2022届一轮复习专题练习11 第95练 高考大题突破练——极坐标与参数方程（解析版）

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考点一 极坐标直角坐标、参数方程之间的相互转化
1．(2020·河南名师联盟调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs α，,y＝4＋2sin α))(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ0，
故可设t1，t2是上述方程的两个实根，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t1＋t2＝3\r(2)，,t1t2＝4.))
又直线l过点P(3，eq \r(5))，
故|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3eq \r(2).
3．解 (1)由eq \r(2)ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－1＝0，得ρcs θ－ρsin θ－1＝0，
由x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，得x－y－1＝0，
因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4m2，,y＝4m))消去m得y2＝4x，所以直线l的直角坐标方程为x－y－1＝0，曲线C的普通方程为y2＝4x.
(2)点M的直角坐标为(1,0)，点M在直线l上，
设直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(\r(2)t,2)，,y＝\f(\r(2)t,2)))(t为参数)，代入y2＝4x，得t2－4eq \r(2)t－8＝0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝4eq \r(2)，t1t2＝－8，
所以eq \f(1,|MA|)＋eq \f(1,|MB|)＝eq \f(|t1－t2|,|t1t2|)＝eq \f(\r(t1＋t22－4t1t2),|t1t2|)＝eq \f(\r(32＋32),8)＝1.
4．解 (1)由ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，得
ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θcs\f(π,4)＋cs θsin\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρsin θ＝y，,ρcs θ＝x))代入上式得x＋y＝1，即C1的直角坐标方程为x＋y－1＝0，
同理由ρ2＝eq \f(1,3－4sin2θ)，可得3x2－y2＝1，
∴C2的直角坐标方程为3x2－y2＝1.
(2)由题意可知，先求以MN为直径的圆，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x2－y2＝1，,x＋y＝1))得3x2－(1－x)2＝1，即x2＋x－1＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－1，,x1x2＝－1，))则MN的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)))，
由弦长公式，可得|MN|＝eq \r(1＋12)|x1－x2|＝eq \r(2)·eq \r(1－4－1)＝eq \r(10).
∴以MN为直径的圆为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),2)))2＝eq \f(5,2).
令x＝0，得eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(5,2)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(9,4)，
∴y＝0或y＝3，
∴以MN为直径的圆与y轴的交点坐标为(0,0)或(0,3)．