高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响第2课时学案设计

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第2课时　函数y＝Asin的性质 学 习 任 务核 心 素 养1．掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法．(重、难点)2．理解函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称性．(重点、易混点)通过函数y＝A sin 的性质的应用，培养数学运算与逻辑推理素养． 在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数(其中A，ω，φ为常数)，例如，在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数，其中振子在一段时间内的图象如图所示．问题　你能根据图象，求出A，ω，φ吗？知识点　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质定义域R值域[－A，A]周期T＝奇偶性φ＝kπ，k∈Z时，y＝A sin (ωx＋φ)是奇函数；φ＝kπ＋，k∈Z时，y＝A sin (ωx＋φ)是偶函数对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得单调性递增区间由2kπ－ ≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得；递减区间由2kπ＋ ≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与f的取值有何关系？[提示]　“f＝0”是“f(x)是奇函数”的充要条件．“f＝±A”是“f(x)是偶函数”的充要条件．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y＝sin 2x在[0，π]和[2π，3π]上的图象形状相同，只是位置不同．  (　　)(2)－≤sin ≤.  (　　)(3)函数y＝3sin 的图象关于直线x＝－轴对称． (　　)(4)函数y＝sin x的零点是x＝kπ，k∈Z.(　　)[答案](1)√　(2)√　(3)√　(4)× 类型1　函数y＝A sin (ωx＋φ)的最值问题【例1】　(1)函数y＝－2sin (2x－)＋1的最大值为________，取得最大值时x＝________．(2)求函数y＝sin ，x∈的值域．(1)3　－＋kπ，k∈Z　[ymax＝－2×(－1)＋1＝3，令2x－＝－＋2kπ，k∈Z，解得x＝－＋kπ，k∈Z.](2)[解]　∵0≤x≤ ，∴ ≤2x＋ ≤ .∴－ ≤sin ≤1.∴－1≤ sin ≤ ，即－1≤y≤ .∴函数y＝sin ，x∈的值域为[－1，].本例(1)中的函数解析式不变，结论改为：求函数的最小值及取得最小值时x的值．[解]　ymin＝－2×1＋1＝－1，令2x－＝＋2kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z.求函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域的步骤(1)换元，令u＝ωx＋φ，并求u的取值范围；(2)作出y＝sin u(注意u的取值范围)的图象；(3)结合图象求出值域．1．已知f(x)＝sin  (ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________．　[如图所示，由题意知：f(x)在x＝＝处取得最小值．∴ω＋＝2kπ－ (k∈Z).∴ω＝8k－ (k∈Z).∵ω>0，∴当k＝1时，ω＝8－＝；当k≥2时，ω≥16－＝，此时在区间内已存在最大值．故ω＝.] 类型2　求y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的周期【例2】　求下列函数的周期：(1)y＝3sin ＋1；(2)y＝.(1)用T＝求周期；(2)利用函数的图象来求周期．[解]　(1)∵ω＝2，∴T＝＝＝π.(2)y＝的图象如下：由图象可知，T＝π.1.形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b的函数的周期为T＝．2.形如函数y＝的周期可用图象法求解，其周期为T＝，因此周期减半．2．函数y＝5sin 的最小正周期为________．4π　[函数y＝5sin 的最小正周期T＝＝4π.] 类型3　求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间【例3】　求函数y＝2sin 的单调增区间．[解]　y＝2sin ＝－2sin .所以其单调递增区间，就是y＝2sin 的单调递减区间．由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋，(k∈Z)因此函数y＝2sin 的单调增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z).求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，常视ωx＋φ为一个整体，通过y＝sin x的单调增(减)区间，求得函数的增(减)区间，当ω<0时，可用诱导公式化其为正．3．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象与直线y＝b(0＜b＜A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f(x)的单调递增区间是________. ，k∈Z　[由其图象特征知，其周期为6，f为最大值，所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z.] 类型4　函数y＝A sin (ωx＋φ)的奇偶性与对称性【例4】　(1)函数y＝sin 的图象的对称轴方程为________，对称中心为________．(2)若函数f(x)＝2sin 是偶函数，则φ的值可以是(　　)A．    B．    C．    D．－(1)x＝＋(k∈Z)，k∈Z　(2)A　[(1)令sin ＝±1，得2x＋＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)，∴函数y＝sin 的图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).令sin ＝0，得2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝－(k∈Z)，∴函数y＝sin 的图象的对称中心为，k∈Z.(2)由f(x)＝2sin 为偶函数得φ－＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋.∴当k＝0时，φ＝.故选A.]关于函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称性与奇偶性(1)将ωx＋φ看作整体，代入到y＝sin x的对称中心、对称轴的表达式，可以求出函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称中心、对称轴．(2)若函数y＝A sin (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝π＋kπ，k∈Z，若函数y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ，k∈Z.4．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．[解]　由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)在x＝0时取得最值．即sin φ＝±1.依题设0≤φ≤π，∴解得φ＝.由f(x)的图象关于点M对称，可知sin ＝0，解得ω＝－，k∈Z.又∵f(x)在上是单调函数，∴T≥π，即 ≥π，∴ω≤2.又∵ω＞0，∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2.∴φ＝，ω＝2或ω＝.1．函数f(x)＝sin 的最小正周期为(　　)A．4π    B．2π    C．π    D．C　[由题意T＝＝π，故选C.]2．函数y＝2sin ＋1的最大值是(　　)A．1    B．2    C．3    D．4C　[当2x＋＝2kπ＋时，即x＝kπ＋(k∈Z)时最大值为3.]3．已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　)A．关于点对称     B．关于直线x＝对称C．关于点对称     D．关于直线x＝对称A　[由f(x)＝sin (ωx＋)的最小正周期为π，则ω＝2，∴f(x)＝sin (2x＋)，易知(，0)是它的一个对称中心，故选A.]4．函数y＝sin 与y轴最近的对称轴方程是________.x＝－　[令2x－＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z).由k＝0，得x＝；由k＝－1，得x＝－.]5．函数y＝sin ，x∈的单调递增区间为________．　[∵x∈，∴x＋∈，∵y＝sin x在上单调递增．∴－ ≤ x＋ ≤ .解得－π≤x≤ .故答案为.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.如何确定函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间？[提示]　在研究函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，把ωx＋φ看作一个整体，再根据函数y＝sin x的单调增(减)区间求解，但需注意A和ω的符号，从而正确确定函数的单调增(减)区间．2.如何用整体思想研究函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质？[提示]　在研究y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z时取得最小值．