2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（五） 三个“二次”间的转化

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[例] 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)由f(0)＝1，得c＝1，∴f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝2，,a＋b＝0.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1.))
因此，所求解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在区间[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1,1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1,1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0，得m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
名师点评 二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题．借助函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．
[变式练] 若x∈[m，m＋1]时，满足x2＋mx－1<0，求实数m的取值范围．
微专题(五)
变式练
解析：设f(x)＝x2＋mx－1，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm<0，,fm＋1<0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m·m－1<0，,m＋12＋mm＋1－1<0，))
化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2<\f(1,2)，,2m2＋3m<0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)所以－eq \f(\r(2),2)