2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：6.3 等比数列及其前n项和

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【知识重温】
一、必记6个知识点
1．等比数列及其相关概念
2.等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则其通项公式为⑥________________(n∈N*)．
3．等比数列的前n项和公式
(1)当公比q＝1时，Sn＝⑦________.
(2)当公比q≠1时，Sn＝⑧____________＝⑨________.
4．项的性质
(1)an＝amqn－m.
(2)am－kam＋k＝aeq \\al(2,m)(m>k，m，k∈N*)．
(3)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝⑩____________＝aeq \\al(2,k).
(4)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{|an|}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))(λ≠0)仍然是等比数列．
(5)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，则an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
5．和的性质
(1)Sm＋n＝Sn＋qnSm.
(2)若等比数列{an}共2k(k∈N*)项，则eq \f(S偶,S奇)＝q.
(3)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，⑪____________仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，⑫____________不一定构成等比数列．
6．等比数列{an}的单调性
(1)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1>0，,q>1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1<0，,0(2)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1>0，,01))时，{an}是⑭________数列．
(3)当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1≠0，,q＝1))时，{an}为⑮________数列．
(4)当q<0时，{an}为摆动数列．
二、必明2个易误点
1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.
2．在运用等比数列的前n项和公式时，必须对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )
(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( )
(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( )
二、教材改编
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝eq \f(5,4)，a2＋a4＝eq \f(5,2)，则q＝( )
A.eq \f(1,2) B．4 C．2 D.eq \f(1,4)
3．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为( )
A．8 B．9 C．10 D．11

三、易错易混
4．[2021·湘潭模拟]等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝18，则公比q的值为( )
A．1 B．－eq \f(1,2)
C．1或－eq \f(1,2) D．－1或－eq \f(1,2)
5．[2021·东北三省联合模拟]等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前9项和是( )
A．9 B．10 C．81 D．90

四、走进高考
6．[2020·全国卷Ⅱ]记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则eq \f(Sn,an)＝( )
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
eq \x(考点一) 等比数列的基本运算[自主练透型]
1．[2019·全国卷Ⅲ]已知各项均为正数的等比数列 {an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝ ( )
A．16 B．8 C．4 D．2
2．[2021·武昌区高三调研]已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝1，a3＝2a2＋3，则an＝( )
A．3n－2 B．3n－1 C．2n－1 D．2n－2
3．[2021·惠州市高三调研考试试题]等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝( )
A.eq \r(2) B．2 C.eq \r(5) D．3
4．[2021·河北九校联考]已知正项等比数列{an}满足a3＝1，a5与eq \f(3,2)a4的等差中项为eq \f(1,2)，则a1的值为________．
悟·技法
等比数列的基本运算方法
(1)等比数列可以由首项a1和公比q确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a1和q进行．
(2)对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出这三个条件就可以完成an，a1，q，n，Sn的“知三求二”问题．
[注意] 等比数列求和要讨论q＝1和q≠1两种情况.
考点二 等比数列的判定与证明[互动讲练型]
[例1] [2019·全国卷Ⅱ]已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式．
悟·技法
等比数列的4种常用判定方法
[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
考点三 等比数列的性质及应用[分层深化型]
考向一：等比数列通项的性质
[例2] (1)[2021·广东揭阳模拟]已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为( )
A．4 B．6 C．8 D．－9
(2)在等比数列{an}中，an＞0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2…a8＝16，则eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a8)的值为( )
A．2 B．4 C．8 D．16
考向二：等比数列前n项和的性质
[例3] (1)[2020·全国卷Ⅰ]设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝( )
A．12 B．24 C．30 D．32
(2)[2021·湖北荆州模拟]已知等比数列{an}的公比不为－1，设Sn为等比数列{an}的前n项和，S12＝7S4，则eq \f(S8,S4)＝________.
悟·技法
1.掌握运用等比数列性质解题的2个技巧
(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件．
(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：
①若{an}是等比数列，且an>0，则{lgaan}(a>0且a≠1)是以lgaa1为首项，lgaq为公差的等差数列．
②若公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
2．牢记与等比数列前n项和Sn相关的几个结论
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶：S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝eq \f(a1＋a2n＋1q,1＋q)(q≠1且q≠－1)，eq \f(S奇－a1,S偶)＝q.
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝eq \f(Sn＋m－Sn,Sm)(q为公比).
[变式练]——(着眼于举一反三)
2．[2021·大同市高三学情调研测试试题]已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________.
3．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则a1＝( )
A．11 B．12 C．13 D．14
4．[2021·长沙模拟]已知等比数列{an}满足eq \f(a4＋a6,a1＋a3)＝eq \f(1,8)，a5＝4，记等比数列{an}的前n项积为Tn，则当Tn取最大值时，n＝( )
A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．7或8



第三节 等比数列及其前n项和
【知识重温】
①前一项 ②同一个常数 ③常数 ④eq \f(an＋1,an)＝q⑤G2＝ab ⑥an＝a1qn－1 ⑦na1 ⑧eq \f(a11－qn,1－q) ⑨eq \f(a1－anq,1－q) ⑩ap·aq ⑪S3n－S2n ⑫S3n－S2n ⑬递增 ⑭递减 ⑮常
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：∵a1＋a3＝eq \f(5,4)，a2＋a4＝eq \f(5,2)
∴q＝eq \f(a2＋a4,a1＋a3)＝2.
答案：C
3．解析：由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10.
答案：C
4．解析：∵S3＝18，a3＝6，∴a1＋a2＝eq \f(a3,q2)(1＋q)＝12，故2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－eq \f(1,2).
答案：C
5．解析：设等差数列的公差为d，由题意可得aeq \\al(2,2)＝a1a5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以数列{an}的前9项和S9＝9a1＋eq \f(9×8,2)d＝9×1＋4×9×2＝81，故选C.
答案：C
6．解析：通解 设等比数列{an}的公比为q，则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a5－a3＝a1q4－a1q2＝12，,a6－a4＝a1q5－a1q3＝24))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,q＝2，))所以Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝2n－1，
an＝a1qn－1＝2n－1，所以eq \f(Sn,an)＝eq \f(2n－1,2n－1)＝2－21－n，故选B.
优解 设等比数列{an}的公比为q，因为eq \f(a6－a4,a5－a3)＝eq \f(a41－q2,a31－q2)＝eq \f(a4,a3)＝eq \f(24,12)＝2，所以q＝2，所以eq \f(Sn,an)＝eq \f(\f(a11－qn,1－q),a1qn－1)＝eq \f(2n－1,2n－1)＝2－21－n，故选B.
答案：B
课堂考点突破
考点一
1．解析：设等比数列的公比为q，
由a5＝3a3＋4a1得a1q4＝3a1q2＋4a1，
∴q2＝4，又∵an>0，∴q＝2，
由S4＝eq \f(a11－24,1－2)＝15，解得a1＝1.
∴a3＝a1·q2＝4，故选C.
答案：C
2．解析：设数列{an}的公比为q，由已知得q2＝2q＋3，解得 q＝3或q＝－1，因为an＞0，所以q＝3，所以an＝3n－1，故选B.
答案：B
3．解析：由题意可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－q6,1－q)＝9×\f(a11－q3,1－q),\f(a11－q5,1－q)＝62))，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q3＝8,\f(a11－q5,1－q)＝62))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q＝2,a1＝2))，选B.
答案：B
4．解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a5与eq \f(3,2)a4的等差中项为eq \f(1,2)，所以a5＋eq \f(3,2)a4＝1，所以a3q2＋eq \f(3,2)a3q＝1，又a3＝1，所以2q2＋3q－2＝0.又数列{an}的各项均为正数，所以q＝eq \f(1,2)，所以a1＝eq \f(a3,q2)＝4.
答案：4
考点二
例1 解析：(1)由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝eq \f(1,2)(an＋bn)．
又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为eq \f(1,2)的等比数列．
由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.
又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)由(1)知，an＋bn＝eq \f(1,2n－1)，an－bn＝2n－1.
所以an＝eq \f(1,2)[(an＋bn)＋(an－bn)]＝eq \f(1,2n)＋n－eq \f(1,2)，
bn＝eq \f(1,2)[(an＋bn)－(an－bn)]＝eq \f(1,2n)－n＋eq \f(1,2).
变式练
1．解析：(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，
有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.
∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Sn＋1＝4an＋2， ①,Sn＝4an－1＋2n≥2， ②))
①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，
故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
∴eq \f(an＋1,2n＋1)－eq \f(an,2n)＝eq \f(3,4)，
故eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)))是首项为eq \f(1,2)，公差为eq \f(3,4)的等差数列．
∴eq \f(an,2n)＝eq \f(1,2)＋(n－1)·eq \f(3,4)＝eq \f(3n－1,4)，
故an＝(3n－1)·2n－2(n∈N*)．
考点三
例2 解析：(1)由题意可得a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2aeq \\al(2,6)＋a6a10＝aeq \\al(2,4)＋2a4a8＋aeq \\al(2,8)＝(a4＋a8)2＝(－2)2＝4.故选A.
(2)由分数的性质得到eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a8)＝eq \f(a8＋a1,a8a1)＋eq \f(a7＋a2,a7a2)＋…＋eq \f(a4＋a5,a4a5).因为a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，所以原式＝eq \f(a1＋a2＋…＋a8,a4a5)＝eq \f(4,a4a5)，又a1a2…a8＝16＝(a4a5)4，an＞0，∴a4a5＝2，∴eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a8)＝2.故选A.
答案：（1）A （2）A
例3 解析：(1)解法一 设等比数列{an}的公比为q，所以eq \f(a2＋a3＋a4,a1＋a2＋a3)＝eq \f(a1＋a2＋a3q,a1＋a2＋a3)＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝eq \f(1,7)，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝eq \f(1,7)×(25＋26＋27)＝eq \f(1,7)×25×(1＋2＋22)＝32，故选D.
解法二 令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)，则bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3.设数列{an}的公比为q，则eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(an＋1＋an＋2＋an＋3,an＋an＋1＋an＋2)＝eq \f(an＋an＋1＋an＋2q,an＋an＋1＋an＋2)＝q，所以数列{bn}为等比数列，由题意知b1＝1，b2＝2，所以等比数列{bn}的公比q＝2，所以bn＝2n－1，所以b6＝a6＋a7＋a8＝25＝32，故选D.
(2)由题意可知S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，又S12＝7S4，∴(S8－S4)2＝S4·(7S4－S8)，可得Seq \\al(2,8)－6Seq \\al(2,4)－S8S4＝0，两边都除以Seq \\al(2,4)，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(S8,S4)))2－eq \f(S8,S4)－6＝0，解得eq \f(S8,S4)＝3或－2，又eq \f(S8,S4)＝1＋q4(q为{an}的公比)，∴eq \f(S8,S4)＞1，∴eq \f(S8,S4)＝3.
答案：(1)D (2)3
变式练
2．解析：各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝aeq \\al(3,2)＝5，a7a8a9＝aeq \\al(3,8)＝10，则a4a5a6＝aeq \\al(3,5)＝eq \r(a\\al(3,2)a\\al(3,8))＝5eq \r(2).
答案：5eq \r(2)
3．解析：设数列{an}的公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇、S偶，由题意知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因为数列{an}的项数为偶数，所以q＝eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(1,3).又a1·(a1q)(a1q2)＝64.所以aeq \\al(3,1)q3＝64，故a1＝12.
答案：B
4．解析：解法一 设数列{an}的公比为q，由eq \f(a4＋a6,a1＋a3)＝eq \f(1,8)，得q3＝eq \f(1,8)，则q＝eq \f(1,2)，则an＝a5·qn－5＝27－n，从而可得Tn＝a1·a2·…·an＝26＋5＋4＋…＋(7－n)＝2eq \f(n6＋7－n,2)＝2eq \f(1,2)(－n2＋13n)，所以当eq \f(1,2)(－n2＋13n)取最大值时，Tn取得最大值，此时n＝6或7，故选C.
解法二 设数列{an}的公比为q，由eq \f(a4＋a6,a1＋a3)＝eq \f(1,8)，得q3＝eq \f(1,8)，则q＝eq \f(1,2)，则an＝a5·qn－5＝27－n，令an＝1，则n＝7，又当n<7时，an>1，当n>7时，an<1，Tn＝a1·a2·…·an，且an>0，所以当n＝6或7时，Tn取最大值，故选C.
答案： C等比数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的①________的比都等于②____________
公比
等比数列定义中的③________叫做等比数列的公比，常用字母q(q≠0)表示
公式表示
{an}为等比数列⇔④____________(n∈N*，q为非零常数)
等比中项
如果a，G，b成等比数列，则G叫做a，b的等比中项，此时⑤________
定义法
若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项
公式法
若数列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列
通项
公式法
若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和
公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列