2022届高考数学一轮复习单元检测十五　概率、随机变量及其分布（解析版）

这是一份2022届高考数学一轮复习单元检测十五　概率、随机变量及其分布（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元检测十五　概率、随机变量及其分布
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2021·商丘模拟)某人连续投篮2次，事件“至少有1次投中”的对立事件是(　　)
A．恰有1次投中 B．至多有1次投中
C．2次都投中 D．2次都未投中
答案　D
解析　某人连续投篮2次，事件“至少有1次投中”的对立事件是2次都未投中．
2．同时掷两个骰子，向上的点数之和是6的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　同时掷两个骰子，共有6×6＝36(个)样本点．
其中点数之和是6的有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5个样本点．
∴点数之和是6的概率为.
3．(2020·日照联考)两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，
即仅第一个实习生加工一等品为事件A1，
仅第二个实习生加工一等品为事件A2两种情况，
则P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝×＋×＝.
4．某校教师志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为烈士子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙两位志愿者为1位小学生辅导功课共4次，每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，则甲至少辅导2次的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　甲、乙2位志愿者为1位小学生辅导功课共4次，每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，相当于每天从2人中选一人，且每人至少被选一次的选法有24－2＝14(种)，则甲只辅导1次的情况有甲乙乙乙、乙甲乙乙、乙乙甲乙、乙乙乙甲共4种安排法．所以甲至少辅导2次的概率为P＝1－＝.
5．(2020·邢台第二中学期末)如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.8，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为(　　)

A．0.504 B．0.994 C．0.996 D．0.964
答案　C
解析　由题意知，所求概率为1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.8)＝1－0.004＝0.996.
6．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P(B|A)的值等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意得，P(AB)＝，P(A)＝，
所以P(B|A)＝＝.
7．红心脐橙又名卡拉卡拉红肉脐橙．为“948”项目引进品种．该品种果肉粉红色至红色，色泽均匀，有特殊香味，品质优、商品性好，果实近圆形、闭脐，平均果重200克左右，座果率高、投产早、极耐储藏，冷库储藏期达4个月以上．该品种作为新特殊品种极具推广价值．据统计，红心脐橙的重量(单位：克)服从正态分布N(200,102)，则重量在(190,220]内的概率为(　　)
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
A．0.682 7 B．0.841 3 C．0.818 6 D．0.954 5
答案　C
解析　红心脐橙的重量(单位：克)服从正态分布N(200,102)，可得μ＝200，σ＝10，则重量在(190,220]内的概率P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]＝
[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]＝(0.682 7＋0.954 5)＝0.818 6.
8．某公司圆满完成年初制定的生产目标，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定召开年终总结联欢晚会，在联欢晚会上准备举行一个抽奖游戏，规定：每位员工从一个装有4张奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．若箱子中所装的4张奖券中有1张面值为80元，其余3张面值均为40元，则每位员工所获得的奖励额的均值是(　　)
A．80元 B．100元 C．120元 D．140元
答案　B
解析　设每位员工所获得的奖励额为X，则X的所有可能取值为80,120，则P(X＝80)＝＝，P(X＝120)＝＝，
所以员工所获得的奖励额的均值为E(X)＝80×＋120×＝100(元)．
9．将甲、乙等6位同学平均分成正方、反方两组举行辩论赛，则甲、乙被分在不同组的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意可知，甲乙被分在不同组的分组组数为CC，所有的分组组数为C，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为P＝＝.
10．(2020·潍坊统考)某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列不正确的是(　　)
A．游客至多游览一个景点的概率为
B．P(X＝2)＝
C．P(X＝4)＝
D．E(X)＝
答案　C
解析　记该游客游览i个景点为事件Ai，i＝0,1，
则P(A0)＝×××＝，P(A1)＝×3＋C××2＝，
所以游客至多游览一个景点的概率为P(A0)＋P(A1)＝＋＝，故A正确；
随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4，
P(X＝0)＝P(A0)＝，
P(X＝1)＝P(A1)＝，
P(X＝2)＝×C××2＋×C×2×＝，故B正确；
P(X＝3)＝×C×2×＋×C×3＝，
P(X＝4)＝×3＝，故C错误；
均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故D正确．
11．(2021·山东省九校联考)吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为A1，A2，A3，口香糖为B1，B2，B3，进行四次取物，
基本事件总数为6×5×4×3＝360(种)，
事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：
烟、糖、糖、糖：3×3×2×1＝18(种)，
糖、烟、糖、糖：3×3×2×1＝18(种)，
糖、糖、烟、糖：3×2×3×1＝18(种)，
包含的基本事件的个数为54，
所以其概率为＝.
12．(2020·杭州模拟)随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c

其中a，b，c成等差数列，则D(ξ)的最大值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c，∵a＋b＋c＝1，∴b＝，c＝－a，
∴E(ξ)＝－a＋c＝－2a＋，
D(ξ)＝2×a＋2×b＋2×＝－4a2＋a＋
＝－42＋≤.
则D(ξ)的最大值为.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．一个家庭中有三个小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭中有一个是男孩，则至少有一个女孩的概率是________．
答案　
解析　这个家庭有三个小孩且其中有一个是男孩的所有样本点：(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，其中，至少有一个女孩包含了6个样本点，则至少有一个女孩的概率为.
14．(2020·江苏省南通市如皋市调研)已知直线l：ax＋by－1＝0，若a∈{－1,1}，b∈{－2，－1,1}，则l不经过第二象限的概率为________．
答案　
解析　∵直线l：ax＋by－1＝0，
若a∈{－1,1}，b∈{－2，－1,1}，
∴(a，b)包含的基本事件总数n＝2×3＝6，
∵l不经过第二象限，
∴a≥0，且b≤0，
∴满足l不经过第二象限的(a，b)有(1，－2)，(1，－1)，共2个，
∴l不经过第二象限的概率为P＝＝.
15．(2021·德州期末)随机变量X的取值为0,1,2，P(X＝0)＝0.2，D(X)＝0.4，则E(X)＝________.
答案　1
解析　设P(X＝2)＝x，其中0≤x≤0.8，
可得出P(X＝1)＝0.8－x，
∴E(X)＝0×0.2＋1×(0.8－x)＋2x＝x＋0.8，
D(X)＝(x＋0.8)2×0.2＋(x－0.2)2×(0.8－x)＋(x－1.2)2×x＝0.4，解得x＝0.2，
∴E(X)＝0×0.2＋1×0.6＋2×0.2＝1.
16．(2020·温州市平阳中学模拟)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为ξ，则随机变量ξ的均值为________．
答案　0.38　0.9
解析　第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为
P＝0.5×(1－0.6)×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.4)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.4＝0.38.
经过两次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为
P1＝0.5×0.6＝0.3，P2＝0.6×0.5＝0.3，
P3＝0.4×0.75＝0.3.
随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，
故P(ξ＝0)＝(1－0.3)3＝0.343；
P(ξ＝1)＝C×0.3×(1－0.3)2＝0.441；
P(ξ＝2)＝C×0.32×(1－0.3)＝0.189；
P(ξ＝3)＝0.33＝0.027.
故E(ξ)＝0.343×0＋0.441×1＋0.189×2＋0.027×3＝0.9.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.
(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率；
(2)已知集合M＝{x∈R|x2＋ax＋b＝0}，求集合M中有两个不相同元素的概率．
解　(1)直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切等价于＝1，即a2＋b2＝25，
所有基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个，
其中满足a2＋b2＝25的基本事件为(3,4)，(4,3)，共2个，
根据古典概型的概率公式可得所求事件的概率为＝.
(2)集合M中有两个不相同元素等价于a2－4b>0，其包含的基本事件为(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共17个，
根据古典概型的概率公式可得所求事件的概率为.
18．(12分)从某工厂抽取50名工人进行调查，发现他们一天加工零件的个数在50至350之间，现按生产的零件个数将他们分成六组，第一组[50,100)，第二组[100,150)，第三组[150,200)，第四组[200,250)，第五组[250,300)，第六组[300,350]，相应的样本频率分布直方图如图所示．

(1)求频率分布直方图中x的值；
(2)设位于第六组的工人为拔尖工，位于第五组的工人为熟练工，现用分层抽样的方法在这两类工人中抽取一个容量为6的样本，从样本中任意取两个，求至少有一个拔尖工的概率．
解　(1)根据题意知，(0.002 4＋0.003 6＋x＋0.004 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，
解得x＝0.006 0.
(2)由题意知拔尖工共有50×0.001 2×50＝3(人)，熟练工共有50×0.002 4×50＝6(人)．
抽取容量为6的样本，则拔尖工应抽取6×＝2(人)，熟练工应抽取6×＝4(人)．
设拔尖工为A1，A2，熟练工为B1，B2，B3，B4.
则从中任抽两个的所有可能情况有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15种，
其中，至少有一个拔尖工的情况有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A1，A2)，共9种，
由古典概型概率公式可得，至少有一个拔尖工的概率是＝.
19．(12分)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6的六个球．
(1)从中任意取出两个球，求这两个球的编号之和为偶数的概率；
(2)从中任意取出三个球，记X为编号为偶数的球的个数，求X的分布列和数学期望．
解　(1)从编号为1,2,3,4,5,6的六个球中任意取出两个球，共有C＝15(种)可能，
取出的两球编号之和为偶数包含的基本事件有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6个基本事件，
因此从六个球中任意取出两个球，这两个球的编号之和为偶数的概率为P＝＝.
(2)由题意，X的可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P





数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
20．(12分)2020年岁末年初，“新冠肺炎”疫情以其汹汹袭来之势席卷了我国的武汉，在这关键的时刻，在党中央的正确指导下，以巨大的魄力，惊人的壮举，勇敢的付出，及时阻断了疫情的传播，让这片土地成为了世界上最温暖的家园；通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．如表统计了2月12日到2月18日连续七天全国的治愈人数：(单位：例)
日期
12
13
14
15
16
17
18
治愈人数
1 171
1 081
1 373
1 323
1 425
1 701
1 824

请根据以上信息，回答下列问题：
(1)记前四天治愈人数的平均数和方差分别为1和s，后三天治愈人数的平均数和方差分别为2和s，判断1与2，s与s的大小(直接写出结论)；
(2)从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于200例的概率；
(3)设集合M＝{(xi，xi＋1)|xi表示2月i日的治愈人数，i＝12,13，…，17}，从集合M中任取两个元素，设其中满足xi