2023届福建省福州第一中学高三上学期开学质检考试数学试题含答案

福州一中2022-2023学年第一学期高三开学质检考试

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若，则复数z的虚部是（    ）

A. 2i B. i C. 2 D. 1

2. 已知集合，，则（    ）

A. S B. T C. R D.

3. 某市卫健委用模型的回归方程分析年月份感染新冠肺炎病毒的人数，令后得到的线性回归方程为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象(　　)

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

5. 定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 已知双曲线以正方形的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形的边长为2，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知，，，，则a，b，c，d的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 已知，且，则下列式子正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 在正方体中，E为中点，若直线平面，则点F的位置可能是（    ）

A. 线段中点 B. 线段中点 C. 线段中点 D. 线段中点

11. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 图象是轴对称图形 B.

C. 在区间上单调递增 D.

12. 已知数列满足，，为数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C  D. 若，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知 展开式中含有 项的系数是54，则n=_____________.

14. 已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_________．

15. 在平面四边形中，，，，，，则 _________

16. 已知函数 ，正数数列满足，若对任意正整数n，不等式都成立，则实数的最小值为___________.

四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 记为数列前n项和，已知是公差为的等差数列.

（1）证明：等差数列；

（2）若可构成三角形的三边，求的取值范围.

18. 已知的内角A、B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，

（1）求A；

（2）若是边上的中线，求长度的最大值

19. 第24届冬季奥运会于2022年2月4日至20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负．

某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：

①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；

②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；

③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．

已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．

（1）求甲通过测试的概率；

（2）设为本次测试中乙的得分，求的分布列，

20. 如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，，沿将四边形折成四边形，使点在平面上的射影H在直线上．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

21. 已知抛物线C的顶点在坐标原点O，准线方程为，F为抛物线C的焦点，点P为直线上任意一点，以P为圆心，为半径的圆与抛物线C的准线交于A、B两点，过A、B分别作准线的垂线交抛物线C于点D、E．

（1）求抛物线C的方程；

（2）设点O到直线距离为d，求d的最大值．

22. 已知函数，若函数有两个不同的零点

（1）求a的取值范围；

（2）求证：

福州一中2022-2023学年第一学期高三开学质检考试

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若，则复数z的虚部是（    ）

A. 2i B. i C. 2 D. 1

【答案】D

2. 已知集合，，则（    ）

A. S B. T C. R D.

【答案】A

3. 某市卫健委用模型的回归方程分析年月份感染新冠肺炎病毒的人数，令后得到的线性回归方程为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

4. 已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象(　　)

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

【答案】A

5. 定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

6. 已知双曲线以正方形的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形的边长为2，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

7. 已知，，，，则a，b，c，d的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

8. 若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 已知，且，则下列式子正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

10. 在正方体中，E为中点，若直线平面，则点F的位置可能是（    ）

A. 线段中点 B. 线段中点 C. 线段中点 D. 线段中点

【答案】ABD

11. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 图象是轴对称图形 B.

C. 在区间上单调递增 D.

【答案】ABD

12. 已知数列满足，，为数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 若，则

【答案】ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知 的展开式中含有 项的系数是54，则n=_____________.

【答案】

14. 已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_________．

【答案】且

15. 在平面四边形中，，，，，，则 _________

【答案】

16. 已知函数 ，正数数列满足，若对任意正整数n，不等式都成立，则实数的最小值为___________.

【答案】

四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列.

（1）证明：是等差数列；

（2）若可构成三角形的三边，求的取值范围.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用等差数列定义和可得答案；

（2）由可构成三角形的三边可得，利用又，根据的范围可得答案.

【小问1详解】

（1）因为是公差为的等差数列，

时，，

即，

所以，又，

所以，所以是等差数列.

【小问2详解】

因为可构成三角形的三边，

所以，即，

又，且，

所以.

18. 已知的内角A、B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，

（1）求A；

（2）若是边上的中线，求长度的最大值

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由于，且，可得，由正弦定理角化边结合两角和的正弦公式，化简可得，即可求得答案；

（2）由余弦定理结合均值不等式可求得，利用向量的线性运算可得，结合向量模的计算可得，利用均值不等式即可求得答案.

【小问1详解】

因为，且，故，

所以,即,

所以 ,而，

故 ,因为;

【小问2详解】

由题意可得 ,

即 ，

即，当且仅当 时取等号；

又是边上的中线，故 ,

所以，即，

所以长度的最大值为.

19. 第24届冬季奥运会于2022年2月4日至20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负．

某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：

①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；

②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；

③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．

已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．

（1）求甲通过测试的概率；

（2）设为本次测试中乙的得分，求的分布列，

【答案】（1）   

（2）分布列详见解析

【解析】

【分析】（1）根据相互独立事件概率计算方法，计算出甲通过测试的概率.

（2）的可能取值为，根据相互独立事件概率计算方法，计算出的分布列.

【小问1详解】

甲通过测试包括种情况：

①第一次得分，第二次得分，概率为；

②第一次得分，第二次得分，第三次得分，概率为；

③第一次得分，第二次得分，第三次得分，概率为.

所以甲通过测试的概率为.

【小问2详解】

的可能取值为，

，

，

，

，

，

所以的分布列为：

20. 如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，，沿将四边形折成四边形，使点在平面上的射影H在直线上．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用线面平行的判定定理可得平面，平面，即可得到平面平面，再利用面面平行的性质定理可得线面平行；

（2）建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面的法向量和，计算直线与平面所成角的正弦值即可．

【小问1详解】

，平面，平面．

平面，

由，同理可得平面，

又，

平面平面，平面，

平面；

【小问2详解】

如图所示，

过作，过作平面，

分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．

在平面上的射影在直线上，

设，

，3，，且，；

，解得；

；

，

，且，5，，

设平面的法向量为，，，则，即

解得，令，得，

得到平面的法向量为，0，；

又，5，，，2，，

，，，

直线与平面所成角的正弦值为，．

21. 已知抛物线C的顶点在坐标原点O，准线方程为，F为抛物线C的焦点，点P为直线上任意一点，以P为圆心，为半径的圆与抛物线C的准线交于A、B两点，过A、B分别作准线的垂线交抛物线C于点D、E．

（1）求抛物线C的方程；

（2）设点O到直线的距离为d，求d的最大值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）结合准线方程，设出抛物线方程即可求解；

（2）设出，表示出圆的方程，联立准线方程，结合韦达定理表示出直线的方程，求出直线过定点，即可求出d的最大值.

【小问1详解】

由准线方程为，设抛物线方程为，则，解得，则抛物线C的方程为；

【小问2详解】

易得，设，则，，于是圆的方程为，

令，得到，设，则，

显然直线的斜率存在，，直线的方程为，

整理得，又，则，即，

则直线过定点，显然当原点和定点的连线垂直于直线时，此时直线的斜率，

则点O到直线的距离d最大，为.

22. 已知函数，若函数有两个不同的零点

（1）求a的取值范围；

（2）求证：

【答案】（1）   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，求出函数的单调区间及最值，然后根据题意列出不等式，从而可得出答案；

（2）易得是函数的一个零点，结合（1）分和两种情况讨论，当时，，转化为关于的不等式，构造新的函数，利用导数证明即可，同理证明时不等式也成立即可.

【小问1详解】

解：，

因为函数在上单调递增，

所以，

当时，，

所以函数在上递增，

所以函数在上最多一个零点，与题意矛盾；

当时，令，则，

时，，时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以，

因为函数在上有两个不同的零点，

又当时，，

所以，即，

令，

则，

当时，，当时，，

所以函数在上递增，在上递减，

所以，

则当时，，

所以不等式组的解为且，

即a取值范围为，

综上所述a的取值范围为；

【小问2详解】

证明：由（1）得，

因为，则为函数的一个零点，

不妨设，

①当时，则，

由为函数的零点，

得，则，

则要证不等式，即证，

即证，即证，

即证，

令，

则，

所以函数在上递减，

所以，

所以；

②当时，则，

由为函数的零点，

得，则，

则要证不等式，即证，

即证，即证，

即证，

令，

则，

所以函数在上递增，

所以，

所以，

综上所述.

【点睛】本题考查了利用导数求函数函数的单调区间及利用导数解决零点问题，考查了利用导数证明不等式问题，考查了分类讨论思想和逻辑推理能力，考查了转化思想，难度很大.