数学沪教版8.3平面向量的分解定理教案

这是一份数学沪教版8.3平面向量的分解定理教案，共16页。教案主要包含了教案，说明等内容，欢迎下载使用。

学科 高中数学 年级 高二 课题 平面向量的分解定理
一、教案
1.教学目标：
1. 根据已有的物理经验,在熟悉的问题情境中,体会研究向量分解的必要性;
2. 理解平面向量分解定理及其意义,体会数学的化归等思想；
3. 了解基的概念，并能够用基表示平面内的向量;经历平面向量分解定理的探求过程，培养推理论证、数学表达等能力；逐步发展数学抽象等核心素养.
4.能有意识地用数学语言表达问题，发现、提出并解决问题.
2．重点和难点：
重点：发现并证明平面向量分解定理,会用基表示平面内的向量.
难点：平面向量分解定理唯一性证明;平面向量分解定理的应用.
3．教学技术与学习资源应用：
交互智能一体机、PPT、教材、学生活动单等.
4．教学过程：













教学环节
教师活动
学生活动
设计说明
一、
创设情境，导入新课


















二、
问题驱动，引入探究






















三
自主归纳，
得出定理




















四、
例题展示，变式演练











五、
课堂小结，
深化认知


1.情境引入
观看火箭升空图片，火箭升空的某一时刻，速度可以分解到水平向前和竖直向上两个分速度．像速度、位移、力等既有大小又有方向的量，称为向量，向量是如何进行合成与分解的呢？

2.提出问题
我们先回顾一下向量的合成：请同学们独立完成活动单上的活动一：（即课本例1）
如图，已知向量，求作向量.
（使用学生活动单，确保作图统一整齐美观，便于发现）

合成的依据：
非零向量平行的充要条件；平行四边形法则及三角形法则（教师板书）
反过来看，也就是把向量分解到平面内的两个向量的方向上.
,（板书）
下面，请同学们完成活动二：试把平面内的任一向量分解到两个向量的方向上．

分解的依据：
平行四边形法则（教师板书着重符）
分
由此可以猜想：与有怎样的关系？
可以表示为这两个不平行向量的线性组合.即：（板书）

这个关系式，从右向左是合成，从左向右就是分解．
这个关系式共有五个量，三组：
向量；向量；实数
分别满足什么条件？
（几何画板）
（1）对于向量，我们观察刚才的实践，平面内的两个向量分别成锐角直角和钝角时都能实现分解.
那么：两个向量是否可以成任意角度？
（板书：是同一平面内的两个不平行向量,）
（2） 对于向量，平面内的所有向量是不是都能分解到这两个不平行的向量方向上？
（如何分解？反证法）
（3）对于实数，当及确定的情况下，一对，有且只有.
如何用一段文字语言总结刚才的探索？
3.得出定理
平面向量的分解定理：如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使，我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基.(板书)
如何证明唯一性呢？（同一法）
假设：，则有，
即：
由于不平行，故
，
即：.唯一.
4.理解定理
1.判断以下说法是否正确，并说明理由：
（1）平面内存在一对垂直的向量可以表示该平面内所有向量．
（2）如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的向量，不存在实数，使．
2.填空：已知是平面内的两个不平行向量，
（1）若，则．
（2）若，则．

5.应用定理
例2已知平行四边形的两条对角线相交于点，设=，=，试用基、分别表示、、和．

变式1．选择不同的基表示．

变式2．记为，为，请用基、表示和．

思考： 如图8-15，已知是不平行的两个向量，是实数，且，用表示
6.总结深化
问题1本节课你学到了什么？
问题2通过本节课的学习，对向量单元有什么新的认识、收获或体会？
一个定理：平面向量的分解定理

三个依据：平行四边形法则、三角形法则、向量平行充要条件
多种思想：类比归纳、数形结合、特殊到一般等
从一维直线（向量平行定理）到二维平面（平面向量的分解定理），能否猜想三维空间的分解定理？


观看图片、进入情境




学生独立完成事先准备好的格纸图例1，并展示.
学生说明作图过程.
学生归纳得出：
合成的依据：平行四边形法则及三角形法则







通过独立思考、具体实践及小组合作交流，作出图形并展示研究成果．


解的结果分别为：
；；


可以表示为这两个不平行向量的线性组合.即：（板书）






引发思考，得出不平行．


几何画板展示，数学工具验证存在性．
两个平行的向量只能表示与本身平行的向量，而不能表示平面内的任一向量．

由几何图形的唯一性，
实数是存在且唯一的．
请学生讨论猜想表达完善向量平面的分解定理.
独立思考
小组合作
代表作答
学生表述
老师板书
、

证明唯一性，用同一法.





合作交流作答，说明原因．
正确，正交分解
（向量的正交分解是平面向量分解的特殊情况（从特殊到一般））
存在



特殊向量的分解，巩固存在性和唯一性



解题策略：合成和分解两个方向．

归纳：
1.基的不唯一性，注意选择的优化．
2. 发生变化

独立思考，讲解思路，展示结果．



讨论合作
小组展示
应用方法



学生回顾所学，自主总结归纳，小组合作展示，
老师适当完善．
熟悉的情境有助于抽象的数学结论的理解，有利于形成兴趣.速度的分解与合成在物理学习中已经接触过,从学生的已有知识和经验出发引出新知.实例的引入让学生体会向量的分解的必要性，让学生感受到数学在生活中的实用性和工具性．

学生利用已有知识实践、解说实践过程，经历平面向量分解的逆过程，获得问题研究的有效经验．
学生通过作图的实践可以发现 的形式，而且，所有同学的都是一样的，为定理的生成做铺垫．





特殊到一般，体现数学抽象的过程．学生在归纳中培养能力、浸润素养．


通过对五个量的三组渐进式探究，定理已经呼之欲出．通过学生自我的提炼和总结过程，凸显平面向量的分解定理的注意点．
体现了关注学习过程、重视数学表达的理念．

尝试不可能的情形，渗透注意点，为后续做铺垫．




对存在性和唯一性的验证和论证，几何画板集中验证存在性，用详实的证明来论证唯一性．

（此处机动）
视学生的认知水平和探究速度，决定是否作唯一性的证明．

2.平面内的任意向量都可以表示成基向量的唯一的线性组合（化归思想）；


数学语言

定理来自于实践，学生学会发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，就能在学习过程中不断提升素养．






通过例题深化对定理的理解、学会用基表示平面内的向量．让学生经历、感受基的选择任意性.


说明正交分解引入了坐标，为本单元知识提供了理论支撑．

任意性
存在性
唯一性



通过不同形式的探究巩固对定理的理解，便于记忆定理内容、把握定理内涵．

通过过程展示，总结解决办法．



突出基不唯一，提醒以后解决问题应寻找合适的基．

关注学生探索的过程，形成向量分解的一般方法，培养学生总结归纳、数学抽象等核心素养.


引申和拓展，为三点共线的充要条件的预备知识．（可视学生学习的进程调整本题的处理方式）

学生总结本节课的知识和思想方法，不仅能让学生尽快掌握要点，也有利于对课堂内容整体认知，提升总结归纳能力及表达能力．




引发猜想，深化认知．
六、
作业布置
分两个层次：
1.教材67页,完成书上练习1，2，3，上作业本; 
2.思考题：例2中，若点满足，试用基、表示．

板书设计：
平面向量的分解定理 例2 变式2

注意点
变式1．
依据



5.作业与评价:
分层作业，自我完善，集中讲评相结合.
形成自我评价、学习小组评价、教师评价等多样化评价方式.
6．教学反思：
（1）课程时间的处理前面可以更紧凑，为自主探究留下更多的时间。
（2）学生活动可以进一步放开，让活动更深入、更到位。
（3）开始的图片可以改为视频，更能引人入胜。
















2018年上海市中青年教师教学评选活动
学校 上海市朱家角中学 教师夏隽 电话 18939907219
二、说明
1.设计这堂课时，自己对教材的理解，对教学模式和教学策略设计的指导思想：
1.1教材分析：
平面向量的分解定理是沟通数和形的桥梁；也是连结“一维空间”和“三维空间”的纽带．向量的优势在于沟通几何与代数的联系，连接两者之间的一个关键是向量的坐标表示.而建立在平面直角坐标系下的坐标的理论依据就是平面向量分解定理,因为只有确定了任意一个向量在两个不平行的基上能进行唯一分解才能建立坐标系.所以在向量知识体系中平面向量分解定理具有核心地位.
本课题内容选自高二第一学期第八章《平面向量的坐标表示》，课程标准中要求通过学习平面向量分解定理，学生能够认识“给定两个不平行的向量确定共面向量集合”的事实，初步体会坐标系的实质．从认知水平考查的角度上说是解释性理解水平：引进基向量，导出并理解平面向量分解定理．因此本节课的设计教学重点是让学生明了“平面向量分解定理”的来龙去脉，以及会用给定的基向量表示平面上的向量．
1.2对教学模式和教学策略设计的指导思想：
为了更好地突出教学重点，突破教学难点，完成教学目标，教者采用问题探究的教学方式，通过复习引入、逆向设问、直观感知、实验操作、定理雏形、完善定理、定理辨析等环节，循序渐进地将问题逐步引向深入，引导学生完成本节课的目标，感受研究数学的过程、参与和体会研究数学问题的方法．
2.对体现“以学生发展为本”的设想及做法；
2.1关注学情：
向量具有一套与数的运算截然不同的运算系统，对学生而言是对运算认识的飞跃．好在学生在八年级和九年级已经学习了向量的加减法和实数与向量的乘法及线性运算，对向量及其运算的几何意义有了一定的认识．本章第一节《向量的坐标表示及其运算》中，通过对向量的正交分解定义了向量的坐标表示，初步感受向量分解的意义．学校是市级示范高中，班级是TI班，学生水平比较好，对老师布置的任务能够按时按量完成，但缺少主动探究和自觉归纳总结的学习习惯，需要多设计一些师生共同完成的探究性的教学环节。同时学生在高一物理学习中比较熟悉力的合成与分解，结合学生以上几个方面的知识和经验，确定本节课的教学。
2.2 设想和做法：
2.2.1 引入课题及课堂小结、作业布置等始终关注学生的最近发展区.
2.2.2 例1的处理让学生体会到用两个不共线向量可以表示平面内的向量，通过学生已经习得的方法切入.注重学科间联系.因学生的认知水平而设计.
2.2.3 探究的过程是为了凸显学生的主体地位，引导学生推导定理、理解定理、应用定理的过程给学生思考、交流、实践的空间.
2.2.4 例题的解决及方法的总结由学生主动完成，学生评点，学生总结归纳.培养和提高他们的观察问题、分析问题、解决问题的能力.
2.2.5 为了学生的学习设计的课堂才是新课程倡导的课堂，始终关注学生的学习进程才是生本思想的体现，不因教而学，真正因为学生学习的需求，因为学生后续发展的需求设计的课堂才是为学而教的新课堂.
3.期望体现的教学特点和达到的目标等。
3.1期望体现的教学特点
围绕“加强单元设计，关注学习进程，重视数学表达”的赛课主题，在单元设计的规划下，努力关注学生学习的进程，体现探究式的教学特点，学习过程中始终关注和培养学生的数学表达、推理及论证能力.
3.2 期望达到的目标等
教师通过创设最接近学生发展区的问题情境，通过有效的师生交流，在提出和解决数学问题的过程中自然得出定理进而掌握定理.期望学生在这种教学和学习方式下，学生自主探索定理产生的背景及蕴涵的思想，亲身经历定理的发生、发展过程，并深刻体验直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明、反思与建构等思维历程.努力打造一堂教师启发引导、学生积极参与、师生有效交互、学生自主建构、理解不断加深、数学核心素养不断得到浸润和提升的高效课堂.
4.单元教学设计
4.1 单元教材教法分析
4.1.1 单元教材分析
单元名称 平面向量的坐标表示
教材版本 上教版
所需课时数 8课时
单元目标
1.了解基本单位向量的概念，理解位置向量的意义。
2.理解平面向量的正交分解的意义，能把一个向量进行正交分解。
3.掌握向量的坐标表示法以及向量的加法、减法、数与向量的乘法等运算的坐标表示形式。
4.了解定比分点公式，掌握中点坐标公式.
5.掌握向量的数量积的概念以及它的坐标表示方法.能应用向量的坐标表示方法解决简单的实际问题。
6.理解平面向量的分解定理并掌握其应用。
7.能运用向量的数量积的有关知识求向量的模以及求两个向量的夹角，并解决某些与垂直、平行有关的简单几何、三角和物理问题，增强向量的应用意识。
单元教学重点
1.了解平面向量的正交分解及其坐标表示.理解平面向量的坐标概念，掌握向量的坐标运算.掌握向量平行的充要条件及其应用.了解有向线段定比分点的坐标公式，掌握线段中点的坐标公式。
2通过物理中“功”等具体实例，引入并导出向量的数量积的概念，理解平面向量数量积的物理意义。体会平面向量的数量积与向量投影的关系。掌握向量的数量积的概念以及它的坐标表示法，会进行平面向量数量积的运算。能运用向量的数量积计算两个向量的夹角，会用向量的数量积判断两个平面向量的垂直关系。.会用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。
3.以探究的形式体现平面向量分解定理的发现和形成过程，根据向量的正交分解
两个互相垂直的单位向量唯一的线性组合。根据学生已有的物理经验，在熟悉的问题情境中，体会研究向量分解的必要性.了解平面向量分解定理及其意义，从中体现数学的化归思想.
4.培养学生自觉使用向量解决实际问题的意识.初步掌握应用向量解决平面几何问题、三角问题和力学问题的基本方法。通过用向量方法解决问题的过程，体会向量是一种处理问题的有力工具，并且发展学生的运算能力和解决实际问题的能力。
单元教学难点
1.掌握向量平行的充要条件及其应用.了解有向线段定比分点的坐标公式。
2体会平面向量的数量积与向量投影的关系。会用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。
3.根据向量的正交分解两个互相垂直的单位向量唯一的线性组合。体会研究向量分解的必要性.
4.通过用向量方法解决问题的过程，体会向量是一种处理问题的有力工具，并且发展学生的运算能力和解决实际问题的能力。
教学内容与学情分析
教学内容结构如下图：向量运算
向量的加减法
数与向量的积
向量的数量积
向量数量积的坐标表示
数与向量积的坐标表示
向量加减法的坐标表示

向量的模
向量的坐标表示
定比分点公式
坐标表示向量垂直的充分必要条件
坐标表示向量平行的充分必要条件
向量





















平面向量的坐标表示这一单元是沟通代数、几何、三角等内容的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着非常重要的作用．有了平面向量的坐标表示，平面内的向量便与一对有序实数构建了一一对应的关系，于是向量的加减法、向量的数乘、向量的数量积、向量的平行及垂直、向量的夹角等都可以转化为代数运算，从而实现向量运算与实数运算的统一．另外，利用向量还可以证明正弦定理、余弦定理，射影定理以及两角和与差的三角函数等于三角有关的问题．此外，作为工具，可以发掘向量在解析几何等方面的应用，同时为后续空间向量的学习打下基础. 学情分析见2.1。
课程教学资源
《普通高中数学课程标准》、《上海市中小学数学课程标准》、《上海市高中数学学科教学基本要求》等书籍及青浦教育平台、知网、学科网网站等。
4.1.2 单元教法分析
结合本单元的教学内容、目标和定位，考虑到向量的概念、向量的加减法、实数与向量的乘积三节已经在初中学习.本单元教学中设置两条主线：
一是知识与技能的主线，采用层层递进的呈现方式，指导学生复习向量的概念及运算，感受向量的物理背景、几何背景和向量的工具作用，领会向量法和坐标法的实质.二是感受过程与方法的主线，通过学习8.1向量的坐标表示及其运算到8.2向量的数量积再到8.3平面向量的分解定理最后是8.4向量的应用，使学生感知到数学从问题情境中来，回归到问题情境中去.学习的过程也经历由特殊到一般再到特殊的认识过程，由此认识和理解数学知识，感受数形结合、类比、转化化归和分类讨论的思想方法，领悟研究新对象的根本方法和思路，从而学会学习，发展数学核心素养.
本单元教学主要采用用“问题探究”的教学方式.通过设置具有探究性的问题，启发学生依据原有的知识经验，主动探索，积极交流.对概念、性质、定理、公式等知识要采取观察、分析、类比、抽象、概括的方法去学习，尤其是类比学习要贯穿于本单元教学的始终，促使学生在问题情境中经历知识的生成过程，由此认识和理解数学知识，感受研究数学新对象的根本方法和思路，从而学会学习，发展素养.例如，对于“平面向量的分解定理”，教学中要设计有利于学生抽象、概括、分析、总结的活动，通过设计一系列探究性问题激发学生的强烈的动机和兴趣，使学生经历从具体情境中抽象概括向量的分解定理的过程，并通过研究定理的证明，引导学生参与到对向量整个单元的知识的再现和融合的学习中，在学生主动获得学习结果的同时从中体会到认识一个新的数学对象的方法.
在信息时代，信息技术是学生学习和教师教学的手段.因此，在数学教学中教师应该注重信息技术的使用，以优化课堂教学，转变学习方式.由于平面向量不仅具有丰富的物理背景，还具有几何和代数的双重性质所以教学中可以充分利用信息技术的功能特点实现“形、动、思”于一体的教学效果.例如，对于“平面向量的分解定理”的教学，在验证存在性和唯一性的过程中，也可以引导学生借助信息技术（如几何画板等软件）探索或验证相关结论，实现信息技术与数学课程的深度融合.通过对这一部分知识的学习，学生不但可以掌握一种新的数学工具，并且可以领会数学的内部联系，认识数学与现实生活、与其他学科的联系，体验数学发现与创造的过程.

4.2 单元教学目标设计
4.2.1 学情分析
学习背景
熟悉程度：初中阶段学习过向量、向量的加减法、实数与向量的乘积，部分学生遗忘，可考虑安排2节课复习.
学习态度：学生对数学学科的学习态度较好。
学习习惯：学生有较强的求知精神，喜欢问问题，部分学生有试图探究的欲望。
学习障碍
学生学习时可能遇到的问题：容易忽视定理形成的过程，容易漠视定理的证明过程，对向量的数量积的运用有一定困难。
学习偏好
热衷程度：向量问题的工具性特点和应用型特点决定了学生的兴趣普遍较浓厚。
组织方式： ■独立学习为主 □合作学习为主
评价方式： □偏重形成性 ■偏重结果性
4.2.2 概括目标
目标维度
目标概述
包含重点
包含难点
知识与技能
1.了解基本单位向量的概念，理解位置向量的意义。
□
□
2.理解平面向量的正交分解的意义，能把一个向量进行正交分解。
□
■
3.了解定比分点公式。
□

过程与方法
4.掌握向量的坐标表示法以及向量的加法、减法、数与向量的乘法等运算的坐标表示形式。
■
□
5.掌握中点坐标公式.
□
□
6.掌握向量的数量积的概念以及它的坐标表示方法.能应用向量的坐标表示方法解决简单的实际问题。
□
□
7.理解平面向量的分解定理并掌握其应用。
■
■
8.能运用向量的数量积的有关知识求向量的模以及求两个向量的夹角，并解决某些与垂直、平行关的简单几何、三角和物理问题，增强向量的应用意识。
■
■
情感、态度与价值观
1.在平面向量基本定理的教学中可充分利用学生已有的物理知识经验，设置问题情境，体会研究向量分解的必要性，使学生体验发现问题和解决问题的探究性学习过程。
□
□

2.在具体应用中体会学习向量的必要性，引导学生逐步形成新的解决问题的思路和视角.
■
□

3.在向量学习中应关注学生分析问题解决问题的能力、动手操作的能力和用数学语言的表达能力，以及学生应用数学的意识.
□
□

4.关注学生对问题的探究的方式与方法，体验数学发现与创造的过程。
□
■
数学学科
核心素养
数学抽象、逻辑推理、数学建模


4.3 单元学习活动设计
单元学习活动，是单元教学的重要组成部分。它是在单元教学目标与流程确定的基础上，为促进学生对知识的理解与运用，以及实践、探究、创新能力的发展，针对具体单元的教学内容，开展的学习活动。
本单元学习活动设计，应基于《课程标准》，以平面向量的坐标表示单元教学目标为核心，针对平面向量的坐标表示的具体教学内容开展的探究和实践活动进行设计规划的过程。通过活动，学生可以加强对知识发生发展过程的体验，有机会在本单元的学习中运用多种学习方式，丰富学习经历；通过活动，可以引导教师关注学生的学习过程，加强对学习过程和学习结果等的评价的研究和实践，更好地落实数学课程的目标。
下面以《平面向量的分解定理》一课为例：
4.3.1 活动目标
1.以探究的形式体现平面向量分解定理的发现和形成过程。
2.通过问题探究，能更好地理解向量的正交分解为两个互相垂直的单位向量唯一的线性组合。
3.根据学生已有的物理经验，在熟悉的问题情境中，体会研究向量分解的必要性.
4.了解平面向量分解定理及其意义，从中体现数学的化归思想.
4.3.2活动实施
“问题探究活动”则是既有课前探究又有小组研讨与课内展示交流的教学活动，它侧重于对一个问题的探究，有助于建构完整的知识板块，优化数学解题思路，拓疏思维视野，提升学生的探究、创新能力，体现问题解决的意义和价值。
1.提出问题
问题1．例1（课本）
已知向量，求作向量. （学生活动单，确保作图统一整齐美观）
探究一：平面内的任一非零向量一定能用任一非零向量来表示吗？（平行向量定理）
探究二：平面内的任一向量能用两个平行的非零向量来表示吗？
探究三：平面内的任一向量能用两个不平行的向量来表示吗？
问题2．如图，设两个不平行的向量，是平面内的任一向量，向量如何用表示？（学生活动单）
探究四：要表示平面内的任一向量，若给定两个不平行的向量，实数是存在且唯一的吗？
2.学生活动
①学生分组，以4~5人为一组，组成研究小组，共同完成探究活动；
②独立思考问题，形成解决方案；
③小组讨论、交流对问题的思考与解决方案；
④小组成员梳理、汇总典型想法和探究方法，推荐代表全班交流；
⑤各组代表在全班交流本组方法，并回复其他各组同学的质疑；
⑥小组成员整理汇总思路，讨论对问题如何推广，撰写“问题探究活动”报告。
3.教师活动
①对学生分组情况进行评估（可根据学生的学习能力对个别学生进行微调）；
②在学生活动过程中加强对学生行为的调控，引导学生逐渐熟悉开展研究程与步骤；
③对学生提出的想法和探究的办法给予及时的点拨，引导学生对问题的答案及探究过程进行理性的思考和分析。
④指导学生规范完成活动报告。
⑤点评各小组的合作、分工及交流活动，完成教师评价。
4.4单元作业与评价设计
4.4.1单元作业设计建议
向量是沟通代数、几何的一种工具。向量有着非常直观的几何意义，是数与
形的完美结合。向量在物理学等领域有着重要的作用，向量是解决数学问题和实
际问题的有力工具。
1.向量的坐标表示，即向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，可使向量运算代数化，将数与形紧密结合起来，这样很多几何问题的证明就可转化为大家熟知的数量的运算。本节重在培养学生数学运算，重在明确逻辑关系的基础上在运算方面设置练习题和作业。
2.平面向量的基本定理是说明同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，而且这种表示唯一.该定理以共线向量为基础，通过一个向量在其他两向量上的分解，说明了该定理的本质.教学时，不必严格证明该定理，只要学生理解并会应用该定理就可以了。作业的设置不应在定理的证明，而在定理的理解、辨析、应用上多着力。着重发展数学建模、数学抽象、数学运算。
3.两向量的数量积与实数的乘法有很大的区别，给理解和掌握这一概念带来了前所未有的困难.而平面向量的数量积又有着较为广泛的应用，在作业和练习题的中应充分考虑数量积的广度，关注夹角、模的求解，关注变式，提升数学抽象、逻辑推理、数学建模等素养。
4.注意将数量积与实数的乘积类比，进一步深化向量与数量的概念、运算、解决问题的方法的异同，防止负迁移的产生.重视变式和拓展，设置作业时充分考虑发展学生阅读数学语言、构建数学模型、用合适的数学工具解决问题的策略。
下面以《平面向量的分解定理》一课为例，平面向量的分解定理课后作业：
1.通过本节课的学习，对向量单元有什么新的认识、收获或体会？
（重视单元设计，引导学生思考章节价值及与单元的关系，有利于学生整体把握教材，系统厘清知识脉络。）
2.已知已知向量，求作向量：
（1） （2）



































































































(巩固向量的合成)
3.平行四边形的对角线和交于点, ,,

D
试用基表示.
C

O

B
A


(巩固向量的分解)
4.在中，已知 ,,为的重心，
用向量表示向量.
（拓展，巩固向量的线性表示）
5.平行四边形的对角线和交于点,若点满足，试用基、表示．
C
D

P
M

B
A


(变式训练，巩固例2及思考题）
4.4.2 单元评价设计建议
1.关注向量对于培养学生在实际操作、运用数学、建立数学模型探究新问题、独立获取新知识和正确运用数学语言进行交流等能力方面所起的作用。
2.引导学生用向量知识解决实际生活和生产中的问题.
4.4.3 单元评价示例（选自《上海市高中数学学科基本要求》）
（一）填空题
1. 已知A(2，-4)，B(5，11)，，若∥，则 .

2. 若，，且，则实数m的值为 .

3. 已知P1(2，5)，P2(-3，0)，P(12，y)，若，则实数λ=









































y= .

4. 若，且，则向量与的夹

角为 .

5. 如图，、、是画在网格纸上的三个向量。若以、
(第5题图）
为一组基，则用、表示为： .

6. 在平面直角坐标系中，、分别是与x、y轴正方向

同向的单位向量，平面内三点A、B、C满足：，

。当A、B、C三点构成直角三角形时，实数k的可能值有 个。

7. 若，，则的取值范围是 .

8. 机器人位于点A，点A的坐标为(2，1)，其面对的方向与向量同向，

若它收到一个走步命令——“逆时针转15º，再向前走4个单位”，执行命令后

到达点B，则向量的坐标是 .

（二）选择题

9. 若y=f(x)的图像按向量平移后，得到y=f(x+1)-2的图像，则向量为（ ）

A.（-1，-2） B.（1，-2） C.（-1，2） D.（1，2）

10. 定义平面向量之间的一种运算“U”如下：对任意的向量，

，令U=mq-np，则下列说法中错误的是（ ）

A. 若向量与向量平行，则U=0

B. U=U

C. 对任意的实数λ，有(λ)U=λ(U)

D. (U)2 +()2=

（三）解答题

11. 已知，

（1） 求与方向相反的单位向量；

（2） 若，求实数k的值。

12. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点，G为DE、

BF的交点，，.

（1）试用、表示、、；

（2）证明：A、G、C三点共线。 （第12题图）