2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（二十二） 新定义、新背景下的数列问题

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[例] 如果有穷数列a1，a2，a3，…，am(m为正整数)满足条件a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，即ai＝am－i＋1(i＝1,2，…，m)，我们称其为“对称数列”．例如，数列1,2,3,4,4,3,2,1与数列a，b，c，c，b，a都是“对称数列”．
(1)设{bn}是8项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1＝1，b5＝13.依次写出{bn}的每一项；
(2)设{cn}是2m＋1项的“对称数列”，其中cm＋1，cm＋2，…，c2m＋1是首项为a，公比为q的等比数列，求{cn}的各项和Sn.
解析：(1)设数列{bn}的公差为d，b4＝b1＋3d＝1＋3d.
又因为b4＝b5＝13，解得d＝4，
所以数列{bn}为1,5,9,13,13,9,5,1.
(2)Sn＝c1＋c2＋…＋c2m＋1
＝2(cm＋1＋cm＋2＋…＋c2m＋1)－cm＋1
＝2a(1＋q＋q2＋…＋qm)－a
＝2a·eq \f(1－qm＋1,1－q)－a(q≠1)．
而当q＝1时，Sn＝(2m＋1)a.
∴Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋1a q＝1,2a·\f(1－qm＋1,1－q)－a q≠1)).
名师点评
1．本例是新定义型数列问题，在求等比数列{cn}前n项和时用到了分类讨论思想．
2．分类讨论思想在数列中应用较多，常见的分类讨论有：
(1)已知Sn与an的关系，要分n＝1，n≥2两种情况；
(2)项数的奇、偶数讨论；
(3)等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论．
[变式练] 若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”，若正项等比数列{an}是一个“2 020积数列”，且a1>1，则当其前n项的积最大时n的值为________．
微专题(二十二)
变式练
解析：由题意可知a1a2a3·…·a2 020＝a2 020，
故a1a2a3·…·a2 019＝1，
因为数列{an}是正项等比数列且a1>1，
所以a1 010＝1，公比0所以a1 009>1且0故数列{an}的前n项积最大时n的值为1 009或1 010.
答案：1 009或1 010