【答案】（1） ；；（2）；（3）
【详解】（1）由图像可得在内，棒G做匀加速运动，其加速度为依题意物块A的加速度也为，由牛顿第二定律可得解得细绳受到拉力
（2）由法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律推导出“双棒”回路中的电流为
由牛顿运动定律和安培力公式有由于在内棒G做匀加速运动，回路中电流恒定为，两棒速度差为保持不变，这说明两棒加速度相同且均为a；对棒H由牛顿第二定律可求得其受到水平向右拉力由图像可知时，棒G的速度为
此刻棒H的速度为其水平向右拉力的功率．
（3）棒H停止后，回路中电流发生突变，棒G受到安培力大小和方向都发生变化，棒G是否还拉着物块A一起做减速运动需要通过计算判断，假设绳子立刻松弛无拉力，经过计算棒G加速度为
物块A加速度为说明棒H停止后绳子松弛，物块A做加速度大小为的匀减速运动，棒G做加速度越来越小的减速运动；由动量定理、法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可以求得，在内；
棒G滑行的距离这段时间内物块A速度始终大于棒G滑行速度，绳子始终松弛。
4．如图，一水平面内固定有两根平行的长直金属导轨，导轨间距为l；两根相同的导体棒AB、CD置于导轨上并与导轨垂直，长度均为l；棒与导轨间的动摩擦因数为（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）：整个装置处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向竖直向下。从时开始，对AB棒施加一外力，使AB棒从静止开始向右做匀加速运动，直到时刻撤去外力，此时棒中的感应电流为；已知CD棒在时刻开始运动，运动过程中两棒均与导轨接触良好。两棒的质量均为m，电阻均为R，导轨的电阻不计。重力加速度大小为g。

(1)求AB棒做匀加速运动的加速度大小；
(2)求撤去外力时CD棒的速度大小；
(3)撤去外力后，CD棒在时刻静止，求此时AB棒的速度大小。
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】(1)设AB棒做匀加速运动的加速度大小为a，在t=t0时刻AB棒的速度为v0=at0，此时对CD棒： ； ； 联立解得：
(2)在t1时刻，AB棒的速度；此时  ； 解得
(3)撤去外力后到CD棒静止，对CD棒由动量定理： ，
对AB棒：联立解得：
二、 等间距不加力双棒模型
5．如图所示、两固定光滑且足够长的金属导轨MN、PQ平行水平放置，其间距为L，两根质量均为m，距离也为L的金属棒AB、CD平行放置在两导轨上，电阻分别是、，导轨电阻忽略小计。整个装置处在磁感心强度为B的匀强磁场中，现给CD棒一定的初速度，经过时间后两棒处于稳定状态，下列说法中正确的是（　　）

A．若在稳定前的某时刻CD棒的速度为，AB棒的速度为，则回路中的电流大小为
B．从开始至最终稳定回路产生的焦耳热为
C．在内通过回路的电荷量为
D．处于稳定状态时两棒与导轨所围面积为
【答案】D
【详解】A．在稳定前的某时刻CD棒的速度为，AB棒的速度为，必然有，回路电动势
回路电阻为，因此回路电流大小为故A错误；
B．两棒组成的系统动量守恒得当时，磁通量不再变化，两杆不再受安培力，将匀速运动，由能量守恒得产生的焦耳热为故B错误；
C．对金属棒CD由动量定理得得通过CD棒某一截面电荷量故C错误；
D．由于通过CD棒某一截面的电荷量为则有；AB棒与CD棒间的最终距离为故所围成的面积为故D正确。故选D。
6．如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒bc、de静止在导轨上。t=0时，棒bc以初速度v0向右运动且不会与de相碰。运动过程中，bc、de始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别为vbc、vde，两者的加速度分别为abc、ade，通过bc横截面的电荷量为q，回路中的电流为I。下列图像中正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A．导体棒bc切割磁感线产生由b到c的感应电流，则导体棒bc受到向左的安培力，做减速运动，导体棒de受到向右的安培力，向右做加速运动，则感应电流两导体棒的相对速度减小，感应电流减小，每个导体棒所受的安培力大小F=BIL，F随着电流的减小而减小，bc将做加速度减小的减速运动，de将做加速度增大的加速运动，设导体棒质量为m，当两者速度相等时，电流为零，由动量守恒定律得mv0=2mv两导体棒的速度最终为v=故A错误；
B．加速度随着电流的减小而减小，当两者速度相等时，电流为零，加速度为零，故B错误；
C．感应电流两导体棒的相对速度减小，感应电流减小，且bc将做加速度减小的减速运动，de将做加速度增大的加速运动，电流变化也越来越慢，最终为零，故C正确；
D．对bc棒用动量定理有BILt=mv0-m则q=It=电荷量应该是随时间的增加而增加，最后达到最大值，因为电流随时间减小，所以q-t图线的斜率也应该是减小，故D错误。故选C。
7．如图所示，足够长的水平导轨上，有两导体棒AB和CD，导轨处在竖直向上的匀强磁场中，导体棒和导轨始终接触良好，导轨宽度为l，两导体棒质量均为m、连接两导轨间的电阻均为R，其他电阻不计，不计一切摩擦。现给导体棒CD一个初速度v0，若AB棒固定，待系统稳定时，通过CD棒的电荷量为q，则（　　）

A．通过CD棒的电流方向从D到C
B．匀强磁场的磁感应强度大小为
C．当通过CD棒的电荷量为时，CD棒上产生的热量为
D．若AB棒不固定，当系统稳定时，通过CD棒的电荷量为
【答案】BD
【详解】A．根据右手定则，通过CD棒的电流方向从C到D，故A错误；
B．当AB棒固定且系统稳定时，CD棒的速度为0，取v0的方向为正方向，根据动量定理可得
又有联立解得，匀强磁场的磁感应强度大小为故B正确；
C．当通过CD棒的电荷量为时，设CD棒的速度为v1，取v0的方向为正方向，根据动量定理有
又联立解得则CD棒上产生的热量为
故C错误；
D．若AB棒不固定，则系统稳定后，二者速度相同，两根导体棒组成的系统所受合力为0，动量守恒，取v0的方向为正方向，由动量守恒定律得对CD棒，根据动量定理可得
又，联立解得故D正确。故选BD。
8．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ固定在水平面上，间距为L，空间存在着方向竖直向上的磁感应强度大小为B的匀强磁场．在导轨上放有两根质量分别为m和2m的金属棒ab、cd，两棒和导轨垂直且接触良好，有效电阻均为R，导轨电阻不计．现给金属棒ab水平向左的瞬时冲量I0，同时给cd棒水平向右的瞬时冲量2I0，则在以后的运动过程中(    )

A．通过ab棒的最大电流为
B．cd棒的最大加速度为
C．最终两金属棒将静止在导轨上
D．整个过程中该系统产生的焦耳热为
【答案】BD
【详解】A、设两金属棒的初速度大小为v0，则，两棒刚开始运动时都会切割磁感线，产生感应电流，此时回路中的电流最大，，cd棒受到的安培力最大，加速度最大，此后两棒均做减速运动，由于两棒构成的系统在水平方向上不受外力，系统动量守恒，取向右为正方向，设两棒最终共同的速度为v，则有，解得，即最终两棒以共同速度向右匀速运动，此时回路中的磁通量不变，回路中无感应电流，选项B正确，A、C错误；
D、由能的转化与守恒定律知，该系统产生热量，选项D正确．
三、 等间距加力双棒模型
9．如图，两条足够长的平行金属导轨间距，与水平面的夹角，处于磁感应强度、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。导轨上的a、b两根导体棒质量分别为、，电阻均为。现将a、b棒由静止释放，同时用大小为2N的恒力F沿平行导轨方向向上拉a棒。导轨光滑且电阻忽略不计，运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好，取重力加速度。已知当a棒中产生的焦耳热时，其速度，a上方和b下方都足够长，下列说法正确的是（　　）

A．此时b棒的速度大小为
B．此时a棒的加速度大小为
C．a棒从静止释放到速度达到所用的时间为
D．a、b两棒最后同时向上和向下做匀速直线运动
【答案】ABD
【详解】A．根据题意，设a、b棒受到的安培力大小为，则对a、b棒由牛顿第二定律分别有
；代入数据解得，a、b棒由静止释放，则有
即解得故A正确；
B．设此电路产生的感应电动势为E，电流为I，则有；；联立式子解得
故B正确；
C．根据题意，设此过程a，b棒位移分别为，，结合上述分析可得根据能量守恒有
对a棒根据动量定理有
其中安培力的冲量联立代入数据可解得故C错误；
D．根据题意可知，由于且a上方和b下方都足够长，则a、b两棒最后同时向上和向下做匀速直线运动，故D正确。故选ABD。
10．如图，固定在水平面上的两条足够长光滑平行金属导轨，导轨间的距离，导轨电阻忽略不计。虚线与导轨垂直，其中范围内有方向竖直向下、磁感应强度的匀强磁场。质量，电阻的两相同导体棒a与b相互靠近静止在磁场区域的左侧，某时刻给导体棒a施加水平向右的恒力的作用，导体棒a进入磁场边界时，恰好做匀速运动，此时撤去a上的恒力F，同时将恒力F作用到导体棒b上，经时间a、b两导体棒相距最远。导体棒a、b与导轨始终垂直且接触良好，则（　　）

A．导体棒a距离磁场边界的距离为
B．导体棒a进入磁场时的速度为
C．a、b两导体棒相距最远时导体棒a的速度为
D．a、b两导体棒相距最远的距离为
【答案】BD
【详解】AB．由导体棒切割磁场可知导体棒在恒力作用下进入磁场的过程有
解得；故A错误，B正确；
C．时间内导体棒b运动的位移为未进入磁场，此时刻导体棒b速度为
，a、b两导体棒相距最远时故C错误；
D．对导体棒a运用动量定理其中解得，速度相等时导体棒a的位移
最远距离故D正确。故选BD。
11．如图所示，两条足够长、电阻不计的平行导轨放在同一水平面内，相距l。磁感应强度大小为B的范围足够大的匀强磁场垂直于导轨平面向下。两根质量均为m、电阻均为r的导体杆a、b与两导轨垂直放置且接触良好，开始时两杆均静止。已知b杆光滑，a杆与导轨间最大静摩擦力大小为F0。现对b杆施加一与杆垂直且大小随时间按图乙所示规律变化的水平外力F，已知在t1时刻，a杆开始运动，此时拉力大小为F1，下列说法正确的是（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（　　）

A．当a杆开始运动时，b杆的速度大小为
B．在0～t1这段时间内，b杆所受安培力的冲量大小为－F1t1
C．在t1～t2这段时间内，a、b杆的总动量增加了
D．a、b两杆最终速度将恒定，且两杆速度大小之差等于t1时刻b杆速度大小
【答案】AD
【详解】A．在整个运动过程中，a、b两杆所受安培力大小相等，当a杆开始运动时，所受的安培力大小等于最大静摩擦力F0，则解得b杆的速度大小为选项A正确；
B．由动量定理得，F－t图线与横轴围成的面积表示的大小，知解得选项B错误；
C．在t1～t2这段时间内，外力F对a、b杆的冲量为因a杆受摩擦力作用，可知a、b杆所受合力的总冲量小于，即a、b杆的总动量增加量小于，选项C错误；
D．由于最终外力F＝F0，故此时对两杆整体，所受合力为零，两杆所受的安培力均为F0，处于稳定状态，因开始时b杆做减速运动，a杆做加速运动，故a、b两杆最终速度将恒定，速度大小之差满足
即速度大小之差等于t1时刻b杆速度大小，选项D正确。故选AD。
12．如图所示，两根足够长的光滑金属导轨平行放置，轨道间距为L，与水平面的夹角均为，电阻不计。两根相同的金属棒P、Q垂直导轨放置在同一位置，金属棒电阻均为R，质量均为m。整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。某时刻先由静止释放金属棒P，当P在轨道上运动的位移为x时速度达到最大，此时立即释放金属棒Q，取重力加速度为g，整个运动过程中导体棒与导轨接触良好，下列说法正确的是（    ）

A．释放金属棒Q之前，金属棒P的运动时间为
B．释放金属棒Q之前，金属棒P上产生的热量为
C．最终两金属棒之间的距离保持不变
D．最终两金属棒之间的距离越来越大
【答案】AC
【详解】A．金属棒P达到最大速度时满足解得由动量定理其中解得选项A正确；
B．释放金属棒Q之前，金属棒P上产生的热量为
选项B错误；
CD．金属棒P达到最大速度时，释放金属棒Q，则P的加速度
Q的加速度则aP