数学北师大版3.2平面向量基本定理练习题

2020-2021学年北师大版必修4  2.3.2 平面向量基本定理  作业

1、对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：，则（    ）

A．四点O，A，B，C必共面

B．四点P，A，B，C必共面

C．四点O，P，B，C必共面

D．五点O，P，A，B，C必共面

2、已知中，，，，为所在平面上一点，且满足.设，则的值为（    ）

A．2 B．1 C． D．

3、在等边三角形中，是线段的中点，，垂足为，为上一点，，则等于（    ）

A． B． C． D．

4、如图,平行四边形中,,分别是,中点,与交于点．若,,则(    )

A． B． C． D．

5、在中，，是线段上一点，且则是（    ）

A． B． C． D．

6、已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为（   ）

A. B. C. D.

7、如图，在平行四边形中，、分别为、上的点，且，连接、交于点，若，则点在上的位置为（    ）

A．边中点

B．边上靠近点的三等分点

C．边上靠近点的四等分点

D．边上靠近点的五等分点

8、在△ABC中，则m＋n等于(　 　)

A．  B．  C．  D．1

9、在正方形中，、分别是、的中点，若，则实数（     ）

A． B． C． D．

10、在中，，为的中点，若，则（    ）

A． B． C． D．

11、如图,已知,若点满足,,则(    )

A． B． C． D．

12、下列各组向量中，可以作为基底的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

13、如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则______.

14、在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为______.

15、若实数满足，其中是边延长线（不含）上一点，则的取值范围为______.

16、如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则_________．

17、光线从点射入，经x轴上点P反射后，经过点，求点P的坐标．

18、四边形中，，，．

（1）若，试求与满足的关系式；

（2）满足（1）的同时又有，求，的值及四边形的面积．

19、在中，，，点为与的交点，记，．

（1）用、表示、；

（2）求．

参考答案

1、答案B

由已知得，可得，利用共面向量定理即可判断出．

详解：解：由已知得，

而，

四点、、、共面．

故选：．

名师点评

本题考查了共面向量定理，属于基础题．

2、答案C

由由，得：点是的外心，由向量的投影的概念可得：，再代入运算，即可

详解

解：由，得：点是的外心，

又外心是中垂线的交点，则有：，

即，

又，，，

所以，解得：，

即，

故选：．

名师点评

本题考查了外心是中垂线的交点，投影的概念，平面向量的数量积公式，属中档题.

3、答案B

由已知条件可得， ，，然后把向量作为基底，结合图形利用平面向量基本定理将向量表示即可.

详解：解：因为为等边三角形，是线段的中点，，垂足为，

所以，

因为，所以，

所以

,

故选：B

名师点评

此题考查了平面向量基本定理，向量的加减法运算，属于基础题.

4、答案A

利用平行四边形的性质，结合平面向量的加法的几何意义、平面向量共线定理、平面向量基本定理，直接求解即可.

详解

平行四边形中,,分别是,中点,与交于点

,,,

.

故选：A

名师点评

本题考查了平面向量基本定理，考查了平面向量共线定理，考查了平面向量的加法的几何意义，属于基础题.

5、答案D

由正切值求得余弦值，再结合向量基本定理，用基向量对问题进行处理.

详解

因为，由同角三角函数关系解得

在中，由题可知：

故：

=-

故选：D.

名师点评

本题考查平面向量基本定理的应用，重点是基向量的选择.

6、答案C

如图:设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,过A作,垂足为,然后根据向量知识将的最大值转化为的最大值来求,

详解

如图:

设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,

过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,

过A作,垂足为,交BC于K，此时圆P的圆心为,BC=5,,,其中,又,

所以,

当Q在BC的下方时, ;

当Q在BC上时,,

当Q在BC的上方时,,

根据平面几何知识,可知当Q为、 D为K时，最大，所以x+y取最大，

所以：x+y的最大值为：．

故选：C．

名师点评

本题考查了平面向量基本定理,三点共线的向量表示,分类讨论思想,,属难题.

7、答案B

设，可得出，由，并将用表示，将用表示，利用、、三点共线求出的值，即可得出点在边上的位置.

详解

设，可得出，，.

，

、、三点共线，，解得，即，

因此，点在边上靠近点的三等分点.

故选B.

名师点评

本题考查平面向量的基本定理与线性运算，解题的关键就是利用三点共线结论求出参数的值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

8、答案B

由题意可得：

结合： ，则：

，

据此可得方程组： ，解得： ，

据此可得： .

本题选择B选项.

9、答案C

将向量、用、表示，进而可将、用、表示，再由向量加法的平行四边形法则得出，代入可求得实数、的值，由此可得出的值.

详解：因为，①；

，②

由①②得，，

，

因为，所以，，.

故选：C.

名师点评

本题考查利用平面向量的基本定理求参数，解答的关键在于选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.

10、答案B

由已知得，转化为以为起点的向量关系，将用向量表示，进而用表示，求出，即可求出结论.

详解

，

为的中点，，

.

故选:B.

名师点评

本题考查向量基本定理，向量的线性运算，属于基础题.

11、答案D

先由题意，根据平面向量的线性运算，得到，结合题中条件，求出，即可得出结果.

详解

因为，所以，

即，

又，所以，

所以.

故选：D.

名师点评

本题主要考查利用平面向量基本定理求参数，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.

12、答案A

判断各选项中的两个向量是否共线，可得出合适的选项.

详解

对于A选项，，，由于，则和不共线，A选项中的两个向量可以作基底；

对于B选项，，，则和共线，B选项中的两个向量不能作基底；

对于C选项，，，则，C选项中的两个向量不能作基底；

对于D选项，，，则，D选项中的两个向量不能作基底.

故选：A.

名师点评

本题考查基底概念的理解，解题的关键就是所找的两个向量不共线，考查推理能力与计算能力，属于基础题.

13、答案

设，，求得，利用平面向量基本定理，建立方程，求出，即可得出结论.

详解：设，，则，.

由于，

可得，且，

解得，，所以.

故答案为：.

名师点评

本题考查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，

14、答案

设，将用、表示出来，即可找到和的关系，从而求出的值．

详解

解：设，，

所以

，

又，

所以．

故答案为：．

名师点评

本题主要考查了平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来．属于中档题．

15、答案

根据题意,画出示意图,根据平面向量基本定理及向量共线条件,化简即可得的取值范围.

详解

由题意可知,示意图如下图所示:

根据向量线性运算可得

即

所以

因为是边延长线（不含）上一点

所以与反向

即.所以

名师点评

本题考查了平面向量基本定理的应用,向量共线的条件应用,属于中档题.

16、答案

，将代入即可得到答案.

详解：连接，，

则．

故答案为：.

名师点评

本题考查平面向量的基本定理的应用，考查学生简单的数学运算能力，是一道容易题.

17、答案

试题分析：根据对称得入射点关于轴的对称点与，三点共线，再根据斜率公式求参数.

详解

设．由题意知，轴是镜面，入射点关于轴的对称点为，则点应在反射光线所在的直线上，即，，三点共线．

所以，所以，解得．故．

名师点评

本题考查两点间斜率公式以及反射对称问题，考查基本分析求解能力，属基础题.

18、答案（1）（2）或

试题分析：（1）两向量平行的坐标关系可得表达式；（2）由结合上题结论，可得方程组，求出、的值，可得，长度，易求四边形面积.

解：(1)由，

①5分

(2)，,

②

解①②得或（舍），

，10分

由知：．12分

考点两向量平行，垂直时的坐标关系.

19、答案（1）；（2）．

试题分析：（1）由可求得，，再由平面向量的减法可得出关于、的表达式；

（2）由、、三点共线，可，，由、、三点共线，设，，根据平面向量的线性运算得出关于、的两个表达式，由此可得出关于实数、的方程组，解出即可得出的值.

详解

（1），，即，

，因此，；

（2）、、三点共线，令，，

则有，即．

又、、三点共线，则再设，，

则有，即，

由平面向量基本定理可知，，，即．

因此，．

名师点评

本题考查利用基底表示向量，同时也考查了利用平面向量的基本定理求参数，考查计算能力，属于中等题.