苏科版九年级上册第1章 一元二次方程综合与测试单元测试复习练习题

这是一份苏科版九年级上册第1章 一元二次方程综合与测试单元测试复习练习题，共20页。试卷主要包含了一元二次方程的根的情况是等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年度苏科版九年级数学上册第1章《一元二次方程》单元测试卷
一、 选择题（本大题共有8小題，每小题3分，共24)
1、若方程是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．且 D．
2、一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
3、下列用配方法解方程的四个步骤中，出现错误的是 （ ）

A．① B．② C．③ D．④
4、若关于x的方程有一个根为，则另一个根是（ ）
A．6 B． C． D．
5、若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
6、若，是方程的两个实数根，则的值为
A．2015 B． C．2016 D．2019

7、若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，
则一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＝﹣2必有一根为（ ）
A．2017 B．2020 C．2019 D．2018
8、在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（　　）
A．x（x+1）=253 B．x（x﹣1）=253 C. D.
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
9、将一元二次方程x（x﹣2）＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是　 　．
10、用配方法解方程x2﹣6x＝2时，方程的两边同时加上　 　，使得方程左边配成一个完全平方式．
11、方程x2＝x的两根分别为　 　．
12、若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是____．
13、a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是　 　．
14、已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则m的值是_______．
15、我国新能源汽车保有量居世界前列，2018年和2020年我国新能源汽车保有量分别为51.7万辆和261万辆．设我国2018至2020年新能源汽车保有量年平均增长率为x，根据题意，可列方程为　 　．
16、如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为___cm．

三、解答题（本大题共有11小题，共102分）
17、（8分）解方程．
（1） （2） （3）（ （4）．





18、（6分）已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．
（1）若该方程的一个根为1，求k的值；
（2）求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．













19、（8分）已知是关于的一元二次方程的两实数根．等腰三角形的一边长为7，若恰好是另外两边的长，求的周长．
















20、（8分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当为正整数时，求的值．
















21、（8分）阅读下面的解题过程，求的最小值．
解：∵=，
而，即最小值是0；
∴的最小值是5
依照上面解答过程，
（1）求的最小值；
（2）求的最大值．










22、（10分）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？





23、（10分）30元的衣服，以50元出售，平均每月能售出300件。经试销发现每件衣服涨价1元，其月销售量就减少1件，物价部门规定，每件衣服售价不得高于80元，为实现每月利润8700元，应涨价多少元？








24、（10分）根据绍兴市某风景区的旅游信息：
旅游人数
收费标准
不超过30人
人均收费80元
超过30人
每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？








25、（10分）据统计，我国入网的智能手机，已经有70% 以上使用了北斗服务，在2020年6月23日，我国北斗三号全球卫星导航系统最后一颗组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空，完成主网的中国北斗也将更加“吸引世界”，微信燃料常用的液体氧化剂有液态氧，四氧化二氮等， 燃烧剂有液氢，偏二甲肼、煤油等．某化工有限公司一直为其提供部分液氢、液氧材料，液氢的单价为每吨0.4万元，液氧的单价为每吨0.1万元．
（1）某一次研发过程中根据需要液氧的数量是液氢数量的8倍，且总费用不超过1200万元，那么本次研发最多从此化工有限公司购进液氧多少吨？
（2）总结上一次的经验，实验室开始第二次研发，液氢的数量在第一次最大数量的基础上增加，液氧的数量在第一次最大数量的基础上减少，受疫情影响，原料成本有所上涨，该化工有限公司将液氢的单价在原价的基础上上涨2a% ，液氧的单价比原价多30a元，最终结算第二次总费用比（1）中的最高总费用增加，求a的值．








26、（12分）某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）当每件盈利50元时，每天可销售多少件？
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？
（3）商场日盈利能否达到3300元？











27、（12分）如图，在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，P点在BC上，从B点到C点运动(不包括C点)，点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点(不包括A点)，速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程：
（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5cm？
（2）经过多少时间后，的面积为15cm2？
（3）设运动时间为t，用含t的代数式表示△PCQ的面积，并用配方法说明t为何值时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？







答案
二、 选择题（本大题共有8小題，每小题3分，共24)
1、若方程是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义列式求出m的值，即可进行选择．
【详解】解：∵(m-1)x2+x+=0是关于x的一元二次方程，∴m-1≠0，解得m≠1，故选：D．

2、一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】根据根的判别式判断即可．
【详解】解：∵，∴△==4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，故选A．

3、下列用配方法解方程的四个步骤中，出现错误的是 （ ）

A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】观察题中解方程的步骤，找出错误的即可．
【详解】解：解方程，去分母得：x-2x-4=0，即x-2x=4，
配方得：x-2x+1=5，即，开方得：x-1=±，解得：x=1±，
则四个步骤中出现错误的是④．故选：D．

4、若关于x的方程有一个根为，则另一个根是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可．
【详解】解：设方程的另一个根为x2，根据题意得-2+x2=-5，解得：x2=-3，
故选D．

5、若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据完全平方式a2±2ab+b2=（a±b）2的结构，而4x2=（2x）2，即可求解．
【解析】−(m−2)=±2×2×1，∴m−2=±4，即m−2=4或m−2=−4，
得m=−2或m=6. 故选B.
6、若，是方程的两个实数根，则的值为
A．2015 B． C．2016 D．2019
【解析】
【分析】根据方程的解得概念可得，由根与系数的关系可得，再代入即可得出结论．
【详解】是方程的两个实数根，
，即，
则．
故选C．


7、若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，
则一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＝﹣2必有一根为（ ）
A．2017 B．2020 C．2019 D．2018
【答案】B
【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＋2＝0，设t＝x﹣1得到at2＋bt＋2＝0，利用at2＋bt＋2＝0有一个根为t＝2019得到x﹣1＝2019，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．
【详解】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＋2＝0，设t＝x﹣1，所以at2＋bt＋2＝0，
而关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，
所以at2＋bt＋2＝0有一个根为t＝2019，则x﹣1＝2019，解得x＝2020，
所以一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．故选：B．

8、在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（　　）
A．x（x+1）=253 B．x（x﹣1）=253 C. D.
【答案】D
【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，
所以等量关系为：×学生数×（学生数﹣1）=总握手次数，把相关数值代入即可求解
【解析】参加此会的学生为x名，每个学生都要握手（x﹣1）次，
∴可列方程为x（x﹣1）=253，故选：D．


二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
9、将一元二次方程x（x﹣2）＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是　 　．
【分析】通过去括号，移项，合并同类项，然后两边同时除以二次项系数，把方程化成二次项系数为1的一元二次方程的一般形式．
【解答】解：将一元二次方程x（x﹣2）＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是：x2﹣2x﹣15＝0．
故答案是：x2﹣2x﹣15＝0．


10、用配方法解方程x2﹣6x＝2时，方程的两边同时加上　 　，使得方程左边配成一个完全平方式．
【分析】利用方程两边同时加上一次项系数一半的平方求解．
【解答】解：x2﹣6x+32＝2+32，
（x﹣3）2＝11．
故答案为9．

11、方程x2＝x的两根分别为　 　．
【分析】方程移项后分解因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程变形得：x2﹣x＝0，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
故答案为：x1＝1，x2＝0．

12、若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是____．
【答案】k≤5
【解析】由题意得，42-4×1×（k-1）≥0,解之得k≤5.

13、a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是　 　．
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a2+a＝1，再把﹣2a2﹣2a+2020变形为﹣2（a2+a）+2020，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个实数根，
∴a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1，
∴﹣2a2﹣2a+2020＝﹣2（a2+a）+2020
＝﹣2×1+2020
＝﹣2018．
故答案为2018．

14、已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则m的值是_______．
【答案】3
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=2m+3，得出方程m2=2m+3，求出m的值，再根据根的判别式判断即可．
【详解】解：根据根与系数的关系得：x1+x2=2m+3，
∵x1+x2＝m2，∴m2=2m+3，解得：m=3或-1，
当m=3时，方程为x2-9x+9=0，此时方程有解；
当m=-1时，方程为x2-x+1=0，此时△=（-1）2-4×1×1=-3＜0，此时方程无解；
故答案为：3．

15、我国新能源汽车保有量居世界前列，2018年和2020年我国新能源汽车保有量分别为51.7万辆和261万辆．设我国2018至2020年新能源汽车保有量年平均增长率为x，根据题意，可列方程为　 　．
【分析】设我国2018年和2020年新能源汽车保有量年平均增长率为x，根据统计图中2018年和2020年的我国新能源汽车保有量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设我国2018至2020年新能源汽车保有量年平均增长率为x，
根据题意，可列方程为：51.7（1+x）2＝261，
故答案为：51.7（1+x）2＝261．

16、如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为___cm．

【答案】11．
【解析】设这块铁片的宽为xcm，则铁片的长为2xcm，
由题意，得3（2x﹣6）（x﹣6）=240，解得x1=11，x2=﹣2（不合题意，舍去），
答：这块铁片的宽为11cm．故答案为11．

三、解答题（本大题共有11小题，共102分）
17、（8分）解方程．
（1） （2） （3）（ （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用公式法解方程；（3）先移项得到（2x+1）2-3（2x+1）=0，然后利用因式分解法解方程；（4）利用因式分解法解方程．
【解析】解：（1）3x+2=±5，解得；
（2）3x2-4x-1=0，△=（-4）2-4×3×（-1）=28，
所以；
（3）（2x+1）2-3（2x+1）=0，（2x+1）（2x+1-3）=0，2x+1=0或2x+1-3=0，解得；
（4）（x-2）（x-5）=0，x-2=0或x-5=0，解得x1=2，x2=5．


18、（6分）已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．
（1）若该方程的一个根为1，求k的值；
（2）求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．
【分析】（1）把x＝1代入方程x2﹣（k+3）x+3k＝0得1﹣k﹣3+3k＝0，然后解关于k的方程即可；
（2）计算判别式的值得到△＝（k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论．
【解答】（1）解：把x＝1代入方程x2﹣（k+3）x+3k＝0得1﹣k﹣3+3k＝0，
解得k＝1；
（2）证明：△＝（k+3）2﹣4•3k
＝（k﹣3）2≥0，
所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．

19、（8分）已知是关于的一元二次方程的两实数根．等腰三角形的一边长为7，若恰好是另外两边的长，求的周长．
【答案】的周长为17．
【分析】分类讨论：若x1=7时，把x=7代入方程得49-14（m+1）+m2+5=0，解得m1=10，m2=4，当m=10时，由根与系数的关系得x1+x2=2（m+1）=22，解得x2=15，根据三角形三边的关系，m=10舍去；当m=4时，x1+x2=2（m+1）=10，解得x2=3，则三角形周长为3+7+7=17；若x1=x2，则m=2，方程化为x2-6x+9=0，解得x1=x2=3，根据三角形三边的关系，m=2舍去．
【解析】①当7为底边长时，方程有两个相等的实数根，
∴，解得，∴方程为，解得，
∵，∴不能构成三角形；
②当7为腰长时，设，代入方程得，解得，，
当时，方程为，解得，，
∵，∴不能构成三角形；
当时，方程为，解得，，
此时能构成三角形，的周长为．
综上，的周长为17．
20、（8分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当为正整数时，求的值．
【答案】（1）m＜3且m≠2；（2）6
【分析】（1）由△＞0得到关于m的不等式，解之得到m的范围，根据一元二次方程的定义求得答案；
（2）由（1）知m=1，还原方程，利用根与系数的关系求解可得．
【详解】解：（1）由题意知，△=（-2）2-4（m-2）＞0，∴m＜3，
∵m-2≠0，∴m≠2，∴m＜3且m≠2；
（2）∵m为正整数，∴m=1，
∴方程为，即，
∴x1+x2=-2，x1•x2=-1，
∴．

21、（8分）阅读下面的解题过程，求的最小值．
解：∵=，
而，即最小值是0；
∴的最小值是5
依照上面解答过程，
（1）求的最小值；
（2）求的最大值．
【答案】（1）2019；（2）5．
【分析】(1)利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；
（2）利用完全平方公式把原式变形，利用非负数的性质解答即可；
【详解】（1）
∵，∴，
∴的最小值为2019；
（2），
∵，∴，
∴，∴的最大值是5.


22、（10分）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.
分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
【解析】设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400，
解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去．
即AB=20，BC=20

23、（10分）30元的衣服，以50元出售，平均每月能售出300件。经试销发现每件衣服涨价1元，其月销售量就减少1件，物价部门规定，每件衣服售价不得高于80元，为实现每月利润8700元，应涨价多少元？
【答案】：10元
【解析】①依据题意，寻找等量关系式：
此题是利润问题，等量关系式为：每件衣服的利润×衣服的销售量=利润
②设未知数：
∵利润已知，每件衣服的利润、衣服的销售量都与衣服涨价量有关
∴设每每件衣服涨价x元
③根据等量关系式建立方程：
每件衣服的利润为：（50－30+x）=（20+x）元
销售重量为：（300－x）件
方程为：（20+x）（300－x）=8700
④解方程并解答：
方程化简得：，继续化简得：（x－10）（x－270）=0
解答：，
∵售价不得高于80元 ∴x≤30 ∴x=10
答：应涨价10元。

24、（10分）根据绍兴市某风景区的旅游信息：
旅游人数
收费标准
不超过30人
人均收费80元
超过30人
每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
【答案】A公司参加这次旅游的员工有40人．
【分析】设参加这次旅游的员工有人，由可得出，根据总价单价人数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】设参加这次旅游的员工有x人，∵30×80=240030．
根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70．
当x=40时，80-（x-30）=70>55，当x=70时，80-（x-30）=40