【最新版】高中数学高三培优小题练第95练　高考大题突破练——极坐标与参数方程

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考点一 极坐标直角坐标、参数方程之间的相互转化
1．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs α，,y＝4＋2sin α))(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解 (1)曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs α，,y＝4＋2sin α))(α为参数)，
转换为直角坐标方程
为(x－2)2＋(y－4)2＝4，
转换为极坐标方程为
ρ2－4ρcs θ－8ρsin θ＋16＝0.
(2)曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
转换为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－22＋y－42＝4，,x2＋y2－4y＝0，))
整理出公共弦的直线方程为x＋y－4＝0，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－4y＝0，,x＋y－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝4.))
转换为极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(π,2))).
考点二 极坐标、参数方程的应用
2．(2022·宜宾模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs α，,y＝－1＋2sin α))(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))＝eq \r(3).
(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与圆C的交点为A，B，与x轴的交点为P，求eq \f(1,|PA|)＋eq \f(1,|PB|)的值．
解 (1)由方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs α，,y＝－1＋2sin α))消去参数α得圆C的普通方程为
(x－2)2＋(y＋1)2＝4，
由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))＝eq \r(3)，
得ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs θ＋\f(1,2)sin θ))＝eq \r(3)，
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρ·cs θ，,y＝ρ·sin θ，))
代入得直线l的直角坐标方程为
eq \r(3)x＋y－2eq \r(3)＝0.
(2)由直线l的直角坐标方程为eq \r(3)x＋y－2eq \r(3)＝0，故直线l的倾斜角为120°，
点P坐标为(2,0)，所以直线l的标准参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2－\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)．
将直线l的标准参数方程代入圆C的普通方程得eq \f(1,4)t2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)t＋1))2＝4，
整理得t2＋eq \r(3)t－3＝0，
由Δ＝15>0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－eq \r(3)，t1·t2＝－3，且t1，t2异号．
∴eq \f(1,|PA|)＋eq \f(1,|PB|)＝eq \f(|t1－t2|,|t1·t2|)
＝eq \f(\r(t1＋t22－4t1·t2),|t1·t2|)
＝eq \f(\r(－\r(3)2－4×－3),|－3|)＝eq \f(\r(15),3).
3．(2022·陕西长安一中模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs α＋2sin α，,y＝cs α－sin α))(α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝2eq \r(2).
(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(2)若A，B为直线l上距离为4的两动点，点P为曲线C上的动点．求△PAB面积的最大值．
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs α＋2sin α，,y＝cs α－sin α，))
得x2＋(2y)2＝8，即eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1为曲线C的普通方程，
由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝2eq \r(2)，
得ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs θ＋\f(\r(2),2)sin θ))＝2eq \r(2)，
所以x＋y＝4，即x＋y－4＝0为直线l的直角坐标方程．
(2)设曲线C上任一点P(2eq \r(2)cs θ，eq \r(2)sin θ)，则P到直线l的距离为d＝eq \f(|2\r(2)cs θ＋\r(2)sin θ－4|,\r(2))＝|2cs θ＋sin θ－2eq \r(2)|＝|eq \r(5)sin(θ＋φ)－2eq \r(2)|，其中φ为锐角，sin φ＝eq \f(2,\r(5))，cs φ＝eq \f(1,\r(5))，
所以sin(θ＋φ)＝－1时，dmax＝eq \r(5)＋2eq \r(2)，
S△PAB的最大值为eq \f(1,2)×4×(eq \r(5)＋2eq \r(2))＝2eq \r(5)＋4eq \r(2).
4．(2022·哈尔滨模拟)在直角坐标系中，曲线C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcs θ＋2ρsin θ＋a＝0.
(1)当a＝10时，在曲线C上求一点M，使点M到直线l的距离最大，并求出最大距离；
(2)当a＝1时，直线l与曲线C交于A，B两点，弦AB的中点为Q，定点P(3，－2)，求eq \f(|PQ|,|PA|·|PB|)的值．
解 (1)曲线C方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，
转换为参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs θ，,y＝2sin θ))(θ 为参数)，
当a＝10时，直线l的极坐标方程为ρcs θ＋2ρsin θ＋10＝0，
根据eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，,))转换为直角坐标方程为x＋2y＋10＝0.
设M(3cs θ，2sin θ)，
利用点到直线的距离公式d＝eq \f(|3cs θ＋4sin θ＋10|,\r(12＋22))
＝eq \f(|5csθ－α＋10|,\r(5))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α＝\f(3,5)，sin α＝\f(4,5)))，
当θ＝α时，dmax＝eq \f(15,\r(5))＝3eq \r(5)，
即点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,5)，\f(8,5))).
(2)当a＝1时，直线的直角坐标方程为x＋2y＋1＝0.
转换为参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3－\f(2\r(5),5)t，,y＝－2＋\f(\r(5),5)t)) (t为参数)，
代入eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，
得到25t2－84eq \r(5)t＋180＝0，
所以t1＋t2＝eq \f(84\r(5),25)，t1t2＝eq \f(36,5)，
所以|PA||PB|＝|t1t2|＝eq \f(36,5)，|PQ|＝eq \f(|t1＋t2|,2)＝eq \f(42\r(5),25)，
所以eq \f(|PQ|,|PA|·|PB|)＝eq \f(\f(42\r(5),25),\f(36,5))＝eq \f(7\r(5),30).