高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件测试题

1.4充分条件与必要条件同步练习人教 A版（2019）高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设，则“”是“”的     

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2. 已知条件p：，条件q：，且q是p的充分不必要条件，则m的取值集合是   

A.  B.  C.  D.

3. 若，，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知，则“”是“”的

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

5. “”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围  

A.  B.  C.  D.

7. 设p：实数x，y满足且，q：实数x，y满足，则p是q的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 不等式成立的一个充分不必要条件是，则a的取值范围为   

A.  B.  C.  D.

9. 若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是     

A.  B.  C.  D.

10. 已知集合，，那么“”是“”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

11. 设，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

12. 已知p：；q：，，则p是q的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 对于任意实数a，b，c，有以下命题：
    “”是“”的充要条件；
    “是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
    “”是“”的充分条件；
    “”是“”的必要条件．
    其中正确命题的序号是          ．
14. 若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是          ．
15. 最新版高中数学教材必修第一册的阅读题墨经上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想．请问，文中的“大故”指的是逻辑中的          选“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”之一填空．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 根据下列要求，写出“角与角终边重合”的一个：必要不充分条件          ；充分不必要条件          ．
17. 若集合，，其中b为实数．

若A是B的充要条件，则          ；

若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是：          答案不唯一，写出一个即可

18. 设p：实数x，y满足且，q：实数x，y满足，则p是q的          条件，q是p的          条件．选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 求证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知集合，，
    证明：的充要条件为．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知集合，集合

  若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围；

  是否存在实数m，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．






 

22. 已知集合，且．

若是的充分条件，求a的取值范围；

若，求a的取值范围．






 

23. 已知p：，q：．
    若，求实数m的值；
    若p是的充分条件，求实数m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查充分必要条件，考查解不等式问题，属于基础题．
根据充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果．

【解答】

解：，，
，，
推不出，
，
是的必要不充分条件，
即是的必要不充分条件．
故选：B．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查必要条件、充分条件及根据集合的关系求参数的取值．
由题意，条件p：，条件q：， 结合q是p的充分不必要条件，可知B为，，，从而得解．   

【解答】

   解：条件p：， 
条件q：，  
由q是p的充分不必要条件，可得，
则B为或或，
若，则；   
若，则，解得；   
若，则，解得；   
故选C．

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了必要条件、充分条件的判断和基本不等式，属于中档题．
利用基本不等式，由结合基本不等式得，当且仅当时等号成立，可得充分性成立通过取特殊值，得到必要性不成立，即可得出结论．

【解答】

解：因为，，所以，当且仅当时等号成立，
由可得，解得，当且仅当时等号成立，所以充分性成立
当时，取，，满足，但，所以必要性不成立．
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选A．

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，是基础题．
“”“”，“”“或”，由此能求出结果．

【解答】

解：，则“”“”，
“”“或”，
“”是“”的充分非必要条件．
故选A．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式的解法、必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由，解得x的范围，即可判断出结论．

【解答】

解：由，解得，或．
“”是“”的的充分不必要条件，
故选：A．

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查必要不充分条件的应用，属于基础题．
由条件得到关于m的不等式，即可求解．
【解答】
解：由条件可得：，解得：．

故实数m的取值范围为：．
故选A．

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式的性质、充分条件、必要条件的判定方法，属于基础题．
根据不等式的性质与特例法分别判断充分性和必要性是否成立即可得．

【解答】

解：由且，可得：，
反之不成立：例如取，．
是q的充分不必要条件．
故选A．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查充分不必要条件以及集合与集合之间关系的应用，属于中档题．
先求解一元二次不等式可得的解集，再由题意得关于a的不等式组求解即可．
【解答】

解：由不等式，得．
不等式成立的一个充分不必要条件是，
，
因为，
所以且与的等号不同时成立，
解得．
的取值范围为．
故选D．

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查充分条件的判断，属于中档题．
由已知不等式成立的充分条件是，令不等式的解集为A，可得，可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案．

【解答】

解：不等式成立的充分条件是，
设不等式的解集为A，则，
当时，，不满足要求；
当时，，
若，则
解得．
故选A．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

根据集合交集的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合交集的定义进行运算是解决本题的关键．

【解答】

解：当时，，，则成立，即充分性成立，
若，则或，即或或，
当时，不成立，
当时，，，则成立，
当时，不成立，综上，
即“”是“”的充要条件，
故选：C．

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由，化为，即可解出，根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】

解：由，，解得．
则由“”“”，
由“”推不出“”，
则“”是“”的充分不必要条件；
故选：A．

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

先利用一元二次不等式恒成立求出q中a的范围，然后利用两个范围之间的关系结合充分条件与必要条件的定义进行判断即可．
本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握充分条件与必要条件的判断方法，属于基础题．

【解答】

解：因为，，
所以，解得，
所以q：，
又p：，
因为，，
故p是q的必要不充分条件．
故选：B．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．
根据必要条件、充分条件的定义对题目中的四个答案逐一进行分析即可得到答案．

【解答】

解：中“”“”为真命题， 
但当时，“”“”为假命题， 
故“”是“”的充分不必要条件，
故为假命题；
 中“是无理数”“a是无理数”为真命题， 
“a是无理数”“是无理数”也为真命题， 
故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，
故为真命题； 
“”是“”的必要条件，
故为假命题； 
中，故“”是“”的必要条件，
故为真命题；
故真命题为．
故答案为：．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查充分不必要条件的应用，涉及一元二次不等式的解法．
不等式可解得或，再根据题意即可求解．

【解答】

解：若“”是“”成立的充分不必要条件，
则“”可以推出“”，但是“”推不出“”，
由解得或，
所以．
故答案为．

15.【答案】充分条件
 

【解析】

【分析】

本题考查充分必要条件的判断．
由充分条件的定义即可判断．

【解答】

解：因为“大故，有之必然“，有“大故”一定可得到结果，由充分条件的概念可得“大故”是充分条件，
故答案为充分条件．

16.【答案】答案不唯一

答案不唯一

【解析】

【分析】

本题是开放性的问题，答案不唯一，考查了充分条件和必要条件的判断，属于中档题．

根据条件判断和终边重合角的性质直接写出即可．

【解答】

解：必要不充分条件，写一个表示范围更大的条件，如；
充分不必要条件，写一个表示范围更小的条件，如．

故答案为：；答案不唯一

17.【答案】 

  答案不唯一

【解析】

【分析】

本题考查利用充分不必要条件求参数，属于中档题．
分析可得，即可解得b的值；

根据不等式对任意的恒成立，求出实数b的取值范围，结合A是B的充分不必要条件可得出实数b的取值范围．

【解答】

解：由已知可得，解得；

若不等式对任意的恒成立，则对任意的恒成立，

当时，，则，

因为A是B的充分不必要条件，故b的取值范围可以是答案不唯一．

故答案为：；答案不唯一．

18.【答案】充分不必要；

必要不充分

【解析】

【分析】

本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题型，
由且，可得：，反之不成立，例如取，，即可求解．

【解答】

解：由且，可得：，反之不成立，
例如取，，此时，但是，
是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
故答案为充分不必要；必要不充分．

19.【答案】证明：充分性：由可推得
及为方程的两根．
所以方程有两个相异实根，且两根异号，
即方程有一正根和一负根，充分性成立；

必要性：因为方程有一正根和一负根，
所以，为方程的两根，
所以，必要性成立；

综上所述，一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是．

【解析】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，一元二次方程根的个数与符号的关系，
利用充要条件的有关定义先判断充分性是否成立，再判断必要性是否成立，然后即可得到结论．
 

20.【答案】证明：若，
3，，7，，，

，且，解得：或；
或，且无解，舍去，
经检验，时，，不满足集合中元素的互异性，不合题意舍去，
则，所以是的必要条件；
若，
3，，1，3，．
所以，
所以是的充分条件，
综上得的充要条件为．

【解析】此题考查了交集及其运算及充分条件和必要条件的判断，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
分别证明是的必要条件和充分条件即可．
 

21.【答案】解：根据题意，得．

由题意可知，
由，

则，
解得．

所以实数m的取值范围是．

假设存在实数m，使得是的必要不充分条件，
所以，即，
则，且等号不能同时成立，此时不等式组无解．

故不存在实数m，使得是的必要不充分条件．

【解析】本题考查充分、必要、充要条件与集合的关系．
根据充分不必要条件可得进而求出结果；
假设存在实数m满足条件，则即，且等号不能同时成立，进而求出结果．
 

22.【答案】解：且，，
是的充分条件，集合，
，，解得，
a的取值范围为．
由且，
得，
若，
或
所以a的取值范围为或．
 

【解析】本题考查根据集合的关系求参数取值范围的问题，属于中档题．
根据条件可知，，列不等式组求参数a 的取值范围；
根据，且，可知或，即可求a 的取值范围．
 

23.【答案】解：由已知得：，．
，
，
，
故；
是的充分条件，
，
而或，
或，
或．
 

【解析】此题主要考查集合的定义及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法，属中档题．
根据一元二次不等式的解法，对A，B集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A，B，再根据，求出实数m的值；
由解出的集合A，B，因为p是的充分条件，所以，根据子集的定义和补集的定义，列出不等式进行求解．