2022届一轮复习专题练习2 第6练 函数的奇偶性、对称性与周期性（解析版）

这是一份2022届一轮复习专题练习2 第6练 函数的奇偶性、对称性与周期性（解析版），共5页。试卷主要包含了下列函数中，为奇函数的个数是等内容，欢迎下载使用。

考点一 函数的奇偶性
1．下列函数中，为奇函数的个数是( )
①y＝2x－2－x；②y＝ln(x＋1)＋ln(x－1)；③y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≥0，,－x2，x<0；))④y＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x2＋1)＋x)).
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)等于( )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
3．已知函数f(x)＝x3－3sin x＋2，若f(m)＝3，则f(－m)等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．2
4．已知f(x)是R上的偶函数，且在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上单调递减，则不等式feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x))>f(1)的解集为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e－1，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e－1，e))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，e－1))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，＋∞))
考点二 函数的对称性
5．若函数y＝g(x)的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g(x)等于( )
A．lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋x)) B．lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－x))
C．lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－x)) D．lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋x))
6．已知对任意实数x，函数满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x))，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，＋∞))时，函数f(x)＝sin x－x，设a＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，b＝f(3)，c＝f(0)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－x)＝f(x＋4)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2－x－1，则f(3)＝________.
考点三 函数的周期性
8．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(x－1)＝－f(x＋3)，当x∈[－4,0)时，f(x)＝3－x，则f(985)等于( )
A．27 B．－27
C．9 D．－9
9．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(x)的最小正周期为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，f(3)<4，f(2 021)＝p，则实数p的取值范围为( )
A．(4，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－2，＋∞) D．(－4，＋∞)
11．若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f(x)－g(x)＝ex，则( )
A．f(－2)B．g(－1)C．f(－2)D．g(－1)12．已知函数f(x)＝lg|1＋x|＋lg|1－x|，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(1，＋∞)上单调递增
B．是奇函数，且在(1，＋∞)上单调递减
C．是偶函数，且在(1，＋∞)上单调递增
D．是偶函数，且在(1，＋∞)上单调递减
13．设f″(x)是y＝f′(x)的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都有对称中心(x0，f(x0))，其中x0满足f″(x0)＝0.已知f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(1,2)x2＋3x＋eq \f(7,12)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2 021)))＋…＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 020,2 021)))＝________.
14．定义在R上的函数f(x)满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y))＝f(x)＋f(y)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2))＝－f(x)且f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，0))上单调递增，给出下列几个命题：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的图象关于x＝1对称；
③f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，2))上单调递增；
④f(2)＝f(0)．
其中正确命题的序号是________________．
答案精析
1．C [对于①，设f(x)＝2x－2－x，定义域为R，f(－x)＝－f(x)，为奇函数；
对于②，y＝ln(x＋1)＋ln(x－1)，定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，＋∞))，所以为非奇非偶函数；
对于③，作出函数的图象，如图实线部分所示，
根据图象可知，为奇函数；
对于④，设f(x)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x2＋1)＋x))，定义域为R，f(x)＋f(－x)＝ln 1＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．]
2．D [∵f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1.
∴当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1，
得f(x)＝－e－x＋1.]
3．C [因为y＝x3，y＝sin x是奇函数，
又f(x)＝x3－3sin x＋2，
故可得f(m)＋f(－m)＝4，
∴f(－m)＝4－f(m)＝1.]
4．B [由题意，根据偶函数f(x)的性质知，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，0))上单调递增，
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x))>f(1)，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ln x))<1，解得－1因为y＝ln x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上单调递增，
所以e－15．C [在函数y＝g(x)的图象上任取一点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))，
则点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))关于直线x＝2对称的点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－x，y))，
且点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－x，y))在函数y＝ln x的图象上，
所以y＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－x)).]
6．D [由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x))，可得f(x)关于x＝1对称，
所以a＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))，c＝f(0)＝f(2)，
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，＋∞))时，
由f(x)＝sin x－x，可得f′(x)＝cs x－1≤0，
即函数f(x)＝sin x－x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，＋∞))上单调递减，
因此f(3)即f(3)即b7．－1
解析 ∵f(－x)＝f(x＋4)，
∴f(x)的图象关于x＝2对称，
∴f(3)＝f(1)，
又f(x)为奇函数，
∴f(1)＝－f(－1)＝－(21－1)＝－1.即f(3)＝－1.
8．B [由f(x－1)＝－f(x＋3)知，y＝f(x)为周期为8的周期函数，
所以f(985)＝f(1)，f(1)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3＋4))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3))＝－33＝－27.]
9．D [∵f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，①
又f(x)的图象关于x＝2对称，
∴f(－x)＝f(x＋4)，②
由①②得f(x＋4)＝－f(x)，
∴f(x)的最小正周期为8.]
10．D [由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是周期函数，周期为4，
于是p＝f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－f(3)>－4，
所以p>－4.]
11．D [若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f(x)－g(x)＝ex，
∴2f(－x)－g(－x)＝e－x⇒2f(x)＋g(x)＝e－x，
∴f(x)＝eq \f(ex＋e－x,4)，g(x)＝eq \f(e－x－ex,2)，
代入数值知g(－1)12．C [∵f(－x)＝lgeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－x))＋lgeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1＋x))＝f(x)，
∴f(x)是偶函数；
当x>1时，f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋x))＋lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－1))，
设t(x)＝x2－1，
则t(x)在(1，＋∞)上单调递增，
又y＝lg t为增函数，
∴f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－1))在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)是偶函数，且在(1，＋∞)上单调递增．]
13．4 040
解析 根据题意，对于函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(1,2)x2＋3x＋eq \f(7,12)，
有f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1.
由f″(x)＝0，即2x－1＝0，即x＝eq \f(1,2)，
又由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝2，
即函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(1,2)x2＋3x＋eq \f(7,12)的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，
则有f(x)＋f(1－x)＝4，
则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2 021)))＋…＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 020,2 021)))
＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 020,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 019,2 021)))＋…＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1 010,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1 011,2 021)))
＝4×1 010＝4 040.
14．①②④
解析 由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2))＝－f(x)，
可得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋4))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2))＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为4，所以①正确；
由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y))＝f(x)＋f(y)，可得f(0)＝2f(0)，
解得f(0)＝0，
令y＝－x，可得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－x))＝f(x)＋f(－x)，
所以f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2))＝－f(x)＝f(－x)，
即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2))＝f(－x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以②正确；
因为f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，0))上单调递增，
所以函数f(x)在[1,2]上单调递减，所以③错误；
由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2))＝－f(x)，可知f(2)＝－f(0)，
因为f(0)＝0，所以f(2)＝0，所以④正确．
故答案为①②④.