2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：6.1 数列的概念与简单表示法

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：6.1 数列的概念与简单表示法，共8页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。

【知识重温】
一、必记5个知识点
1．数列的有关概念
2.数列的表示方法
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(⑦ ，n＝1，,⑧ ，n≥2.))
4．数列的分类
5.常见数列的通项公式
①自然数列：(1,2,3,4，…) an＝n；
②奇数列：(1,3,5,7，…) an＝2n－1；
③偶数列：(2,4,6,8，…) an＝2n；
④平方数列：(1,4,9,16，…) an＝n2；
⑤2的乘方数列：(2,4,8,16，…) an＝2n；
⑥倒数列：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,4)，…)) an＝eq \f(1,n)；
⑦乘积数列：(2,6,12,20，…)
可化为(1×2,2×3,3×4,4×5，…) an＝n(n＋1)；
⑧重复数串列：(9,99,999,9 999，…) an＝10n－1；
⑨(0.9,0.99,0.999,0.999 9，…) an＝1－10－n；
⑩符号调整数列：(－1,1，－1,1，…) an＝(－1)n.
二、必明2个易误点
1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．
2．项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )
(2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( )
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( )
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
二、教材改编
2．[必修5·P67T2改编]数列{an}的前几项为eq \f(1,2)，3，eq \f(11,2)，8，eq \f(21,2)，…，则此数列的通项可能是( )
A．an＝eq \f(5n－4,2) B．an＝eq \f(3n－2,2)
C．an＝eq \f(6n－5,2) D．an＝eq \f(10n－9,2)
3．[必修5·P33T4改编]在数列{an}中，a1＝1，an＝1－eq \f(－1n,an－1)(n≥2)，则a5＝________.

三、易错易混
4．在数列{an}中，an＝－n2＋6n＋7，当前n项和Sn取最大值时，n＝________.
5．已知Sn＝2n＋3，则an＝________.


四、走进高考
6．[2018·全国卷Ⅰ]记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.

eq \x(考点一) 数列的有关概念及通项公式
[自主练透型]
1．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3( )
A．不是数列{an}中的项
B．只是数列{an}中的第2项
C．只是数列{an}中的第6项
D．是数列{an}中的第2项或第6项
2．数列eq \f(3,2)，－eq \f(5,4)，eq \f(7,8)，－eq \f(9,16)，…的一个通项公式为( )
A．an＝(－1)n·eq \f(2n＋1,2n) B．an＝(－1)n·eq \f(2n＋1,2n)
C．an＝(－1)n＋1·eq \f(2n＋1,2n) D．an＝(－1)n＋1·eq \f(2n＋1,2n)
3．已知n∈N*，给出4个表达式：①an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，n为奇数，,1，n为偶数，))②an＝eq \f(1＋－1n,2)，③an＝eq \f(1＋cs nπ,2)，④an＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(nπ,2))).其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( )
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
悟·技法
由数列的前几项求数列通项公式的策略
(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项符号特征等．
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整.

考点二 由an与Sn的关系求通项an
[互动讲练型]
[例1] (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1，则an＝________；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4等于( )
A．27 B．81
C．93 D．243
悟·技法
已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写(如本例(1)).
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．若数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＞0，且2Sn＝aeq \\al(2,n)＋an(n∈N*)．则数列{an}的通项公式为________．
2．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.

考点三 由递推关系式求数列的通项公式
[互动讲练型]
考向一：形如an＋1＝an＋f(n)，求an
[例2] 设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
考向二：形如an＋1＝anf(n)，求an
[例3] 在数列{an}中，a1＝1，an＝eq \f(n－1,n)an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
考向三：形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an
[例4] 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．
考向四：形如an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋A)(A，B为常数)，求an
[例5] 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.
悟·技法
典型的递推数列及处理方法
[变式练]——(着眼于举一反三)
3．[累加法]在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋eq \f(1,nn＋1)，则通项公式an＝________.
4．[累乘法]已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.
5．[待定系数法]已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________________．
6．[取倒数法]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \f(an,an＋2)(n∈N*)，求通项公式an＝________.
第六章 数列
第一节 数列的概念与简单表示法
【知识重温】
①一定顺序 ②每一个数 ③an＝f(n) ④a1＋a2＋…＋an ⑤(n，an) ⑥公式 ⑦S1 ⑧Sn－Sn－1 ⑨an＋1>an ⑩an＋1