人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用课时训练

数学选择性必修二尖子生同步培优题典

5.3导数在研究函数中的应用

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．函数，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

2．函数是上的单调函数，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

3．函数（其中为自然对数的底数）的大致图象为（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

6．已知是函数f(x)的导函数，且对任意的实数x都有(e是自然对数的底数)，f(0)=3，若方程f(x)=m恰有三个实数根，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为，底面半径为，上部为半径为的半球形，按照设计要求容器的体积为立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径的值为（    ）

A．1 B． C． D．2

二、多选题

9．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．是的极大值点

B．函数有且只有个零点

C．存在正整数，使得恒成立

D．对任意两个正实数，，且，若，则

10．已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（    ）

A． B．

C．是R上的增函数 D．，则有

11．若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（    ）

A．在内单调递增

B．和之间存在“隔离直线，且b的最小值为4

C．和间存在“隔离直线”，且k的取值范围是

D．和之间存在唯一的“隔离直线”

12．对于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点

C． D．若在上恒成立，则

三、填空题

13．如果两个函数存在零点，分别为，，若满足，则称两个函数互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为________.

14．已知，，，则的最小值是______.

15．若函数在上是单调函数，则的最大值是______.

16．如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设，为了节省建设成本，要使得的值最小，则当的值最小时， _______km.

四、解答题

17．已知函数，，设．

（1）若，求的最大值；

（2）若有两个不同的零点，，求证：.

18．已知函数，.

（1）求函数在上的单调区间；

（2）证明：对任意的实数，，，都有恒成立.

19．已知函数，（其中为常数，是自然对数的底数）.若函数在点处的切线为，函数 在点处的切线为.

（1）若，求和的方程；

（2）若恒成立，求的取值范围.

20．（本小题满分14分）

下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔，与桥面均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面上一点到索塔，距离之比为，且对两塔顶的视角为．

（1）求两索塔之间桥面的长度；

（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．

21．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，设函数的两个零点为，，试证明：.

22．已知函数，其中.

（1）求的单调区间；

（2）当时，斜率为的直线与函数的图象交于两点，，其中，证明：；

（3）是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.