初中数学浙教版九年级上册1.3 二次函数的性质测试题

这是一份初中数学浙教版九年级上册1.3 二次函数的性质测试题，共12页。试卷主要包含了抛物线y＝，已知二次函数y＝﹣4，二次函数y＝等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙教版九年级数学上册《1.3二次函数的性质》同步能力提升训练
一．二次函数的性质
1．二次函数y＝﹣x2+2x+4，当﹣1≤x≤2时，则（　　）
A．1≤y≤4 B．y≤5 C．4≤y≤5 D．1≤y≤5
2．抛物线y＝（x﹣2）2+3的对称轴是（　　）
A．直线x＝﹣3 B．直线x＝3 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
3．抛物线y＝x2﹣2x+3的对称轴为（　　）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝2
4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（m，n），B（6﹣m，n），则对称轴是直线 　 　．
5．写一个实数m的值　 　，使得二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x+3，当x＜﹣3时，y随x的增大而减小．
6．抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标是　 　．
7．已知二次函数y＝﹣4（x﹣m）2+k的图象的顶点坐标为（2，3）．
（1）写出m，k的值；
（2）判断（1，﹣1）是否在这个函数的图象上．
8．已知二次函数y＝ax²+bx﹣6（a≠0）的图象经过点A（4，﹣18），与y轴交于点B，顶点为C（m，n）．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：4a+b＝﹣3；
（3）当a＞0时，判断n+6＜0是否成立？并说明理由．
9．已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a≠0）的图象经过点A（4，﹣6），与y轴交于点B，顶点为C（m，n）．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：4a+b＝0；
（3）当a＞0时，判断n+6＜0是否成立？并说明理由．
二．二次函数的最值
10．二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
11．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在反比例函数的图象上，点N在直线y＝x+4上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y＝﹣abx2+（a+b）x有（　　）
A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为﹣2 D．最大值为﹣2
12．二次函数y＝﹣x2+2x+4的最大值为（　　）
A．5 B．4 C．6 D．7
13．二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的最小值是　 　．
14．已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是　 　．
15．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝　 　．
16．已知菱形的两条对角线长度之和为40厘米，面积S（单位：cm2）随其中一条对角线的长x（单位：cm）的变化而变化．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当x取何值时，菱形的面积最大，最大面积是多少？
17．当k分别取﹣1，1，2时，函数y＝（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．
18．已知点P（a，b）是二次函数（m＜0）图象的最高点，试求代数式的值．
三．待定系数法求二次函数解析式
19．已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝﹣x2+2x C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x
20．抛物线y＝2x2+c的顶点坐标为（0，1），则抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣1 C．y＝2x2+2 D．y＝2x2﹣2
21．与y＝2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（　　）
A．y＝1+x2 B．y＝（2x+1）2 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝2x2
22．若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于正半轴C点，且AC＝20，BC＝15，∠ACB＝90°，则此抛物线的解析式为　 　．
23．已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝﹣1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为　 　．


24．若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x
﹣7
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
y
﹣27
﹣13
﹣3
3
5
3
则当x＝1时，y的值为　 　．
25．已知，点A（m，n）在函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象上，也在函数y2＝（x+k）2﹣k图象上．
（1）观察y1，y2图象的顶点位置，发现它们均在某个函数图象上，请写出这个函数表达式．
（2）若k＝3，当﹣3＜x＜3时，请比较y1，y2的大小．
（3）求证：m+n＞．
26．根据下列条件分别求二次函数的表达式．
（1）已知二次函数的图象经过点（﹣2，﹣1），且当x＝﹣1时，函数有最大值2．
（2）已知二次函数图象的对称轴是直线x＝1，与坐标轴交于点（0，﹣1），（﹣1，0）．
27．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式．
（1）已知抛物线的顶点是（1，2），且过点（2，﹣3）
（2）已知二次函数的图象过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣3）
四．二次函数的三种形式
28．二次函数y＝﹣3x2+6x变形为y＝a（x+m）2+n形式，正确的是（　　）
A．y＝﹣3（x+1）2﹣3 B．y＝﹣3（x﹣1）2﹣3
C．y＝﹣3（x+1）2+3 D．y＝﹣3（x﹣1）2+3
29．函数y＝2x（x﹣3）中，二次项系数是（　　）
A．2 B．2x2 C．﹣6 D．﹣6x
30．把二次函数y＝x2﹣2x化为y＝a（x+b）2+c的形式，正确的是（　　）
A．y＝（x+3）2﹣3 B．y＝（x﹣3）2﹣3
C．y＝（x+3）2﹣9 D．y＝（x+3）2﹣9
31．函数图象过点（0，4），顶点坐标是（﹣2，3）的二次函数解析式　 　．
32．把二次函数y＝﹣2x2+4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是　 　．

33．把二次函数y＝2x2﹣4x改写成y＝a（x+m）2+k的形式是　 　，其顶点坐标是　 　．
34．分别根据配方法和顶点坐标公式确定下列二次函数的顶点坐标．
①y＝2x2﹣4x﹣1（配方法）
②y＝﹣3x2+6x﹣2（公式法）
35．已知：二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y＜0．

参考答案
一．二次函数的性质
1．解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝﹣1＜0，
∴当x＝1时，二次函数有最大值为5，
∴当x＝﹣1时，二次函数有最小值为：﹣（﹣1﹣1）2+5＝1，
综上所述，二次函数y＝﹣x2+2x+4，求当﹣1≤x≤2时，1≤y≤5，
故选：D．
2．解：∵y＝（x﹣2）2+3，
∴对称轴是直线x＝2．
故选：C．
3．解：
∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴对称轴为x＝1，
故选：C．
4．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（m，n），B（6﹣m，n），
∴对称轴是直线x＝＝3，
故答案为：x＝3．
5．解：由题意可知：该二次函数的对称轴为x＝，
要使得二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x+3，当x＜﹣3时，y随x的增大而减小，
∴≥﹣3，
∴m≥﹣5，
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
6．解：
∵y＝（x﹣1）2，
∴抛物线顶点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）．
7．解：（1）∵二次函数y＝﹣4（x﹣m）2+k的图象的顶点坐标为（2，3），
∴m＝2，k＝3；
（2）函数解析式为y＝﹣4（x﹣2）2+3，
当x＝1时，y＝﹣4（1﹣2）2+3＝﹣4+3＝﹣1，
所以，（1，﹣1）在这个函数的图象上．
8．（1）解：在y＝ax²+bx﹣6中，令x＝0得y＝6，
∴B（0，6）；
（2）证明：将A（4，﹣18）代入y＝ax²+bx﹣6得：
﹣18＝16a+4b﹣6，
∴4a+b＝﹣3；
（3）解：n+6＜0成立，理由如下：
∵二次函数y＝ax²+bx﹣6（a≠0）的图象顶点为C（m，n），
∴n＝，
由（2）知：4a+b＝﹣3，
∴b＝﹣4a﹣3，
∴n+6＝+6＝，
∵a＞0，
∴﹣（4a+3）2＜0，4a＞0，
∴＜0，即n+6＜0．
9．解：（1）∵x＝0时，y＝﹣6
∴点B坐标为（0，﹣6）
（2）证明：∵二次函数的图象经过点A（4，﹣6）
∴16a+4b﹣6＝﹣6
∴4a+b＝0
（3）当a＞0时，n+6＜0成立，理由如下：
∵n＝
∴n+6＝
∵a＞0，4a+b＝0即b≠0
∴b2＞0
∴＜0
∴n+6＜0成立
二．二次函数的最值
10．解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴当x＝1时，函数有最小值2．
故选：D．
11．解：∵M，N两点关于y轴对称，
∴设点M的坐标为（a，b），则N点的坐标为（﹣a，b），
又∵点M在反比例函数 的图象上，点N在一次函数y＝x+4的图象上，
∴，整理得 ，
故二次函数y＝﹣abx2+（a+b）x为y＝﹣2x2+4x，
∴二次项系数为﹣2＜0，故函数有最大值，最大值为y＝＝2．
故选：B．
12．解：y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
当x﹣1＝0，即x＝1时，函数有最大值为5．
故选：A．
13．解：由题意可知：二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的开口向上，
则当x＝1时，最小值为﹣5，
故答案为：﹣5．
14．解：∵点P（m，n）在抛物线y＝﹣x2﹣3x+3上，
∴n＝﹣m2﹣3m+3，
∴m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，
∴当m＝﹣1时，m+n有最大值4．
故答案为：4．
15．解：∵y＝﹣（x+3）2+5，
∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．
∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，
把y＝3代入函数解析式得到 3＝﹣（x+3）2+5，
解得 x1＝﹣5，x2＝﹣1．
∴a＝﹣5．
故答案是：﹣5．
16．解：（1）由题意可得：S＝x（40﹣x）＝﹣x2+20x，
∵x为对角线，
∴x＞0，40﹣x＞0，
即0＜x＜40；
（2）S＝x（40﹣x）＝﹣x2+20x，
＝﹣（x2﹣40x）
＝﹣[（x﹣20）2﹣400]
＝﹣（x﹣20）2+200，
即当x＝20时，菱形的面积最大，最大面积是200．
17．解：k可取值﹣1，1，2
（1）当k＝1时，函数为y＝﹣4x+4，是一次函数（直线），无最值；
（2）当k＝2时，函数为y＝x2﹣4x+3，为二次函数．此函数开口向上，只有最小值而无最大值；
（3）当k＝﹣1时，函数为y＝﹣2x2﹣4x+6，为二次函数．此函数开口向下，有最大值．
因为y＝﹣2x2﹣4x+6＝﹣2（x+1）2+8，则当x＝﹣1时，函数有最大值为8．
18．解：由二次函数解析式可知，抛物线顶点坐标为（4，﹣），
∴a＝4，，
，
当a＝4，时，原式＝．
三．待定系数法求二次函数解析式
19．解：∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是（﹣3，﹣3），
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝．
故选：D．
20．解：∵抛物线y＝2x2+c的顶点坐标为（0，1），
∴c＝1，
∴抛物线的解析式为y＝2x2+1，
故选：A．
21．解：y＝2（x﹣1）2+3中，a＝2．
故选：D．
22．解：如图，∵∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，
∴AB＝＝25，
∵OC•AB＝AC•BC，
∴OC＝＝12，
∴OA＝＝9，
∴OB＝25﹣9＝16，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣9，0）、（16，0）或（﹣16，0）、（9，0），
当抛物线过点（﹣9，0）、（16，0）时，设抛物线解析式为y＝a（x+9）（x﹣16），把C（0，12）代入得a•9•（﹣16）＝12，解得a＝﹣，此时抛物线解析式为y＝﹣（x+9）（x﹣16），
即y＝﹣x2+x+12；
当抛物线过点（﹣16，0）、（9，0）时，设抛物线解析式为y＝a（x+16）（x﹣9），把C（0，12）代入得a•16•（﹣9）＝12，解得a＝﹣，此时抛物线解析式为y＝﹣（x+16）（x﹣9），
即y＝﹣x2﹣x+12
综上所述，抛物线解析式为y＝﹣x2+x+12或y＝﹣x2﹣x+12．

23．解：∵对称轴为直线x＝﹣1，且图象与x轴交于A、B两点，AB＝6，
∴直线与x轴交于（﹣4，0），（2，0），顶点的横坐标为﹣1，
∵顶点在函数y＝2x的图象上，
∴y＝2×（﹣1）＝﹣2，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣2），
设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2﹣2，
把（2，0）代入得，0＝9a﹣2，
解得，a＝．
∴y＝（x+1）2﹣2＝x2+x﹣；
∴这个二次函数的表达式为y＝x2+x﹣；
故答案为y＝x2+x﹣．
24．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c过点（﹣4，3）与（﹣2，3），
∴此抛物线的对称轴为：直线x＝＝﹣3，
∴横坐标为：x＝1的点的对称点的横坐标为：x＝﹣7，
∴当x＝1时，y＝﹣27．
故答案为：﹣27．
25．解：（1）∵函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0），y2＝（x+k）2﹣k，
∴函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象的顶点坐标为（k，k），函数y2＝（x+k）2﹣k图象的顶点坐标为（﹣k，﹣k），
∴它们均在函数y＝x的图象上；
（2）当k＝3时，y1＝（x﹣3）2+3，y2＝（x+3）2﹣3，
令y1＝y2，
∴（x﹣3）2+3＝（x+3）2﹣3，
解得x＝，
∴它们图象的交点的横坐标为，
∵a＝1＞0，两图象开口向上，
∴当﹣3＜x＜时，y1＞y2，
当x＝时，y1＝y2，
当＜x＜3时，y1＜y2．
（3）证明：∵点A（m，n）在函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象上，也在函数y2＝（x+k）2﹣k图象上，
∴，
解得：，
∵k2＞0，
∴m+n＝．
26．解：（1）由二次函数当x＝﹣1时，有最大值是2，得到顶点坐标为（﹣1，2），
设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+2（a≠0），
将点（﹣2，﹣1）代入得：﹣1＝a+2，
解得：a＝﹣3，
则二次函数解析式为y＝﹣3（x+1）2+2．
（2）设函数的解析式是y＝a（x﹣1）2+k，根据题意得：
，
解得：．
则函数的解析式是y＝（x﹣1）2﹣．
27．解：（1）抛物线的顶点是（1，2），设抛物线为y＝a（x﹣1）2+2，
将点（2，﹣3）代入抛物线得：﹣3＝a（2﹣1）2+2，
解得a＝﹣5，
∴抛物线表达式为y＝﹣5（x﹣1）2+2；
（2）二次函数的图象过点（﹣1，0），（3，0），设抛物线表达式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将点（0，﹣3）代入抛物线得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
解得a＝1，
∴抛物线表达式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3．
四．二次函数的三种形式
28．解：y＝﹣3x2+6x＝﹣3（x2﹣2x）＝﹣3（x2﹣2x+1﹣1）＝﹣3（x﹣1）2+3
故选：D．
29．解：y＝2x（x﹣3）
＝2x2﹣6x．
所以二次项系数是2．
故选：A．
30．解：y＝x2﹣2x
＝（x2﹣6x）
＝[（x﹣3）2﹣9]
＝（x﹣3）2﹣3．
故选：B．
31．解：设二次函数解析式为y＝a（x+2）2+3，
∵函数图象过点（0，4），
∴a（0+2）2+3＝4，
解得a＝，
故二次函数解析式为y＝（x+2）2+3．
故答案为：y＝（x+2）2+3．
32．解：y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x2﹣2x+1）+2+3＝﹣2（x﹣1）2+5．
故答案为y＝﹣2（x﹣1）2+5．
33．解：y＝2x2﹣4x，
＝2（x2﹣2x+1）﹣2，
＝2（x﹣1）2﹣2，
所以，y＝2（x﹣1）2﹣2，
顶点坐标为（1，﹣2）．
故答案为：y＝2（x﹣1）2﹣2，（1，﹣2）．
34．解：①y＝2x2﹣4x﹣1，
＝2（x2﹣2x+1）﹣2﹣1，
＝2（x﹣1）2﹣3，
顶点坐标为（1，﹣3）；
②a＝﹣3，b＝6，c＝﹣2，
﹣＝﹣＝1，
＝＝1，
顶点坐标为（1，1）．
35．解：（1）y＝x2﹣4x+4﹣4+3，
＝（x﹣2）2﹣1；
（2）对称轴为直线x＝2，
顶点坐标为（2，﹣1）；
（3）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∵二次项系数1＞0，
∴当1＜x＜3时，y＜0．