2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：2.4 二次函数与幂函数

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：2.4 二次函数与幂函数，共8页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记2个知识点
1．幂函数
(1)定义：形如①________________的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1.
(2)性质
(ⅰ)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(ⅱ)当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
(ⅲ)当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
(ⅰ)一般式：f(x)＝②________________________；
(ⅱ)顶点式：f(x)＝③________________________；
(ⅲ)零点式：f(x)＝④________________________.
(2)二次函数的图象和性质
二、必明2个易误点
1．研究函数f(x)＝ax2＋bx＋c的性质，易忽视a的取值情况的讨论而盲目认为f(x)为二次函数．
2．形如y＝xα(α∈R)才是幂函数，如y＝不是幂函数．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数y＝是幂函数．( )
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( )
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是eq \f(4ac－b2,4a).( )
二、教材改编
2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，eq \r(2))，则函数y＝f(x)的解析式为________．
3．函数y＝ax2－6x＋7a(a≠0)的值域为[－2，＋∞)，则a的值为( )

A．－1 B．－eq \f(9,7) C．1 D．2
三、易错易混
4．函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
5．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
四、走进高考
6．[2020·江苏卷]已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝，则f(－8)的值是________．
eq \x(考点一) 幂函数的图象及性质[自主练透型]
1．已知点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\r(3)))在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数
2．幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
3．[2021·江西九江联考]已知a＝0.40.3，b＝0.30.4，c＝0.3－0.2，则( )
A．bC．c4．若<，则实数a的取值范围是________．

悟·技法
幂函数的性质与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
考点二 二次函数的解析式[自主练透型]
5．已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为____________________．
6．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
悟·技法
求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：
考点三 二次函数的图象和性质[分层深化型]
考向一：二次函数的图象问题
[例1] 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a其中正确的结论是( )
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
考向二：二次函数的单调性
[例2] [2021·河南中原名校联考]已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
考向三：二次函数的最值
[例3] 已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]内的最大值为－5，则a的值为( )
A.eq \f(5,4) B．1或eq \f(5,4)
C．－1或eq \f(5,4) D．－5或eq \f(5,4)
考向四：与二次函数有关的恒成立问题
[例4] 当x∈(1,3)时，若不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
听课笔记：
悟·技法
1.二次函数最值问题的类型及处理思路
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
2．由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．函数f(x)＝ax2－2x＋3在区间[1,3]上为增函数的充要条件是( )
A．a＝0 B．a<0
C．02．若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为________．
3．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．
第四节 二次函数与幂函数
【知识重温】
①y＝xα(α∈R) ②ax2＋bx＋c(a≠0) ③a(x－m)2＋n(a≠0) ④a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ⑤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a))) ⑥eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞)) ⑦eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a))) ⑧eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞)) ⑨b＝0 ⑩eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
2．解析：设y＝xα，则eq \r(2)＝2α，即2eq \f(1,2)＝2α，∴α＝eq \f(1,2).
∴f(x)＝xeq \f(1,2).
答案：f(x)＝xeq \f(1,2)
3．解析：由函数y＝ax2－6x＋7a(a≠0)的值域为[－2，＋∞)知a>0，且eq \f(4a×7a－－62,4a)＝－2，即7a2－2a－9＝0，所以a＝1或a＝－eq \f(9,7)(舍去)．
答案：C
4．解析：函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝eq \f(3,2)>1，∴函数y＝2x2－6x＋3在x∈[－1,1]上为单调递减函数，∴ymin＝2－6＋3＝－1.
答案：A
5．解析：观察图象联想y＝x2，y＝xeq \f(1,2)，y＝x－1在第一象限内的图象，可知c<0，d<0,0由图象可知2c>2d，所以c>d.
综上知a>b>c>d.
答案：B
6．解析：由函数f(x)是奇函数得f(－8)＝－f(8)＝－＝－(23)＝－4.
答案：－4
课堂考点突破
考点一
1．解析：设f(x)＝xα，由已知得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))α＝eq \r(3)，解得α＝－1，
因此f(x)＝x－1，易知该函数为奇函数．
答案：A
2．解析：从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3<0，即－1答案：C
3．解析：因为1>a＝0.40.3>0.30.3>b＝0.30.4，c＝0.3－0.2>1，所以b答案：A
4．解析：易知函数y＝xeq \f(1,2)的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1≥0，,3－2a≥0，,a＋1<3－2a，))解得－1≤a答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,3)))
考点二
5．解析：由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以eq \f(b,2)＝1，所以b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3.
答案：f(x)＝x2－2x＋3
6．解析：解法一 (利用一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法二 (利用顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x＝eq \f(2＋－1,2)＝eq \f(1,2).所以m＝eq \f(1,2).又根据题意函数有最大值8，所以n＝8.
所以f(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋8.因为f(2)＝－1，
所以aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f(x)＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三 (利用零点式)：
由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即eq \f(4a－2a－1－a2,4a)＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
考点三
例1 解析：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点，∴b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1，即－eq \f(b,2a)＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为直线x＝－1知，b＝2a，又函数的图象开口向下，∴a<0，∴5a<2a，即5a答案：B
例2 解析：因为函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，当a≠0时，a须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a>0，,－\f(4a－3,2×2a)≥3，))解得0当a＝0时，f(x)＝－12x＋5在(－∞，3)上是减函数，
综上可知，a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))).
答案：D
例3 解析：f(x)＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)))2－4a，对称轴为直线x＝eq \f(a,2).
①当eq \f(a,2)≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上递增，
∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2.
令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．
②当0令－4a＝－5，得a＝eq \f(5,4).
③当eq \f(a,2)≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上递减，
∴f(x)max＝f(0)＝－4a－a2.
令－4a－a2＝－5，解得a＝－5或a＝1(舍去)．
综上所述，a＝eq \f(5,4)或－5.故选D.
答案：D
例4 解析：设f(x)＝x2＋mx＋4.
因为x∈(1,3)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1≤0，,f3≤0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5＋m≤0，,13＋3m≤0，))解得m≤－5，
所以m的取值范围是(－∞，－5]．
答案：(－∞，－5]
变式练
1．解析：当a＝0时，f(x)为减函数，不符合题意；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－2x＋3图象的对称轴为x＝eq \f(1,a)，要使f(x)在区间[1,3]上为增函数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,\f(1,a)≥3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,\f(1,a)≤1，))解得a≥1.故选D.
答案：D
2．解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，对称轴x＝1，
因为f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，
所以当1≤a时，f(x)min＝f(a)＝(a－1)2＝4，解得a＝－1(舍去)或a＝3，
当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，解得a＝1(舍去)或a＝－3，
当a<1故a的取值集合为{－3,3}．
答案：{－3,3}
3．解析：2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立，
当x＝0时，－3<0，成立；
当x≠0时，a因为eq \f(1,x)∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
当x＝1时，右边取最小值eq \f(1,2)，∴a综上，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
解析式
f(x)＝ax2＋bx
＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx
＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
单调性
在⑤____________上单调递减；
在⑥____________上单调递增
在⑦____________上单调递增；
在⑧____________上单调递减
奇偶性
当⑨________时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
eq \(○,\s\up1(10))____________________
对称性
图象关于直线x＝－eq \f(b,2a)成轴对称图形