人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系第1课时达标测试

课后素养落实(二十五)　函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若函数f(x)＝，则g(x)＝f(4x)－x的零点是(　　)

A．2　　　　B．　　　　C．4　　　　D．

B　[因为f(x)＝，

所以f(4x)＝.

则g(x)＝－x，令g(x)＝0.

则－x＝0，解得x＝.]

 2.函数y＝f(x)的大致图像如图所示，则函数y＝f(|x|)的零点的个数为(　　)

A．4　 B．5　　　　

C．6　　　　 D．7

D　[∵y＝f(|x|)是偶函数，∴其图像关于y轴对称．

∵当x＞0时，函数有三个零点，∴当x＜0时，函数也有三个零点．又因为0是y＝f(|x|)的一个零点，故共有7个零点．故选D．]

3．不等式－x2≤x－6的解集是(　　)

A．(－∞，－3] B．[－3,2]

C．[2，＋∞) D．(－∞，－3]∪[2，＋∞)

D　[原不等式可化为x2＋x－6≥0，

∴x≤－3或x≥2.故选D．]

4．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是(　　)

A．[－4,4] 

B．(－4,4)

C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) 

D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)

A　[由条件可知，Δ＝a2－4×4≤0，所以－4≤a≤4.故选A．]

5．(多选题)下列各选项中能使不等式<0成立的是(　　)

A．{x|－1<x<2} B．{x|1<x<3}

C．{x|2<x<3} D．{x|3<x<4}

AC　[原不等式⇔(x－2)2(x＋1)(x－3)<0，

所以－1<x<3且x≠2.]

二、填空题

6．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．

－，－　[依题意知方程x2－ax－b＝0的两个根是2和3，所以有a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，b＝－6，因此g(x)＝－6x2－5x－1，易求出其零点是－和－.]

7．观察下图函数y＝f(x)的图像，填空：

当x∈________时，f(x)＝0；

当x∈________时，f(x)>0；

当x∈________时，f(x)<0.

{－2,2,3}　(－∞，－2)∪(3，＋∞)　(－2,2)∪(2,3)　[根据图像知，f(x)＝0的解集是：{－2,2,3}．

f(x)>0的解集是：(－∞，－2)∪(3，＋∞)，

f(x)<0的解集是：(－2,2)∪(2,3)．]

8．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．

3　0　[∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，∴f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)，(－∞，0)上都只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.]

三、解答题

9．解下列不等式：

(1)－2x2＋3x－2<0；

(2)－x2＋7x>6.

[解]　(1)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，

因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，

所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，

又二次函数y＝2x2－3x＋2的图像开口向上，

所以原不等式的解集为R.

(2)原不等式可化为x2－7x＋6<0.

解方程x2－7x＋6＝0，得x1＝1，x2＝6.

结合二次函数y＝x2－7x＋6的图像知，原不等式的解集为{x|1<x<6}．

10．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.

(1)写出函数y＝f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．

[解]　(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，

∵y＝f(x)是奇函数，

∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，

∴f(x)＝

(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1．

∴作出函数y＝f(x)的图像，如图所示，

根据图像得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，

则a的取值范围是(－1,1)．

1．(多选题)已知函数f(x)＝，则函数g(x)＝f(x)－2的零点是(　　)

A．　　　　B．　　　　C．－　　　　D．2

AB　[由题意得，

令函数g(x)＝f(x)－2＝0，即f(x)＝2，

当x≤1时，令3－2x＝2，解得x＝；

当x>1时，令x2＝2，

解得x＝或x＝－(舍去)，

所以函数g(x)的零点为，.]

2．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的解的个数是(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

C　[由已知解得

∴f(x)＝

当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，

即x2＋3x＋2＝0，

∴x＝－1或x＝－2；

当x>0时，方程为x＝2，

∴方程f(x)＝x有3个解．]

3．若关于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是________．

＜a≤　[不等式可化为(4－a)x2－4x＋1＜0，①

由原不等式的解集中的整数恰有3个，

得即0＜a＜4.

故由①得＜x＜.又＜＜，

所以解集中的3个整数必为1,2,3，所以3＜≤4，解得＜a≤.]

4．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________．

　[∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)·(1－x－a)，

∴不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1，

即(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x恒成立，

即x2－x－a2＋a＋1＞0对任意实数x恒成立，

所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＜0，解得－＜a＜.]

设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)．

(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；

(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f(x)与m的大小．

[解]　(1)由题意知a≠0，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)，当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)＞0，即a(x＋1)·(x－2)＞0.

当a＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}；

当a＜0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|－1＜x＜2}．

(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，因为a＞0，且0＜x＜m＜n＜，所以x－m＜0,1－an＋ax＞0，所以f(x)－m＜0，即f(x)＜m.