高中数学北师大版必修3本节综合精练

这是一份高中数学北师大版必修3本节综合精练，共20页。试卷主要包含了0分），其中正确的关系式的个数是，【答案】B，【答案】D，【答案】C，【答案】A等内容，欢迎下载使用。


3.2古典概型同步练习北师大版高中数学必修三
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 掷一枚骰子，掷得奇数点的概率是(    )
A. 16 B. 12 C. 13 D. 14
2. 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(    )
A. 110 B. 310 C. 35 D. 910
3. 如果事件A，B互斥，且A，B分别为事件A，B的对立事件，那么(      )
A. A+B是必然事件 B. A+B是必然事件
C. A与B一定互斥 D. A与B一定不互斥
4. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy=1的概率为(    )．
A. 16 B. 536 C. 112 D. 12
5. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0,1，2，…，9}.若|a−b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为(    )
A. 725 B. 925 C. 750 D. 950
6. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(  )
A. 23 B. 35 C. 25 D. 15
7. 通过模拟试验，产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为(    )
A. 25% B. 30% C. 35% D. 40%
8. 出下列命题，其中正确命题的个数有(   )
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；
③若事件A为随机事件，则0≤P(A)≤1；
④若PA∪B=P(A)+P(B)=1，则A，B是对立事件．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：10=5+5=3+7(其中3+7与7+3算同一种方法)，在大于4且不超过16的偶数中，随机选取两个不同的偶数，则两个偶数都可以有两种方法表示为两个素数的和的概率为(   )
A. 45 B. 35 C. 12 D. 15
10. 下列叙述正确的是(    )
A. 互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B. 若事件A发生的概率为PA，则0≤PA≤1
C. 频率是稳定的，概率是随机的
D. 5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
11. 已知事件A，B，C两两互斥，若P(A)=15，P(C)=13，P(A∪B)=815，则P(B∪C)=(    )
A. 815 B. 23 C. 715 D. 13
12. 甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A=“甲击中靶”，事件B=“乙击中靶”，事件E=“靶未被击中”，事件F=“靶被击中”，事件G=“恰一人击中靶”，对下列关系式(A表示A的对立事件，B表示B的对立事件)：①E=AB，②F=AB，③F=A+B，④G=A+B，⑤G=AB+AB，⑥P(F)=1−P(E)，⑦P(F)=P(A)+P(B).其中正确的关系式的个数是(    )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游．如果三人均等可能的前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是________．
14. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示未命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．
15. 甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏，甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”、“手背(黑)”中的一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负，则一次游戏中甲胜出的概率是________．
16. 一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品，从这批产品中任意抽5件，记A为“恰有1件次品”，B为“至少有2件次品”，C为“至少有1件次品”，D为“至多有1件次品”.现给出下列结论：①A+B=C；②B+D是必然事件；③A+C=B；④A+D=C.其中正确的结论为          (写出序号即可)
三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）
17. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为          ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为          ．
18. 某省实施新高考，新高考采用“3+1+2”模式，其中“3”是指语文、数学、外语三门仍作为必考科目；“1”是指物理、历史作为选考科目，考生从中选择1门；“2”是指从生物、化学、地理、政治中选择2门作为选考科目．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生(其中男生550人，女生450人)中，采用分层随机抽样的方法抽取n名学生进行调查．若抽取的n名学生中有女生45人，则n的值为          ；若在抽取到的45名女生中，选择物理与选择历史的人数的比为2:1，为了解女生对历史的选课意向情况，现从45名女生中按分层随机抽样抽取6名女生，在这6名女生中再随机抽取3人，则在这3人中选择历史的人数为2的概率为          ．
19. 某购物中心举行抽奖活动，顾客从装有编号分别为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中每次取出1个小球，记下编号后放回，连续取两次(假设取到每个小球的可能性相同).若取出的两个小球号码相加之和等于5，则中一等奖；若取出的两个小球号码相加之和等于4，则中二等奖；若取出的两个小球号码相加之和等于3，则中三等奖；其他情况不中奖．则顾客中三等奖的概率为          ，顾客未中奖的概率为          ．
20. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，两数中至少有一个奇数的概率为，          ；以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率为          ．
四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）
21. 某班数学兴趣小组有男生3名，分别记为a1，a2，a3，女生2名，分别记为b1，b2，现从中任选2人去参加校数学竞赛．
(1)请写出所有可能的结果;
(2)求参赛学生中恰有1名男生的概率;
(3)求参赛学生中至少有1名男生的概率．







22. 某校2020届高三数学教师为分析本校2019年高考文科数学成绩，从该校文科生中随机抽取400名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段80,90,90,100，100,110,110,120，120,130,130,140后得到如图所示的频率分布直方图．

(1)若每组数据以该组的中点值作为代表，估计这400个学生数学成绩的众数和平均数；
(2)用分层抽样的方法，从这400名学生中抽取20人，再从所抽取的20人中成绩在120,140内的学生中抽取2人，求这2人至少有一人成绩在130,140内的概率．







23. 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：
分组(重量)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100)
频数(个)
5
10
20
15
    (1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；
    (2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？
    (3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．







24. 一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机的选取两张标签．
(1)若标签的选取是无放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率；
(2)若标签的选取是有放回的，求两张标签上的数字至少有一个为5的概率．







答案和解析
1.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查古典概型，属于基础题．
掷一枚骰子出现点数共6种可能的结果，其中奇数有3种，即可求得掷得奇数点的概率．
【解答】
解：掷一枚骰子出现可能点数为1、2、3、4、5、6，共6种可能的结果，
其中掷得奇数点为1、3、5，共3种，
所以，掷得奇数点的概率是36=12，
故选B．  
2.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查古典概型的计算和应用以及对立事件，先求出从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球的基本事件的个数，再求出不包含白球的基本事件的个数，从而求出不包含白球的概率，再由对立事件的概率公式，可得答案．
【解答】
解：设3个红球分别为红1、红2、红3，2个白球分别为白1、白2，
则从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球的取法有(红1， 红2，红3 )，( 红1，红2，白1)，(红1,红2,白2)，(红1,红3,白1)，(红1,红3,白2)，(红1,白1,白2)，(红2,红3,白1)，( 红2，红3，白2)，(红2,白1,白2)，(红3， 白1，白2)，共10种，
其中不含白球的只有(红1,红2,红3)1种，
所以不含白球的概率为 110，
又至少有1个白球与不含白球为对立事件，
所以至少有1个白球的概率p=1−110=910．
故选D．  
3.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查对互斥事件、对立事件的理解，属基础题．
由事件A、B互斥的定义判断B正确．A、C不能确定，而D中当B=A时，A与B互斥．
【解答】
解：由互斥事件的定义，A、B互斥即A与B不能同时发生，
则A+B是必然事件，故B正确．
而D中当B为A时，A与B互斥，故D错误．
A和C可举反例，如在抛掷骰子一次试验中，
A表示向上数字为1，B表示向上数字为2，事件A，B互斥，
A+B不是必然事件且A与B不互斥．
故选B．
  
4.【答案】C

【解析】
【分析】
本题考查了古典概型的计算与应用，考查对数的运算，属于基础题．
根据条件可以得到y=2x，列举出可能的情况，根据概率公式计算即可得到结果．
【解答】
解：由题意知，y=2x，
∵x∈{1,2，3，4，5，6}，y∈{1,2，3，4，5，6}，
则试验发生包含的事件是36种结果，
∴满足y=2x有x=1，y=2；x=2，y=4；x=3，y=6共三种情况．
∴P=336=112，
故选C.  
5.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查古典概型，属于中档题．
试验发生共有10×10种不同的结果，而满足条件的|a−b|≤1的情况通过列举得到共28种情况，代入古典概型的计算公式得到结果．
【解答】
解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生的所有可能结果共有10×10种，
则|a−b|≤1的情况有(0,0)，(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(7,7)，(8,8)，(9,9)，(0,1)，(1,0)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，(6,7)，(7,6)，(7,8)，(8,7)，(8,9)，(9,8)共28种情况，
∴他们”心有灵犀”的概率为P=28100=725．
故选：A．
  
6.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题．
利用列举法求解即可．
【解答】
解：记3只测量过某项指标的兔子分别为A，B，C，
没有测量过某项指标的兔子为D，E，
则从这5只兔子中随机取出3只的所有情况为(A,B，C)，(A,B，D)，(A,B，E)，
(A,C，D)，(A,C，E)，(A,D，E)，
(B,C，D)，(B,C，E)，(B,D，E)，(C,D，E)，共10种，
恰有2只测量过该指标的所有情况有6种，
∴所求概率为610=35．
故选：B．
  
7.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．
确定四次射击中恰有三次击中目标的随机数，即可求出四次射击中恰有三次击中目标的概率．
【解答】
解：四次射击中恰有三次击中目标的随机数有3013，2604，5725，6576，6754，
所以四次射击中恰有三次击中目标的概率约为520×100％=25%．
故选A．  
8.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查随机事件，考查概率的基本性质，考查互斥事件、对立事件的判断与概率计算，属于基础题．
由互斥事件、对立事件的判断与概率计算对各选项逐一判断，即可得出答案．
【解答】
解：①“有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件次品”，错误；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，正面出现的概率仍是12，错误；
③若事件A为随机事件，则0 ④若P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，则A，B是对立事件，正确．
故选B．
  
9.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查了古典概型的计算与应用，属于拔高题．
采用列举法可得总的情况有15个，满足要求的只有3个，根据概率公式即可得到答案．
【解答】
解：在大于4且不超过16的偶数中6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11=7+7，16=3+13=5+11，
其中，可以有两种方法表示为两个素数的和的偶数有10，14，16．
从大于4且不超过16的偶数中，随机选取两个不同的偶数的所有情况有：(6,8)，(6,10)，(6,12)，(6,14)，(6,16)，(8,10)，(8,12)，(8,14)，(8,16)，(10,12)，(10,14)，(10,16)，(12,14)，(12,16)，(14,16)，共15种．
其中两个偶数都可以有两种方法表示为两个素数的和的情况有(10,14)，(10,16)，(14,16)，共3种．
所以由古典概型得两个偶数都可以有两种方法表示为两个素数的和的概率为P=315=15，
故选 D．
  
10.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查了概率的含义，概率的基本性质，互斥事件与对立事件和等可能事件的判断与概率计算，属于基础题．
利用互斥事件与对立事件的定义对A进行判断，利用概率的基本性质对B进行判断，利用概率和频率的含义对C进行判断，再利用等可能事件的概率计算对D进行判断，从而得结论．
【解答】
解：对于A、互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，因此A错误；
对于B、事件A发生的概率为P(A)，则0⩽P(A)⩽1，因此B正确；
对于C、频率是随机的，概率是稳定的，因此C错误；
对于D、5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性都为15，因此D错误．
故选B．
  
11.【答案】B

【解析】
【分析】本题主要考查了互斥事件概率的求解，属于基础题．
因为A，B，C两两互斥，可求出P(A)，即可求出P(B∪C)．
【解答】解：因为事件A，B，C两两互斥，所以P(B)=P(A∪B)−P(A)=815−15=13，
所以P(B∪C)=P(B)+P(C)=23．
故选B．  
12.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查对立事件和互斥事件以及概率的运算性质，属于中档题．
根据事件的含义知，AB表示甲乙两人均未击中靶；AB表示两人都击中靶；A+B表示至少有1人击中靶；AB+AB表示两人中恰好只有1人击中靶；再根据概率的性质分别判断即可．
【解答】
解：AB表示甲乙两人均未击中靶，因此E=AB，故①正确；
AB表示两人都击中靶，而F表示至少有1人击中靶，因此②F=AB错误；
A+B表示至少有1人击中靶，因此③F=A+B正确；
A+B表示至少有1人击中靶，而G表示恰一人击中靶，因此④G=A+B错误；
AB+AB表示两人中恰好只有1人击中靶，因此⑤G=AB+AB正确；
E与F是对立事件，因此⑥P(F)=1−P(E)正确；
A与B不是互斥事件，P(F)=P(A)+P(B)−P(AB)，因此⑦P(F)=P(A)+P(B)错误；
综上可得正确的是①③⑤⑥．
故选B．
  
13.【答案】19

【解析】
【分析】
本题考查古典概型的应用，属于基础题．
根据三人均等可能的前往三个城市之一，可得共有33=27种选择情况，他们选择同一城市有3种情况，由此利用古典概型能求出他们选择同一个城市的概率．
【解答】
解：三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游．如果三人均等可能的前往上述三个城市之一，
基本事件总数n=33=27，
他们选择同一个城市包含的基本个数m=3，
∴他们选择同一个城市的概率P=mn=327=19．
故答案为：19．  
14.【答案】0.25 

【解析】
【分析】本题考查用模拟方法估计概率，属于基础题.由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．
【解答】解：20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191，271，932，812，393，其频率为520=0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25．
故答案为0.25．  
15.【答案】14

【解析】
【分析】本题考查古典概型的计算与应用，基础题．
解题的关键是写出所有的基本事件情况，再数出满足条件的情况数，根据古典概型计算公式计算即可．

【解答】
解：如图所示，甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”、“手背(黑)”一共有8个不同的结果，在一次游戏中甲胜出一共有2个不同结果，所以在一次游戏中甲胜出的概率P=28=14．
甲
乙
丙
获胜者
白
白
白

白
白
黑
丙
白
黑
白
乙
黑
白
白
甲
白
黑
黑
甲
黑
白
黑
乙
黑
黑
白
丙
黑
黑
黑

  
16.【答案】①②

【解析】
【分析】
本题主要考查互斥事件、对立事件间的定义，事件间的相互关系，属于中档题．
根据互斥事件、对立事件间的定义，事件间的相互关系，判断各个命题是否正确，从而得出结论．
【解答】
解：由于事件：A：“恰有1件次品”和事件B：“至少有2件次品”的和表示事件：“至少有1件次品”，即事件C，故有：①A+B=C成立．
由于事件B：“至少有2件次品”和事件D：“至多有1件次品”的和是必然事件，故②B+D是必然事件成立．
由于事件A+C表示事件C，而C≠B，∴③A+C=B不成立．
由于A+D表示事件“至多有一件次品”，即事件D，而D≠C，故④A+D=C不成立．
故答案为①②．
  
17.【答案】16
23


【解析】
【分析】
本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
根据互斥事件的概率公式计算即可．
【解答】
解：因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13，
则甲、乙两球都落入盒子的概率12×13=16，
甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1−(1−12)(1−13)=1−13=23，
故答案为：16，23．
  
18.【答案】100
15


【解析】
【分析】
此题考查分层抽样和古典概型的计算，属于中档题．
根据分层抽样求得n的值，再一一列出总的基本事件和符合条件的基本事件，求概率即可．
【解答】
解：由题意，根据分层随机抽样的方法，可得n1000=45450，解得n=100;
因为选择物理与选择历史的女生人数的比为2:1，
所以按分层随机抽样抽取的6名女生中有4人选择物理，
设为a，b，c，d，2人选择历史，设为A，B，
从中抽取3人的样本空间Ω={(a,b，c)，(a,b，d)，(a,b，A)，(a,b，B)，(a,c，d)，(b,c，d)，(b,c，A)，(b,c，B)，(c,d，A)，(c,d，B)，
(a,c，A)，(a,c，B)，(b,d，A)，(b,d，B)，(a,d，A)，(a,d，B)，(a,A，B)，(b,A，B)，(c,A，B)，(d,A，B)，共有20个样本点，
设事件C表示“2人选择历史”，
则C={(a,A，B)，(b,A，B)，(c,A，B)，(d,A，B)}，有4个样本点，所以P(C)=420=15．
故答案为：100；15．
  
19.【答案】14
716


【解析】
【分析】
本题考查对立事件，古典概型的计算等知识．
根据题意，列举出所有样本点，分别判断符合条件的样本点，即可得解．
【解答】
解：由题意可知样本空间Q={(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)}，共16个样本点.设事件A为“顾客中三等奖”，则A={(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}，共4个样本点，所以P(A)=416=14.由题意，设事件B为“顾客中奖，则B={(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(2,3)，(3,2)}，共9个样本点，则P(B)=1−P(B)=1−916=716.所以未中奖的概率为716．
  
20.【答案】34 
29


【解析】
【分析】
本题考查古典概型的计算，注意区分古典概型与几何概型，属于基础题．
根据题意，分析一颗骰子先后抛掷2次，所有的情况数目，再列举“两数中至少有一个为奇数”和“点(x,y)在圆x2+y2=15的内部”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，一颗骰子先后抛掷2次，每一次都有6种结果，则两次一共有6×6=36种结果．
将一枚骰子先后抛掷2次，向上的点数分别记为a、b，则两数中至少有一个为奇数，共有27种结果，
分别为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，
则两数中至少有一个为奇数的概率P1=2736=34．
点(x,y)在圆x2+y2=15的内部，即x2+y2<15共有8种情况，分别为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，
则点(x,y)在圆x2+y2=15的内部概率P2=836=29．
故答案为：34，29．  
21.【答案】解：(1)所有可能的结果为(a1,a2)，(a1,a3)，(a2,a3)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a3,b1)，(a3,b2)，(b1,b2)，共10种．
(2)用A表示事件“参赛学生中恰有1名男生”，则事件A包含的基本事件有(a1,b1)，(a1,b2)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a3,b1)，(a3,b2)，共6个，故P(A)=610=0.6．
(3)用B表示事件“参赛学生中至少有1名男生”，则事件B包含的基本事件有(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a2,a3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a3,b1)，(a3,b2)，共9个，故P(B)=910=0.9．


【解析】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
(1)任选2名学生去参加校数学竞赛，利用列举法能写出所有可能的结果;
(2)参赛学生中恰有一名男生，包含的基本事件的情况为6种，由此能求出参赛学生中恰有一名男生的概率;
(3)参赛学生中至少有一名男生，包含的基本事件的情况为9种，由此能求出参赛学生中至少有一名男生的概率．

22.【答案】解：(1)众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点，
即众数的估计值为115. 
平均数估计值为；
(2)由频率分布直方图得，成绩在80,90内的人数为0.005×10×400=20人，
90,100内的人数为0.010×10×400=40人，
100,110内的人数为0.020×10×400=80人，
110,120内的人数为0.030×10×400=120人，
120,130内的人数为0.025×10×400=100人，
130,140内的人数为0.010×10×400=40人，
按照分层抽样方法，抽取20人，则成绩在80,90的1人，90,100的2人，100,110的4人，110,120的6人，120,130的5人，130,140的2人，
记成绩在120,130内的5人分别为a,b,c,d,e，成绩在130,140的2人分别为x,y，
则从成绩在120,140内的学生中任意取2人的基本事件有：
(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,x)，(a,y)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,x)，(b,y)，(c,d)，(c,e)，(c,x)，(c,y)，(d,e)，(d,x)，(d,y)，(e,x)，(e,y)，(x,y)，共21种，
其中成绩在130,140中至少有1人的基本事件有(a,x)，(a,y)，(b,x)，(b,y)，(c,x)，(c,y)，(d,x)，(d,y)，(e,x)，(e,y)，(x,y)，共11种，
所以2人中至少有一人成绩在130,140内的概率P=1121


【解析】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布图、列举法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．
(1)直接利用频率分布直方图可估计这400个学生数学成绩的众数和平均数；
(2)根据分层抽样的方法可知抽取20人中，在120,130的有5人，在130,140的有2人，记成绩在120,130内的5人分别为a,b,c,d,e，成绩在130,140的2人分别为x,y，利用列举法可求出这2人至少有一人成绩在130,140内的概率．

23.【答案】解：(1)由题意知苹果的样本总数n=50，在[90,95)的频数是20，
∴苹果的重量在[90,95)频率是2050=0.4．
(2)设从重量在[80,85)的苹果中抽取x个，
则从重量在[95,100)的苹果中抽取(4−x)个．
∵表格中[80,85)，[95,100)的频数分别是5，15，
∴5:15=x:(4−x)，
解得x=1．即重量在[80,85)的有1个．
(3)在(2)中抽出的4个苹果中，
重量在[80,85)的有1个，记为a，
重量在[95,100)的有3个，记为b1,b2,b3，
任取2个，有ab1,ab2,ab3,b1b2,b1b3,b2b3共6种不同方法．
记基本事件总数为n，则n=6，
其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件记为A，
事件A包含的基本事件为ab1,ab2,ab3，共3个，
由古典概型的概率计算公式得P(A)=36=12．


【解析】本题考查频率分布表，是拔高题．
(1)由题意知苹果的样本总数n=50，在[90,95)的频数是20，二者之比可以计算频率；
(2)设从重量在[80,85)的苹果中抽取x个，则从重量在[95,100)的苹果中抽取(4−x)个，表格中[80,85)，[95,100)的频数分别是5，15，得5:15=x:(4−x)，解出即可．
(3)在(2)中抽出的4个苹果中，重量在[80,85)的有1个，记为a，重量在[95,100)的有3个，记为b1,b2,b3，任取2个，有ab1,ab2,ab3,b1b2,b1b3,b2b3共6种不同方法，记基本事件总数为n，则n=6，其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件记为A，事件A包含的基本事件为ab1,ab2,ab3，共3个，根据概率公式进行计算．

24.【答案】解：(1)一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机的选取两张标签．
标签的选取是无放回的，
无放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件有：
{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，共有10个结果，
两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1,2}，{2,3}，{3,4}，{4,5}，共有4个，
∴根据等可能事件的两张标签上的数字为相邻整数的概率为：
p=410=25．
(2)标签的选取是有放回的，
基本事件总数n=5×5=25，
两张标签上的数字至少有一个为5包含的基本事件个数为：m=5+4=9．
∴两张标签上的数字至少有一个为5的概率为p=mn=925．

【解析】(1)无放回地从5张标签随机地选取两张标签，利用列举法能求出两张标签上的数字为相邻整数的概率．
(2)标签的选取是有放回的，基本事件总数n=5×5=25，两张标签上的数字至少有一个为5包含的基本事件个数为：m=5+4=9.利用列举法能求出两张标签上的数字至少有一个为5的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．