高中2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法--二分法教学设计

2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法—二分法

一、教学内容分析 

本节选自《普通高中课程标准实验教科书 •数学1》人教B版第二章第四节第二

小节，主要分析的是函数与方程的关系。用二分法求方程的近似解是新课程中的新增内容，它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”，求方程近似解其中隐含“逼近”的数学思想,并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据。而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想为学生后续学习算法的内容埋下伏笔。整节课充分体现新课程“渗透数学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念，有力培养了学生的直观想象素养、数学建模素养、数据分析素养及逻辑推理素养等。

二、学情分析

同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法。

三、设计理念

 本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观想象、观察发现、数学建模、符号表示、运算求解、数据分析、逻辑推理等思维过程。

四、教学目标

1、知识目标：理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

2、能力目标：利用直观想象分析问题来培养学生直观想象素养，利用建立模型解决问题来培养学生数学建模素养，通过让学生概括二分法思想和步骤培养学生的归纳概括能力；在二分法思想的探求中培养学生数据分析，逻辑推理的能力。

3、情感目标：通过创设情境调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的情感；在二分法步骤的探索、发现过程中，获得成功的体验，锻炼了克服困难的意志，建立学习数学的自信心。

五、教学重点与难点

重点：掌握二分法的原理，能够借助计算器，会用二分法求相应方程的近似解；

难点：方程近似解所在初始区间的确定及逼近的思想，二分法的原理，精确度的理解。

六、教学情境设计

（1）创设情境，提出问题

情境一：16枚金币中有一枚略轻,是假币, 请你设计一个寻找这枚假币的方案？

教师提问：大家分组讨论尽可能多的方案。

学生发现：方案一：平均分成两份，每份8个放上去称，轻的8个拿下来再平均分成两份放上去称。。。。。。。直到最后剩两个，称一下轻的那个就是我们要找的假币。方案二：平均分成4份，每份4个。方案三：分3份，2份5个，一份6个，把5个的两份称后如果天平称是平的就说明假币在6个中，再平均分2份。。。。。。方案4：。。。。。。（看学生具体情况）。

教师提问：这么多方案中，哪一种是你第一时间想到的，最简单，方便，易操作的？

学生发现：方案一。

课堂活动：教师和学生一起感受方案一的模拟实验过程。

设计意图：从简单有趣的金币问题开始，迅速调动学生的积极性，在学生分组讨论解决问题的过程中，让学生迅速建立二分查找的思想与方法。并且通过不同方法的比较，例如三分，四分，甚至逐个称来比较，让学生感受二分法是一种简单方便易操作的方法。感受数学来自生活，激发学生的学习兴趣；培养学生的归纳演绎的能力；学会将实际情境转化为数学模型。培养学生直观想象素养，数学建模素养，逻辑推理素养等。

情境二：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路的某一处

发生了故障。这是一条10 km长的线路，你能否给维修线路的师傅设计一

个寻找故障点的方法？

学生发现：不断取线路的中点检测。

设计意图：同学们有了金币问题作铺垫，教师可以引导同学们用类似的方法来解决这个连续型的线路问题。体会用二分的思想来解决实际问题的过程。让学生感受数学来自生活，激发学生的学习兴趣；引导学生善于发现身边的数学，培养学生的归纳演绎的能力；学会将实际情景转化为数学模型。培养学生直观想象素养，数学建模素养，逻辑推理素养等。

教师提问：如果把这个故障点换成函数零点呢？

设计意图：引出主题，激发学生的求知欲，将学生的思路与前面已解决的问题联系起来，引导学生层层深入，抽丝拨茧，学习如何分析问题、如何利用新的知识解决问题；培养分析问题、解决问题的能力，以及运用知识、驾驭知识的能力。培养学生归纳类比能力和逻辑推理素养等。

（2）合作探究，解决问题

探究1：当确定函数在区间内存在一个变号零点后，如何求出这个零点的近似值？

教师提问：要求的函数零点就像线路问题中的故障点，初始区间类比到10km长的线路，如何求这个零点的近似值呢？

学生发现：取区间中点。

教师追问：线路问题中可以在中点通过检测线路在判断故障点的位置，现在我们取完中点要如何判断零点在哪一半区间呢？

学生发现：通过计算f(c)的值，看它和哪一端异号。

设计意图：教师引导学生作类比，，鼓励学生大胆尝试探求，感受二分法的定义。培养学生数据分析素养，逻辑推理素养等。

探究2：尝试归纳二分法的定义？

课堂活动：学生讨论，尝试归纳。

教师小结：对于区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点或零点近似值的方法叫做二分法。（强调二分法的实质：一分为二 + 逐步逼近）。

设计意图：发展学生用文字语言、符号语言等数学语言表达世界的基本素养。通过二分法的无限逼近，首次让学生体会逐渐逼近的极限思想；将区间一分为二，通过确定零点的存在位置，重点培养学生的数据分析素养，逻辑推理素养等。

探究3：一定要二分吗？有没有别的方法？比如3分4分甚至十等分呢？

课堂活动：分组讨论

 学生发现：理论上可以，但是很麻烦。

 教师小结：当然可以，但是就是比较麻烦，不方便，事实上，约在1247年南宋时代，我国数学家秦九韶提出了一种解决高次函数零点近似解的一种方法，他将区间十等分，算出各分点的函数值，缩小零点所在区间，但这种方法计算冗长，不便于精确度较高的运算，如果精确度要求不高，例如要求到0.1，可以使用，另外这种方法在有的国家被称为霍耐法（Horner），英国数学家霍耐1819年才发现，迟于我国500多年。

设计意图：通过对其他方法的比较，让学生感受二分法的优点：简单方便易操作，同时渗透对数学文化的关注，培养学生直观想象素养，逻辑推理素养等。

探究4：用二分法求函数的零点（精确度为0.1）。

教师提问：函数有没有零点？如果有，有几个？

学生发现：该函数在R上单调递增。

教师追问：在R上单调递增的函数一定有一个零点吗？

课堂活动：学生分组讨论。

学生发现：不一定，比如反比例函数。

教师追问：非常好，那什么情况下单调的函数有一个零点呢？

学生发现：要找到异号的两端。

教师追问：对于函数，你能否找到异号的区间？

学生发现：[0，1].

设计意图：教师通过追问的方式对同一函数从根的存在性问题深入到初始区间的求法，思路自然，引起学生认知冲突，激起学生进一步探究的欲望。问题是数学的“心脏”，是数学知识、能力发展的生长点和思维的动力，把问题作为教学出发点，创设学生熟悉的问题，构造认知冲突和悬念，有利于培养学生的逻辑推理素养，直观想象素养等。

课堂活动：教师和学生一起完成表格，体会用二分法求解函数零点近似解的过程，并在黑板画上画上数轴帮助学生理解。

教师提问：数轴越画越短，谁能告诉我，什么时候终止计算？

学生发现：题目有精确度的要求？

教师追问：精确度为0.1要怎么用呢？

学生发现：算到区间长度小于0.1即可。

教师追问：为什么？

课堂活动：教师黑板上画出数轴讲解精确度的含义。

           精确度为0.1即指误差不超过0.1，当区间长度小于0.1时，区间内的任意一个值都可以作为近似值，为了方便，我们一般取区间端点。

设计意图：利用多媒体辅助教学有利于完善学生认知，深刻体验二分法思想的本质，为学生自身总结归纳步骤奠定基础，并且提高教学效率。利用动态演示展现二分法的全过程，使学生的感官受到强烈的冲击，加深对二分法的理解。利用数轴画图出简图来辅助说明，理解为求得方程更为精确的近似解，直观上就是去探求零点所处的更小的范围，即求方程近似解的问题可以转化为不断缩小零点所在范围或区间的问题。培养学生的直观想象素养，数据分析素养，逻辑推理素养，数学运算素养等。

教师提问：如果精确度改为0.01呢？

学生发现：再算。

教师提问：想不想算？

学生发现：不想。

教师提问：我们请个小帮手。注意到刚才求解的过程中，一直重复地完成一些步骤：取中点，算中点函数值，定区间。像这种一直重复性的过程可以交给谁来完成？

学生发现：电脑。

课堂活动：教师展示一个由高一同学编写的用二分法求函数零点近似解的小程序。

设计意图：借助程序，调动学生的积极性，让学生感受二分法的一大优点：易于编程，让计算机执行。将信息技术与数学课程相结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。实验过程中，随着实验次数逐渐增加，零点存在区间逐渐逼近准确解，让学生感受无限逼近的极限思想；让学生发现，随着实验次数的逐渐增加，零点的近似解就越接近精确解，估计就越准确，感受精确与近似的对立统一；算法可以解决一类问题，节约了大量的时间，使学生对二分法的算法思想与计算原理有新的感受；树立榜样作用，激发学生的求知欲。培养学生的逻辑推理素养，数据分析素养等。

教师提问：如果终止计算的条件该为精确到呢？

课堂活动：教师和学生一起分析精确到到精确度的区别。

设计意图：帮助学生区分精确到与精确度，虽然两者都是用来终止计算的，但是要求不同。有助于培养学生的数据分析素养，数学运算素养，逻辑推理素养等。

（3）归纳总结，揭示新知

教师提问：回顾刚才整个过程，给定精确度，尝试归纳用二分法求函数零点近似解的步骤？

学生发现：确定初始区间，取中点，算中点函数值，缩小区间，再取中点。。。。

教师提问：有没有可能当你第一次缩小区间后发现，已经算完了？

学生发现：有可能。

课堂活动：教师PPT上给出完整步骤。并给出用数学语言表示的步骤。

用二分法求方程的近似解一般步骤

1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε；

2.求区间(a,b)的中点c；

3.计算f(c)；

(1)若f(c)=0，则c就是函数的零点；

(2)若f(a)· f(c)<0，则令b=c（此时零点x0∈(a, c)  );

(3)若f(c)· f(b)<0，则令a=c（此时零点x0∈( c, b)  ).

4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2—4．

设计意图：发展学生用文字语言、符号语言等数学语言表达世界的基本素养。培养学生数学建模素养，数据分析素养，逻辑推理素养等。

（4）概念拓展，实践巩固

课堂活动:用二分法求函数的正零点（精确到0.1）。同桌两人一组，一人用计算器算，一人填写课前发好的表格。最快的一组上来投影展示。

设计意图：鼓励学生自行尝试,让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的成就感。让学生体会用二分法来求方程近似解的完整过程,进一步巩固二分法的思想方法。培养学生直观想象素养，数学建模素养，逻辑推理素养，数据分析素养，数学运算素养。

课堂活动：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路的某一处发生了故障，这是一条10km长的线路，请你用二分法算一算：要把故障可能发生的范围缩小到50～100m左右，要检查多少次？

设计意图：首尾呼应，学以致用，培养学生应用与创新的能力，利用二分法的逼近思想解决实际问题。发展学生的数学应用意识，发展学生的数学建模素养，数学运算素养，数据分析素养等。

（5）课堂小结，作业创新

教师提问：这节课我们都学了哪些知识？

学生发现：二分法的定义，用二分法求方程近似解的步骤。

课堂活动：PPT展示二分法的口诀：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断。对本节课体现的数学思想和核心素养进行总结。

设计意图：通过总结,培养学生数学交流和表达的能力,养成及时总结的良好习惯,并将所学知识纳入已有的认知结构。同时让学生知道理解二分法定义是关键,掌握二分法解题的步骤是前提,实际应用是深化。培养学生数学建模素养等。

课堂活动：PPT展示今天作业：(1) P74/A1,2. (2)P81/阅读与欣赏“数学文化”。

(3) 研究性作业：利用Internet查找有关资料, 查阅牛顿法、华罗庚优选法等其他求函数零点的方法，上交小报告。

设计意图：在作业中提出对“数学文化”的学习要求，让学生通过自主查阅，阅读自学等学习数学的方式，提高学生学习的主动性，逐步形成正确的数学观，实现教师引导下的“再创造”。在完成作业的过程中，有力培养了学生的直观想象素养，数学建模素养，数据分析素养，逻辑推理素养等。

七、评价和说明

1、这节课安排了创设情境，提出问题；合作探究，解决问题；归纳总结，揭示新知；

概念拓展，实践巩固；课堂小结，作业创新等环节。整堂课围绕等价转化、函数

与方程、数形结合以及无限逼近的数学思想方法来展开，着重培养了学生的直观

现象素养，数学建模素养，逻辑推理素养以及数据分析素养等。

2、本设计注意应用建构主义的数学学习理论，引导认知主体积极参与到探索、发现、

讨论、交流的学习活动中去，使课堂教学成为学生亲自参与的充满丰富生动的数学思想场所。 　　　

3、教学中注重数学课程和信息技术的整合，画面丰富生动，使学生的多种感官获得

外部刺激，有利于完善认知结构，提高教学效率。

4、时间大致安排：创设情境，提出问题约7分钟，合作探究，解决问题约20分钟，

归纳总结、揭示新知约5分钟，概念拓展，实践巩固约10分钟，课堂小结，作业

创新约3分钟，依据上课的具体情况可进行适当的调整。