2021届福建省福州第一中学高三上学期开学检测数学试题

福州一中2021届高三数学开学质检试卷

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．其中1-8是单选题，9-12是多选题．

1. 已知集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据偶次根式的条件与对数函数的值域分别求得集合，再求并集，得到结果.

【详解】，，

所以，

故选：D．

【点睛】该题考查函数的定义域，对数函数的值域以及集合的并集，考查基本分析求解能力，属于基础题目.

2. 是虚数单位，复数，若，则(    )

A.  B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】

，然后由建立方程求解即可

【详解】

因为，所以

解得，因为，所以

故选：C

【点睛】本题主要考查的是复数的计算，较简单.

3. 抛物线的准线被圆截得的线段长为(    )

A. 4 B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】

先由抛物线方程，得到其准线方程，再由几何法求圆的弦长，即可得出结果.

【详解】因为抛物线的准线方程为，

圆整理得，则圆心坐标为，半径为，

则圆心到直线的距离为，

因此被圆截得的弦长为.

故选：B.

【点睛】本题主要考查求抛物线的准线，考查求圆的弦长，属于基础题型.

4. 函数的图象大致为( )

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据解析式，先判断其奇偶性，由函数的大致范围，即可判断出结果.

【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，

令，

又，即函数为奇函数，

所以函数的图像关于原点对称，排除AB，

又时，；时，，故D错，C正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了函数图像的识别，属于基础题.

5. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角函数的定义可求得,结合正切的二倍角公式即可求得的值.

【详解】因为角的终边经过点

由三角函数定义可得

根据正切的二倍角

代入可得

故选:D

【点睛】本题考查了三角函数的定义,正切二倍角公式的应用,属于基础题.

6. 在的二项展开式中的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据二项式定理，写出二项展开式的通项，根据赋值法，即可求出指定项的系数.

【详解】因为展开式第项为，

令，则，

所以的二项展开式中的系数为.

故选：D.

【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.

7. 在中，，，为边上的高，为的中点，那么(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题中条件，得到，，再由向量数量积的运算法则，即可得出结果.

【详解】因为在中，，，为边上的高，

所以，，

又为的中点，

则.

故选：A.

【点睛】本题主要考查求平面向量的数量积，属于基础题型.

8. 某班级的班委有9位同学组成，他们分成四个小组参加某项活动，其中一个小组有3位同学，其余三个小组各有2位同学．现从这9位同学中随机选派5人，则每个小组至少有1人被选中的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用组合计数原理，先分别求出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比，即为所求概率.

【详解】从这9位同学中随机选派5人，共包含基本事件的个数为；

每个小组至少有1人被选中，所包含的基本事件个数为，

因此每个小组至少有1人被选中的概率为.

故选：B.

【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，属于常考题型.

9. 设是无穷数列，，，则下面给出的四个判断中，正确的有(    )

A. 若是等差数列，则是等差数列

B. 若是等差数列，则是等差数列

C. 若是等比数列，则是等比数列

D. 若是等差数列，则都是等差数列

【答案】AD

【解析】

【分析】

利用等差数列的通项公式以及定义可判断A、B、D；利用等比数列的通项公式可判断B.

【详解】对于A，若是等差数列，设公差为，

则，

则，

所以是等差数列，故A正确；

对于B，若是等差数列，设公差为，

，即数列的偶数项成等差数列，

奇数项成等差数列，故B不正确，D正确.

对于C，若是等比数列，设公比为，

当时， 则，

当时，则，故不是等比数列，故C不正确；

故选：AD

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及定义、等比数列的通项公式以及定义，属于基础题.

10. 在矩形中，，，沿对角线翻折，形成三棱锥．下列判断正确的是(    )

A. “”是“”的充分条件

B. “”是“”的必要条件

C. 当时，三棱锥的体积为

D. 三棱锥外接球的表面积不是定值

【答案】ABC

【解析】

【分析】

利用线面垂直判定定理以及充分条件、必要条件的定义可判断A、B；利用换顶点法以及锥体的体积公式可判断C；利用球心到四个顶点的距离可判断D

【详解】

对于A，，由，，则,

所以，

又因为，所以平面，

因为平面，

所以，故“”是“”的充分条件，故A正确.

对于B，若， 由，，

所以平面，平面，

所以，由，，

所以，故“”是“”的必要条件，故B正确.

对于C，当时，平面，

且满足，即，

所以，故C正确；

对于D，，所以三棱锥外接球的半径不变，

故三棱锥外接球的表面积是定值，故D不正确.

故选：ABC

【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、锥体的体积公式、多面体的外接球问题，考查了空间想象能力以及计算能力，属于中档题.

11. 已知函数，在上的最大值为M，则下面给出的四个判断中，正确的有(    )

A. 最小正周期为 B. M有最大值

C. M有最小值 D. 图象的对称轴是直线：

【答案】CD

【解析】

【分析】

根据函数的解析式和性质，对选项一一判断即可.

【详解】函数，

对于A：，，

当，，当，与不一定相同，故A错误；

对于B和C：在上递增，则，

当，即，则在上的最大值为，在上递减，则；

当，即，则在上的最大值为，在上递增，则；

当，即，

当，即，则在上的最大值为；

当，即，则在上的最大值为，在上递增，则；

当，即，则在上的最大值为，在上递减，则；

综上：M有最小值为，无最大值，故C正确；

对于D：，，

则，图象的对称轴是直线，故D正确.

故选：CD

【点睛】本题考查了三角函数的对称性和周期性及最值等问题，掌握三角函数的性质是关键，属于中档题.

12. 设数列满足，对任意的恒成立，则下列说法正确的是(    )

A.  B. 是递增数列

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】

构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解.

【详解】由，

设，

则，

所以当时，，

即在上为单调递增函数，

所以函数在为单调递增函数，

即，

即，

所以 ，

即，

所以，，故A正确；C不正确；

由在上为单调递增函数，，所以是递增数列，故B正确；

,所以

因此，故D正确

故选：ABD

【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 已知函数，若，则_______．

【答案】16

【解析】

【分析】

由，利用对数的运算求解即可.

【详解】，

，

，，

故答案为：16

【点睛】本题主要考查对数的基本性质，意在考查对基础知识的理解与运用，属于简单题.

14. 小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图所示，纸卷的直径12厘米，轴的直径为4厘米．当小明用掉的纸后，则剩下的这卷纸的直径最接近于________厘米(精确到厘米)．

【答案】

【解析】

【分析】

利用圆环的面积求法即可求解.

【详解】使用卷纸的过程中，卷纸的高不变，

用之前卷纸的底面积，

设用后纸的半径为厘米，

当小明用掉的纸后卷纸的底面积，

解得厘米，

所以剩下的这卷纸的直径为厘米，最接近于厘米.

故答案为：

【点睛】本题考查了圆柱的底面积，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

15. 已知、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，，则椭圆离心率是___________．

【答案】

【解析】

【分析】

先由，根据椭圆的定义，求出，，再由余弦定理，根据，即可列式求出离心率.

【详解】因为点在椭圆上，

所以，

又，所以，

因为，

在中，由，根据余弦定理可得

，

解得(负值舍去)

故答案为：.

【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，属于常考题型.

16. 已知，，函数与有两个零点，则a的取值范围是___________．

【答案】且．

【解析】

【分析】

函数与有两个零点有两个零点有两个零点，令则有两个交点，利用导数得出答案．

【详解】解：函数与有两个零点

有两个零点

有两个零点，

令，则有两个交点，

，

所以在区间上，，单调递增，

在区间上，，单调递减且，

，

有两个交点，

，

且．

故答案为：且．

【点睛】本题考查函数与方程之间的关系，构造是解题的难点，属于中档题．

三、解答题(本大题共6小恩，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. 等比数列的前n项和为，若、、成等差数列，，

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)令，求数列的前n项和．

【答案】(1)；(2)

【解析】

【分析】

(1)利用等比数列和等差数列的通项和求和公式，进行列方程求解即可

(2)利用错位相减求和法直接求解即可

【详解】解：(1)设等比数列的公比为，则且，又由、、成等差数列，

，，，

，，，

又，，

则数列的通项公式为

(2)由(1)得，，，

，①

，②

得

【点睛】本题考查等比数列和等差数列的通项问题，考查错位相减求和法，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(Ⅰ)求角C；

(Ⅱ)如图，若点D在边上，，，E为垂足，，，求长．

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).

【解析】

【分析】

(Ⅰ)根据题中条件，由正弦定理，求出，即可得出角；

(Ⅱ)根据，得到为等腰三角形，再由，，求出，结合正弦定理求出，得出，由，即可求出结果.

【详解】(Ⅰ)因为，

由正弦定理可得，

则，即，所以，

又为三角形内角，所以；

(Ⅱ)因为，所以为等腰三角形，且角为一个底角，所以角，

又，所以为中点，则；

中，，，，

由正弦定理可得，，

所以，

因此在中，.

【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，涉及两角和的正弦公式，属于基础题型.

19. 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，，，假设，，互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．

(Ⅰ)如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

(Ⅱ)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，，(，，是，，的一个排列)，求所需派出人员数目X的分布列和数学期望(结果用，，表示)．

【答案】(Ⅰ)；不会发生变化；(Ⅱ)分布列见解析；.

【解析】

【分析】

(Ⅰ)首先求出任务不能完成的概率，再根据对立事件的概率以及相互独立事件的概率乘法公式即可求解.

(Ⅱ)首先求出随机变量X的取值，利用相互独立事件的概率即可列出分布列，结合分布列即可求和数学期望.

【详解】(Ⅰ)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是

，

所以任务能被完成的概率与三个人被派出去的先后顺序无关，

都等于，

(Ⅱ)当依次派出去的三个人各自完成任务的概率分别为，，时，

随机变量X的分布列为：

所派出人员数目的数学期望是

【点睛】本题考查了相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

20. 如图三棱柱，为菱形，，，M为的中点，平面平面．

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)若直线与平面所成角为45°，求二面角所成角的余弦值．

【答案】(Ⅰ)证明见详解；(Ⅱ)

【解析】

【分析】

(Ⅰ)取的中点，连接，证明平面，得出答案.

(Ⅱ)连接，以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，为平面的一个法向量，利用向量的数量积即可求解.

【详解】(Ⅰ)取的中点，连接，

则，平面 平面，

故平面，平面，

故，

因为为菱形，故，，

故，,

故平面，平面，

故.

(Ⅱ)连接，由为菱形，，

则，由(Ⅰ)可知，

以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

设，由直线与平面所成角为45°，

则，，，，

则，，，，

，，，

为平面的一个法向量，

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，则，，

所以，

，

由图可知，二面角所成角的余弦值.

【点睛】本题考查了线线垂直、二面角，意在考查了考生的计算能力和空间想象能力，属于中档题.

21. 已知动圆P过定点，且在y轴上截得的弦长为4．

(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹E的方程；

(Ⅱ)设，A、B、C为轨迹E上三个点(点A在第一象限)，若四边形为菱形，求B点坐标．

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或

【解析】

【分析】

(Ⅰ)设圆心P，根据题意可得，解方程即可求解.

(Ⅱ)设，，菱形的中心，讨论与轴是否垂直，当垂直时，根据菱形的性质可得B点，当与轴不垂直时，设出直线的方程：，从而得到的斜率，将与分别与抛物线联立，求出即可求解.

【详解】(Ⅰ)设圆心P，

由题意可得，

整理可得，

所以动圆圆心P的轨迹E的方程为：.

(Ⅱ)设，，菱形的中心，

当轴，则在坐标原点，

即，

当与轴不垂直时，

设直线的方程：，

则直线的斜率为，

联立 ，消去可得，

则 ，

，

，，

是的中点，，

由点在抛物线上，且直线的斜率为，

可得，解得，，

【点睛】本题考查了动点轨迹方程、直线与抛物线的位置关系，此题要求有较高的计算求解能力，属于中档题.

22. 已知函数.

(1)若，证明：当时，；

(2)若是的极大值点，求正实数a的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

【分析】

(1)对函数求导，则，再令，则，得出导函数的正负，可得出函数的单调性，继而判断导函数的正负，从而可得出函数的单调性，可得证；

(2)分两种情况和，分别讨论得出函数的单调性，由已知可得出正实数a的取值范围.

【详解】(1)由题知，，

令，则，

若，当时，

，

所以在上单调递增，

所以，所以在上单调递增；

所以.

(2)①若，由(1)知：在上单调递增；

因此不可能是的极大值点.

②若，令，

因为当时，，所以即在上单调递增.

又因为，，

因此存满足：，所以当时，，

所以在上单调递减，，

所以当时，；当时，；

所以在上单调递增；在上单调递减；

综上，当是的极大值点时，.

【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性、极值、最值等问题，关键在于构造合适的函数，由其导函数的正负得出原函数的单调性，及其图象趋势，从而可得出所研究的函数的极值、最值、零点等相关的问题，属于难度题.