高中北师大版 (2019)6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响第1课时学案

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§6　函数y＝A sin 的性质与图象第1课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象学 习 任 务核 心 素 养1．了解振幅、初相、相位、频率等有关概念，会用“五点法”画出函数y＝A sin 的图象．(重点)2．理解并掌握函数y＝A sin 图象的平移与伸缩变换．(重点、难点)3．掌握A、ω、φ对图象形状的影响．(难点，易混点)通过画函数y＝A sin 的图象，培养直观想象素养． 在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数．如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象．(1)　　　　　　　(2)将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝A sin (ωx＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？问题　1.函数y＝A sin (ωx＋φ)的周期、最值分别受哪些量的影响？2．如何做出函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象？知识点1　周期变换(1)在函数y＝sin ωx(ω＞0)中，ω决定了函数的周期T＝，通常称周期的倒数f＝＝为频率．(2)对于函数y＝sin ωx(ω＞0，ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．1.要得到y＝sin 3x的函数图象只需将y＝sin x图象的横坐标________纵坐标不变即可．[答案]　缩短为原来的知识点2　相位变换(1)在函数y＝sin (x＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，x＋φ为相位．(2)对于函数y＝sin (x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．如何由y＝sin 的图象变换为y＝sin x的图象？[提示]　向左平移个单位长度．2.已知简谐运动f(x)＝2sin (＋φ)(|φ|<)的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)A．T＝6，φ＝     B．T＝6，φ＝C．T＝6π，φ＝     D．T＝6π，φ＝A　[T＝＝＝6，代入(0，1)点得sin φ＝.∵－<φ<，∴φ＝.]知识点3　振幅变换(1)在函数y＝A sin x(A＞0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅．(2)要得到函数y＝A sin x(A＞0，A≠1)的图象，只要将函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)即可得到．3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y＝－sin 的振幅是－.(　　)(2)函数y＝3sin 的初相是.(　　)(3)函数y＝sin 的图象的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 类型1　作函数y＝A sin ＋b的图象【例1】　(教材北师版P47例2改编)作出函数f(x)＝sin (2x＋)在[0，π]上的简图．先求出ωx＋φ的范围，然后在这个范围内，选取特殊点，连同区间的两个端点一起列表．[解]　f(x)＝sin (2x＋)＝cos [－(2x＋)]＝cos ，列表如下：2x－－0πππx0ππππf(x)10－10图象如图：五点法作图关键是列表，一般有下面两种列表方法：(1)分别令ωx＋φ＝0，，2π，再求出对应的x，这体现了整体换元的思想．(2)取ωx0＋φ＝0，得x0＝，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加一个周期的，就可得到其余四个点的横坐标．1．用五点法作函数y＝2sin 的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．[解]　(1)列表：列表时2x＋取值为0、、π、、2π，再求出相应的x值和y值．x－2x＋0π2πy020－20(2)描点．(3)用平滑的曲线顺次连接各点所得图象如图所示．由解析式可知，振幅A＝2，周期T＝π，频率f＝，初相φ＝. 类型2　图象变换【例2】　如何由y＝sin x的图象得到y＝2sin 的图象？[解]　途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)y＝sin x途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换．y＝sin x由y＝sin x的图象经过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下：(1)(相位变换)先把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度，得函数y＝sin (x＋φ)的图象．(2)(周期变换)把函数y＝sin (x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，得函数y＝sin (ωx＋φ)的图象．(3)(振幅变换)把函数y＝sin (ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)，得函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象．(4)把得到的y＝A sin (ωx＋φ)的图象向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平移|b|个单位长度，得函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的图象．也可以先周期变换再相位变换．2．如何由函数y＝sin x的图象通过相应变换得到函数f(x)＝sin 的图象，写出变换过程．[解]　变换过程如下： 类型3　求y＝A sin 的解析式【例3】　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式．由最高、最低点确定A，由周期确定ω，然后由图象过的特殊点确定φ.[解]　法一：由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，∴y＝3sin (2x＋φ).∵点在函数图象上，∴0＝3sin .∴－ ×2＋φ＝2kπ，得φ＝＋2kπ(k∈Z).∵|φ|<，∴φ＝.∴y＝3sin .法二：由图象知A＝3.∵图象过点和，∴解得∴y＝3sin .法三：由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，所以y＝3sin 2，即y＝3sin .求初相φ的三种方法(1)确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.(2)通过特殊点代入函数解析式，建立关于φ的方程，再由φ的范围，可以求得φ，这里需要注意的是，若这个点不是波峰或波谷，则须看函数图象在该点处是上升还是下降．(3)先确定函数的基本解析式y＝A sin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数，例如本例中的法三．3．函数f(x)＝A sin (A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f的值是________．　[由图可知：A＝，＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，又函数图象经过点，所以2×＋φ＝π，则φ＝，故函数的解析式为f(x)＝sin ，所以f＝sin ＝.]1．函数y＝2sin 的相位和初相分别是(　　)A．－2x＋，     B．2x－，－C．2x＋，     D．2x＋，C　[y＝2sin ＝2sin ＝2sin .∴相位和初相分别为2x＋，.]2．若函数y＝A sin (ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝(　　)A.5    B．4    C．3    D．2B　[设函数的最小正周期为T，由函数图象可知＝－x0＝，所以T＝.又因为T＝，可解得ω＝4.]3．把函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，则ω和φ的值分别为(　　)A．1，    B．2，    C．，    D．，B　[依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)＝2cos ，第二次变换得到函数g(x)＝2cos .因为函数g(x)的最小正周期为2π，所以ω＝2，则g(x)＝2cos .又因为函数为奇函数，0<φ<π，所以φ＋＝kπ＋(k∈Z)，则φ＝.]4．把函数y＝sin 的图象向________平移________个单位得到y＝sin 2x的图象．右　　[y＝sin ＝sin 2，所以将其向右平移个单位得到y＝sin 2x的图象．]5．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜，x∈R)在一个周期内的图象如图所示．则函数f(x)的解析式为________．f(x)＝2sin(＋)　[由图可知A＝2，T＝－＝4π，则ω＝＝，∴解析式为f(x)＝2sin ，由f(x)的图象过点，即2sin ＝2，可得φ＝2kπ＋，又－＜φ＜，得φ＝，∴f(x)＝2sin .]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.在图象变换中还有哪些常见的变换？[提示]　图象变换中，还常用以下三种变换：(1)y＝－sin x的图象可由y＝sin x的图象沿x轴翻折180°而得到．(2)y＝|sin x|的图象可由y＝sin x的图象得到．其变化过程为在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分沿x轴翻折180°而得到．(3)y＝sin |x|的图象可通过让y＝sin x的图象在y轴右边的部分不变，y轴左边的图象由y轴右侧的图象关于y轴翻转180°而得到．2.图象变换与函数变换之间有怎样的关系？[提示]　图象变换是三角函数的重点内容之一．函数的各种变换都是自变量x或函数值y进行的变换．图象变换与函数变换紧密相连，相位变换是用x＋φ来代替y＝f(x)中的x，周期变换是用ωx(ω＞0)代替x，振幅变换是用来代替y(A＞0).