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新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：8.3 圆的方程
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这是一份新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：8.3 圆的方程，共8页。
8.3 圆的方程
必备知识预案自诊
知识梳理
1.圆的定义及方程
定义
平面上到 的距离等于 的点的集合(轨迹)叫做圆
标准
方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心:
半径:
一般
方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
圆心:-D2,-E2
半径:
注意:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点-D2,-E2;当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义,不表示任何图形.
2.点与圆的位置关系
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),点M(x0,y0),
(1)(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点M在圆上;
(2)(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点M在圆外;
(3)(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点M在圆内.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.( )
(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.( )
(3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为-a2,-a,半径为12-3a2-4a+4的圆.( )
(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以线段AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.( )
(5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x02+y02+Dx0+Ey0+F>0.( )
2.若圆C的半径为1,圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,则圆C的标准方程为( )
A.x2+y2=1 B.(x-3)2+y2=1
C.(x-1)2+y2=1 D.x2+(y-3)2=1
3.以A(-2,1),B(1,5)为半径两端点的圆的方程为( )
A.(x+2)2+(y-1)2=25
B.(x-1)2+(y-5)2=25
C.(x+2)2+(y-1)2=25或(x-1)2+(y-5)2=25
D.(x+2)2+(y-1)2=5或(x-1)2+(y-5)2=5
4.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则圆C的标准方程是( )
A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=1
C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1
5.已知点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,则△AOB外接圆的方程为 .
关键能力学案突破
考点
求圆的方程
【例1】(1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 .
(2)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且被直线x-y-3=0截得的弦长为6,则圆C的方程为 .
解题心得求圆的方程的方法
方法
解读
适合题型
几何法
通过研究圆的性质、直线和圆及圆和圆的位置关系,进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程.常用的几何性质如下:
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
(2)圆心在任一弦的垂直平分线上;
(3)当两圆内切或外切时,切点与两圆心三点共线
题设条件中有明显的几何特征
待定系数法
(1)根据条件设出圆的方程,一般地,若题目中有与圆心和半径有关的信息,则选择标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),若已知圆上三点的坐标(或三点坐标易求),则选择一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0);
(2)由题目给出的条件,列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;
(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程
题设条件中有明显的代数特征
对点训练1(1)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .
(2)(多选)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的有( )
A.圆M的圆心坐标为(4,-3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.圆M的半径为25
D.圆M被y轴截得的弦长为6
考点
与圆有关的轨迹问题
【例2】已知直角三角形ABC的斜边为AB,且点A(-1,0),B(3,0).
(1)求直角顶点C的轨迹方程;
(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程.
解题心得求与圆有关的轨迹方程的方法
对点训练2(1)从圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为( )
A.8x-6y-21=0 B.8x+6y-21=0
C.6x+8y-21=0 D.6x-8y-21=0
(2)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点,则点M的轨迹方程为 .
考点
与圆有关的最值问题(多考向探究)
考向1 借助目标函数的几何意义求最值
【例3】已知点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.
(1)求m+2n的最大值;
(2)求n-3m+2的最大值和最小值.
解题心得借助几何性质求与圆有关的最值问题,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.
(1)形如u=y-bx-a形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
对点训练3已知实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,则z=y+1x的最大值与最小值分别为 和 .
考向2 借助圆的几何性质求最值
【例4】已知点A(0,2),点P在直线x+y+2=0上运动,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上运动,则|PA|+|PQ|的最小值是 .
解题心得形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:
(1)减少动点的个数;
(2)“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.
对点训练4(2020山东济宁模拟)已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP的面积的最小值为 .
考向3 建立函数关系求最值
【例5】(2020福建厦门模拟)设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则PA·PB的最大值为 .
解题心得利用函数关系求最值时,先根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或基本不等式求最值.
对点训练5(2020宁夏银川模拟)设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|PA+PB|的最大值为 .
8.3 圆的方程
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.定点 定长 (a,b) r D2+E2-4F2
2.(1)= (2)> (3)<
考点自诊
1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.A 因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,所以圆心C(0,0).又圆C的半径为1,所以圆C的标准方程为x2+y2=1.
3.C 由题意得半径r=(-2-1)2+(1-5)2=5,若以A(-2,1)为圆心,则所求圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=25,若以B(1,5)为圆心,则所求圆的方程为(x-1)2+(y-5)2=25.故选C.
4.A 因为圆心在第一象限,且与x轴相切,所以设圆心的坐标为(a,1)(a>0).
又圆C与直线4x-3y=0相切,所以|4a-3|5=1,解得a=2.所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
5.(x-1)2+(y-2)2=5 (方法1)由题意知OA⊥OB,则△AOB外接圆的圆心为AB的中点(1,2),半径为12|AB|=5,所以△AOB外接圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
(方法2)设△AOB外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为该圆过点A(2,0),B(0,4),O(0,0)三点,所以4+2+F=0,16+4E+F=0,F=0,解得D=-2,E=-4,F=0,则△AOB外接圆的方程为x2+y2-2x-4y=0,
即(x-1)2+(y-2)2=5.
关键能力·学案突破
例1(1)(x-3)2+y2=2 (2)(x-1)2+(y+1)2=2 (1)(方法1)由已知得kAB=0,所以线段AB的垂直平分线的方程为x=3.①
过点B且垂直于直线x-y-1=0的直线的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.②
联立①②,解得x=3,y=0,
所以圆心坐标为(3,0),
半径r=(4-3)2+(1-0)2=2,
所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.
(方法2)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
因为点A(4,1),B(2,1)都在圆C上,
所以(4-a)2+(1-b)2=r2,(2-a)2+(1-b)2=r2,解得a=3.由题意可知b-1a-2=-1,所以b=0.所以r=(4-3)2+(1-0)2=2.
故圆C的方程为(x-3)2+y2=2.
(2)由圆C的圆心在直线x+y=0上,可设圆心坐标为(a,-a),又圆C与直线x-y=0相切,所以圆的半径r=2|a|.因为圆心到直线x-y-3=0的距离d=2a-32,圆C被直线x-y-3=0截得的弦长为6,所以d2+622=r2,即(2a-3)22+32=2a2,解得a=1,所以圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
对点训练1(1)x2+y2-2x=0 (2)ABD (1)设点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,1),(2,0),则AO=AB,所以点A在线段OB的垂直平分线上.又因为OB为该圆的一条弦,所以圆心在线段OB的垂直平分线上,可设圆心坐标为(1,y),
所以(y-1)2=1+y2,解得y=0,所以该圆的半径为1,其方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.
(2)由x2+y2-8x+6y=0,得(x-4)2+(y+3)2=25,
故圆M的圆心坐标为(4,-3),半径为5,显然选项A正确,选项C不正确.
令y=0,解得x1=0,x2=8,故圆M被x轴截得的弦长为8,同理,圆M被y轴截得的弦长为6,故选项B,D均正确.故选ABD.
例2解(1)设点C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.
又AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1.
又kAC=yx+1,kBC=yx-3,
所以yx+1·yx-3=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.故直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).
(2)设点M(x,y),C(x0,y0),因为点B(3,0),M是线段BC的中点,所以x=x0+32,y=y0+02,所以x0=2x-3,y0=2y.
由(1)知,点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0),即(x-1)2+y2=4(y≠0),
将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4(y≠0),
即(x-2)2+y2=1(y≠0).故点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).
对点训练2(1)D
(2)
(x-1)2+(y-3)2=2 (1)由题意得,圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,如图.因为|PQ|=|PO|,且PQ⊥CQ,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以点P的轨迹方程为6x-8y-21=0.故选D.
(2)依题意,圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心C(0,4).设点M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).
由题意知CM·MP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.
因为点P在圆C的内部,所以点M的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.
例3解(1)(方法1)依题意,圆心C(2,7),半径r=22.
设m+2n=t,则点M(m,n)为直线x+2y=t与圆C的公共点,
所以圆心C到该直线的距离d=|2+2×7-t|12+22≤22,
解得16-210≤t≤16+210.
所以m+2n的最大值为16+210.
(方法2)由x2+y2-4x-14y+45=0,得(x-2)2+(y-7)2=8.
因为点M(m,n)为圆C上任意一点,
所以可设m-2=22cosθ,n-7=22sinθ,(θ为参数)
即m=2+22cosθ,n=7+22sinθ,(θ为参数)
所以m+2n=2+22cosθ+2(7+22sinθ)=16+22cosθ+42sinθ
=16+210sin(θ+φ),其中tanφ=12.
因为-1≤sin(θ+φ)≤1,
所以m+2n的最大值为16+210.
(2)设点Q(-2,3).
则直线MQ的斜率k=n-3m+2.
设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0.
由直线MQ与圆C有公共点,
得|2k-7+2k+3|k2+1≤22,
解得2-3≤k≤2+3,
即2-3≤n-3m+2≤2+3.所以n-3m+2的最大值为2+3,最小值为2-3.
对点训练34+73 4-73 由题意,得y+1x表示过点A(0,-1)和圆(x-2)2+(y-1)2=1上的动点P(x,y)的直线的斜率.当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值与最小值.设切线方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,则|2k-2|k2+1=1,解得k=4±73.所以zmax=4+73,zmin=4-73.
例425 依题意,圆心C(2,1),半径r=5.
设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m,n),
则m+02+n+22+2=0,n-2m-0=1,解得m=-4,n=-2,
故A'(-4,-2).连接A'C交直线x+y+2=0于点P,交圆C于点Q(图略),此时|PA|+|PQ|取得最小值.由对称性可知此时|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|-r=25.
对点训练4112
依题意,圆心C(0,1),半径r=1.
如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆C于点P,连接BP,AP,此时△ABP的面积最小.因为直线AB的方程为x4+y-3=1,即3x-4y-12=0,所以圆心C到直线AB的距离d=165.
又|AB|=32+42=5,所以△ABP的面积的最小值为12×5×165-1=112.
例512 由题意,知PA=(2-x,-y),PB=(-2-x,-y),所以PA·PB=x2+y2-4.因为点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的点,所以x2+(y-3)2=1,2≤y≤4,所以x2=-(y-3)2+1,
所以PA·PB=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.因为2≤y≤4,所以当y=4时,PA·PB的值最大,最大值为6×4-12=12.
对点训练510 由题意,知PA=(-x,2-y),PB=(-x,-2-y),所以PA+PB=(-2x,-2y),所以|PA+PB|=2x2+y2.因为点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的点,所以(x-3)2+y2=4,1≤x≤5,所以y2=-(x-3)2+4,所以|PA+PB|=2x2-(x-3)2+4=26x-5.因为1≤x≤5,所以当x=5时,|PA+PB|的值最大,最大值为26×5-5=10.
8.3 圆的方程
必备知识预案自诊
知识梳理
1.圆的定义及方程
定义
平面上到 的距离等于 的点的集合(轨迹)叫做圆
标准
方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心:
半径:
一般
方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
圆心:-D2,-E2
半径:
注意:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点-D2,-E2;当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义,不表示任何图形.
2.点与圆的位置关系
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),点M(x0,y0),
(1)(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点M在圆上;
(2)(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点M在圆外;
(3)(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点M在圆内.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.( )
(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.( )
(3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为-a2,-a,半径为12-3a2-4a+4的圆.( )
(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以线段AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.( )
(5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x02+y02+Dx0+Ey0+F>0.( )
2.若圆C的半径为1,圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,则圆C的标准方程为( )
A.x2+y2=1 B.(x-3)2+y2=1
C.(x-1)2+y2=1 D.x2+(y-3)2=1
3.以A(-2,1),B(1,5)为半径两端点的圆的方程为( )
A.(x+2)2+(y-1)2=25
B.(x-1)2+(y-5)2=25
C.(x+2)2+(y-1)2=25或(x-1)2+(y-5)2=25
D.(x+2)2+(y-1)2=5或(x-1)2+(y-5)2=5
4.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则圆C的标准方程是( )
A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=1
C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1
5.已知点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,则△AOB外接圆的方程为 .
关键能力学案突破
考点
求圆的方程
【例1】(1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 .
(2)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且被直线x-y-3=0截得的弦长为6,则圆C的方程为 .
解题心得求圆的方程的方法
方法
解读
适合题型
几何法
通过研究圆的性质、直线和圆及圆和圆的位置关系,进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程.常用的几何性质如下:
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
(2)圆心在任一弦的垂直平分线上;
(3)当两圆内切或外切时,切点与两圆心三点共线
题设条件中有明显的几何特征
待定系数法
(1)根据条件设出圆的方程,一般地,若题目中有与圆心和半径有关的信息,则选择标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),若已知圆上三点的坐标(或三点坐标易求),则选择一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0);
(2)由题目给出的条件,列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;
(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程
题设条件中有明显的代数特征
对点训练1(1)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .
(2)(多选)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的有( )
A.圆M的圆心坐标为(4,-3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.圆M的半径为25
D.圆M被y轴截得的弦长为6
考点
与圆有关的轨迹问题
【例2】已知直角三角形ABC的斜边为AB,且点A(-1,0),B(3,0).
(1)求直角顶点C的轨迹方程;
(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程.
解题心得求与圆有关的轨迹方程的方法
对点训练2(1)从圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为( )
A.8x-6y-21=0 B.8x+6y-21=0
C.6x+8y-21=0 D.6x-8y-21=0
(2)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点,则点M的轨迹方程为 .
考点
与圆有关的最值问题(多考向探究)
考向1 借助目标函数的几何意义求最值
【例3】已知点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.
(1)求m+2n的最大值;
(2)求n-3m+2的最大值和最小值.
解题心得借助几何性质求与圆有关的最值问题,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.
(1)形如u=y-bx-a形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
对点训练3已知实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,则z=y+1x的最大值与最小值分别为 和 .
考向2 借助圆的几何性质求最值
【例4】已知点A(0,2),点P在直线x+y+2=0上运动,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上运动,则|PA|+|PQ|的最小值是 .
解题心得形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:
(1)减少动点的个数;
(2)“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.
对点训练4(2020山东济宁模拟)已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP的面积的最小值为 .
考向3 建立函数关系求最值
【例5】(2020福建厦门模拟)设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则PA·PB的最大值为 .
解题心得利用函数关系求最值时,先根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或基本不等式求最值.
对点训练5(2020宁夏银川模拟)设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|PA+PB|的最大值为 .
8.3 圆的方程
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.定点 定长 (a,b) r D2+E2-4F2
2.(1)= (2)> (3)<
考点自诊
1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.A 因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,所以圆心C(0,0).又圆C的半径为1,所以圆C的标准方程为x2+y2=1.
3.C 由题意得半径r=(-2-1)2+(1-5)2=5,若以A(-2,1)为圆心,则所求圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=25,若以B(1,5)为圆心,则所求圆的方程为(x-1)2+(y-5)2=25.故选C.
4.A 因为圆心在第一象限,且与x轴相切,所以设圆心的坐标为(a,1)(a>0).
又圆C与直线4x-3y=0相切,所以|4a-3|5=1,解得a=2.所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
5.(x-1)2+(y-2)2=5 (方法1)由题意知OA⊥OB,则△AOB外接圆的圆心为AB的中点(1,2),半径为12|AB|=5,所以△AOB外接圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
(方法2)设△AOB外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为该圆过点A(2,0),B(0,4),O(0,0)三点,所以4+2+F=0,16+4E+F=0,F=0,解得D=-2,E=-4,F=0,则△AOB外接圆的方程为x2+y2-2x-4y=0,
即(x-1)2+(y-2)2=5.
关键能力·学案突破
例1(1)(x-3)2+y2=2 (2)(x-1)2+(y+1)2=2 (1)(方法1)由已知得kAB=0,所以线段AB的垂直平分线的方程为x=3.①
过点B且垂直于直线x-y-1=0的直线的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.②
联立①②,解得x=3,y=0,
所以圆心坐标为(3,0),
半径r=(4-3)2+(1-0)2=2,
所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.
(方法2)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
因为点A(4,1),B(2,1)都在圆C上,
所以(4-a)2+(1-b)2=r2,(2-a)2+(1-b)2=r2,解得a=3.由题意可知b-1a-2=-1,所以b=0.所以r=(4-3)2+(1-0)2=2.
故圆C的方程为(x-3)2+y2=2.
(2)由圆C的圆心在直线x+y=0上,可设圆心坐标为(a,-a),又圆C与直线x-y=0相切,所以圆的半径r=2|a|.因为圆心到直线x-y-3=0的距离d=2a-32,圆C被直线x-y-3=0截得的弦长为6,所以d2+622=r2,即(2a-3)22+32=2a2,解得a=1,所以圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
对点训练1(1)x2+y2-2x=0 (2)ABD (1)设点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,1),(2,0),则AO=AB,所以点A在线段OB的垂直平分线上.又因为OB为该圆的一条弦,所以圆心在线段OB的垂直平分线上,可设圆心坐标为(1,y),
所以(y-1)2=1+y2,解得y=0,所以该圆的半径为1,其方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.
(2)由x2+y2-8x+6y=0,得(x-4)2+(y+3)2=25,
故圆M的圆心坐标为(4,-3),半径为5,显然选项A正确,选项C不正确.
令y=0,解得x1=0,x2=8,故圆M被x轴截得的弦长为8,同理,圆M被y轴截得的弦长为6,故选项B,D均正确.故选ABD.
例2解(1)设点C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.
又AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1.
又kAC=yx+1,kBC=yx-3,
所以yx+1·yx-3=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.故直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).
(2)设点M(x,y),C(x0,y0),因为点B(3,0),M是线段BC的中点,所以x=x0+32,y=y0+02,所以x0=2x-3,y0=2y.
由(1)知,点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0),即(x-1)2+y2=4(y≠0),
将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4(y≠0),
即(x-2)2+y2=1(y≠0).故点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).
对点训练2(1)D
(2)
(x-1)2+(y-3)2=2 (1)由题意得,圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,如图.因为|PQ|=|PO|,且PQ⊥CQ,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以点P的轨迹方程为6x-8y-21=0.故选D.
(2)依题意,圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心C(0,4).设点M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).
由题意知CM·MP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.
因为点P在圆C的内部,所以点M的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.
例3解(1)(方法1)依题意,圆心C(2,7),半径r=22.
设m+2n=t,则点M(m,n)为直线x+2y=t与圆C的公共点,
所以圆心C到该直线的距离d=|2+2×7-t|12+22≤22,
解得16-210≤t≤16+210.
所以m+2n的最大值为16+210.
(方法2)由x2+y2-4x-14y+45=0,得(x-2)2+(y-7)2=8.
因为点M(m,n)为圆C上任意一点,
所以可设m-2=22cosθ,n-7=22sinθ,(θ为参数)
即m=2+22cosθ,n=7+22sinθ,(θ为参数)
所以m+2n=2+22cosθ+2(7+22sinθ)=16+22cosθ+42sinθ
=16+210sin(θ+φ),其中tanφ=12.
因为-1≤sin(θ+φ)≤1,
所以m+2n的最大值为16+210.
(2)设点Q(-2,3).
则直线MQ的斜率k=n-3m+2.
设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0.
由直线MQ与圆C有公共点,
得|2k-7+2k+3|k2+1≤22,
解得2-3≤k≤2+3,
即2-3≤n-3m+2≤2+3.所以n-3m+2的最大值为2+3,最小值为2-3.
对点训练34+73 4-73 由题意,得y+1x表示过点A(0,-1)和圆(x-2)2+(y-1)2=1上的动点P(x,y)的直线的斜率.当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值与最小值.设切线方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,则|2k-2|k2+1=1,解得k=4±73.所以zmax=4+73,zmin=4-73.
例425 依题意,圆心C(2,1),半径r=5.
设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m,n),
则m+02+n+22+2=0,n-2m-0=1,解得m=-4,n=-2,
故A'(-4,-2).连接A'C交直线x+y+2=0于点P,交圆C于点Q(图略),此时|PA|+|PQ|取得最小值.由对称性可知此时|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|-r=25.
对点训练4112
依题意,圆心C(0,1),半径r=1.
如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆C于点P,连接BP,AP,此时△ABP的面积最小.因为直线AB的方程为x4+y-3=1,即3x-4y-12=0,所以圆心C到直线AB的距离d=165.
又|AB|=32+42=5,所以△ABP的面积的最小值为12×5×165-1=112.
例512 由题意,知PA=(2-x,-y),PB=(-2-x,-y),所以PA·PB=x2+y2-4.因为点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的点,所以x2+(y-3)2=1,2≤y≤4,所以x2=-(y-3)2+1,
所以PA·PB=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.因为2≤y≤4,所以当y=4时,PA·PB的值最大,最大值为6×4-12=12.
对点训练510 由题意,知PA=(-x,2-y),PB=(-x,-2-y),所以PA+PB=(-2x,-2y),所以|PA+PB|=2x2+y2.因为点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的点,所以(x-3)2+y2=4,1≤x≤5,所以y2=-(x-3)2+4,所以|PA+PB|=2x2-(x-3)2+4=26x-5.因为1≤x≤5,所以当x=5时,|PA+PB|的值最大,最大值为26×5-5=10.
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