高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课后作业题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课后作业题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课时分层作业(十八)　函数的最大(小)值与导数(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知函数f (x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f ′(x)＜g′(x)，则f (x)－g(x)的最大值为(　　)A．f (a)－g(a)　　　　 B．f (b)－g(b)C．f (a)－g(b) D．f (b)－g(a)A　[令F (x)＝f (x)－g(x)，则F ′(x)＝f ′(x)－g′(x)，又f ′(x)＜g′(x)，故F ′(x)＜0，∴F (x)在[a，b]上单调递减，∴F (x)max≤F (a)＝f (a)－g(a)．]2．已知函数f (x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为(　　)A．16　　   B．12　　　　C．32　　　　D．6C　[∵f ′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，由f (－3)＝17，f (3)＝－1，f (－2)＝24，f (2)＝－8，可知M－m＝24－(－8)＝32.]3．已知f (x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值为3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为(　　)A．0 B．－5C．－10 D．－37D　[因为f (x)＝2x3－6x2＋m，所以f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，可以得到函数在[－2，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，所以当x＝0时，f (x)＝m为最大值，所以m＝3，即f (x)＝2x3－6x2＋3，所以f (－2)＝2×(－8)－6×4＋3＝－37，f (2)＝－5，所以最小值是－37，故选D.]4．函数f (x)＝x3－3x在区间(－2，m)上有最大值，则m的取值范围是(　　)A．(－1，＋∞) B．(－1，1]C．(－1，2) D．(－1，2]D　[由于f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故函数在(－∞，－1)和(1，＋∞)上递增，在(－1，1)上递减，f (－1)＝f (2)＝2，画出函数图象如图所示，由于函数在区间(－2，m)上有最大值，根据图象可知m∈(xB，xA]，即m∈(－1，2]，故选D.]5．若函数f (x)＝2x3－6x2＋3－a对任意的x∈(－2，2)都有f (x)≤0，则a的取值范围为(　　)A．(－∞，3) B．(2，＋∞)C．[3，＋∞) D．(0，3)C　[f (x)＝2x3－6x2＋3－a，f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f ′(x)＝0，得x＝0，或x＝2.在(－2，0)上f ′(x)＞0，f (x)单调递增；在(0，2)上f ′(x)＜0，f (x)单调递减，所以f (x)max＝f (0)＝3－a.因为对任意的x∈(－2，2)都有f (x)≤0，所以f (x)max＝3－a≤0，得a≥3.故选C.]二、填空题6．函数f (x)＝x－ln x在区间(0，e]上的最小值为________．1　[f ′(x)＝1－，令f ′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f ′(x)＜0；当x∈(1，e]时，f ′(x)＞0，∴当x＝1时，f (x)有极小值，也是最小值，最小值为f (1)＝1.]7．若函数f (x)＝(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．－1　[f ′(x)＝＝.令f ′(x)＝0，得x＝(x＝－舍去)，若x＝时，f (x)取最大值，则f (x)max＝＝，＝＜1，不符合题意；若f (x)max＝f (1)＝＝，则a＝－1，符合题意．]8．已知函数f (x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．(－∞，2ln 2－2]　[函数f (x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln 2－2即可．]三、解答题9．已知函数f (x)＝x3－3ax＋2，曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程为3x＋y＋m＝0.(1)求实数a，m的值；(2)求f (x)在区间[1，2]上的最值．[解]　(1)f ′(x)＝3x2－3a，∵曲线f (x)＝x3－3ax＋2在x＝1处的切线方程为3x＋y＋m＝0，∴解得a＝2，m＝0.(2)由(1)知，f (x)＝x3－6x＋2，则f ′(x)＝3x2－6，令f ′(x)＝0，解得x＝±，∴f (x)在[1，)上单调递减，在(，2]上单调递增，又f (1)＝1－6＋2＝－3，f (2)＝23－6×2＋2＝－2，f ()＝()3－6×＋2＝2－4，∴f (x)在区间[1，2]上的最大值为－2，最小值为2－4.10．已知函数f (x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f (x)的单调递减区间；(2)若f (x)≥2 020对于∀x∈[－2，2]恒成立，求a的取值范围．[解]　(1)f ′(x)＝－3x2＋6x＋9.由f ′(x)<0，得x<－1或x>3，所以函数f (x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)由f ′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1.因为f (－2)＝2＋a，f (2)＝22＋a，f (－1)＝－5＋a，故当－2≤x≤2时，f (x)min＝－5＋a.要使f (x)≥2 020对于∀x∈[－2，2]恒成立，只需f (x)min＝－5＋a≥2 020，解得a≥2 025.11．(多选题)若函数f (x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的可能取值是(　　)A．0 B．1C．2 D．3ABC　[由f ′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.当x变化时，f ′(x)及f (x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f ′(x)－0＋0－f (x)↘－2↗2↘由此得a2－12＜－1＜a，解得－1＜a＜.又当x∈(1，＋∞)时，f (x)单调递减，且当x＝2时，f (x)＝－2.∴a≤2.综上，－1＜a≤2.故选ABC.]12．(多选题)设函数f (x)＝，则下列说法正确的是(　　)A．x∈(0，1)时，f (x)图象位于x轴下方B．f (x)存在单调递增区间C．f (x)有且仅有两个极值点D．f (x)在区间(1，2)上有最大值AB　[由f (x)＝，当x∈(0，1)时，ln x＜0，∴f (x)＜0，所以f (x)在(0，1)上的图象都在x轴的下方，所以A正确；因为f ′(x)＞0在定义域上有解，所以函数f (x)存在单调递增区间，所以B是正确的；由g(x)＝ln x－，则g′(x)＝＋(x＞0)，所以g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，则函数f ′(x)＝0只有一个根x0，使得f ′(x0)＝0，当x∈(0，x0)时，f ′(x)＜0，函数单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以C不正确；由g(x)＝ln x－，则g′(x)＝＋(x＞0)，所以g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，且g(1)＝－1＜0，g(2)＝ln 2－＞0，所以函数在(1，2)先减后增，没有最大值，所以D不正确，故选AB.]13．(一题两空)已知函数f (x)＝2x2－ln x若f ′(x0)＝3，则x0＝________，若在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________．1　　[∵函数f (x)＝2x2－ln x，x∈(0，＋∞)，∴f ′(x)＝4x－＝，由f ′(x0)＝3，x0＞0，解得x0＝1.令f ′(x)＝0得x＝，当0＜x＜时，f ′(x)＜0，当x＞时，f ′(x)＞0，所以当x＝时，f (x)取得极小值，由题意可知：解得1≤k＜，∴实数k的取值范围是：1≤k＜，即k∈.]14．已知函数f (x)＝x3－x2＋6x＋a，若∃x0∈[－1，4]，使f (x0)＝2a成立，则实数a的取值范围是________．　[∵f (x0)＝2a，即x－x＋6x0＋a＝2a，可化为x－x＋6x0＝a，设g(x)＝x3－x2＋6x，则g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)＝0，得x＝1或x＝2.∴g(1)＝，g(2)＝2，g(－1)＝－，g(4)＝16.由题意，g(x)min≤a≤g(x)max，∴－≤a≤16.]15．已知函数f (x)＝aex－ln x－1.(1)设x＝2是f (x)的极值点，求a，并求f (x)的单调区间；(2)证明：当a≥时，f (x)≥0.[解]　(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝aex－.由题设知，f ′(2)＝0，所以a＝.从而f (x)＝ex－ln x－1，f ′(x)＝ex－.当0<x<2时，f ′(x)<0；当x>2时，f ′(x)>0.所以f (x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．(2)证明：当a≥时，f (x)≥－ln x－1.设g(x)＝－ln x－1，则g′(x)＝－.当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0，所以x＝1是g(x)的最小值点．故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当a≥时，f (x)≥0.