2022届高考数学一轮复习第五章数列5.1数列的概念与简单表示法学案理含解析北师大版

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第一节　数列的概念与简单表示法命题分析预测学科核心素养本节是高考的热点，主要考查：(1)由数列的递推关系求通项公式；(2)由an与Sn的关系求通项公式；(3)利用数列的函数性质求最值等，主要以填空题、解答题的形式呈现，难度不大．本节通过an与Sn的关系以及递推数列考查考生的数学运算、逻辑推理、数学建模核心素养．授课提示：对应学生用书第102页知识点　数列的有关概念及表示1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和2．数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图像法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法• 温馨提醒 •二级结论1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝2．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则必明易错1．易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一个确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．1．已知数列{an}为，1，，，…，则可作为数列{an}的通项公式的是(　　)A．an＝　　　　 B．an＝C．an＝  D．an＝解析：由，，，，…，归纳得an＝．答案：C2．(2021·郑州模拟)已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则(　　)A．3不是数列{an}中的项B．3只是数列{an}中的第2项C．3只是数列{an}中的第6项D．3是数列{an}中的第2项或第6项解析：令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或n＝6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．答案：D3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________．答案：5n－44．(易错题)已知Sn＝2n＋3，则an＝________．解析：因为Sn＝2n＋3，那么当n＝1时，a1＝S1＝21＋3＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于a1＝5不满足(*)式，所以an＝答案：授课提示：对应学生用书第103页题型一　由an与Sn的关系求通项公式　　1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1（n∈N＋），则an＝________．解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1．因此an＝答案：2．已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式为an＝________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，所以a1＝1．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，所以＝－，所以数列{an}为首项a1＝1，公比q＝－的等比数列，故an＝．答案：3．已知各项均为正数的数列{bn}的首项为1，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋（n≥2），求数列{bn}的通项公式．解析：因为Sn－Sn－1＝＋（n≥2），所以（＋）（－）＝＋（n≥2）．又＞0，所以－＝1（n≥2），又＝1，所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列．所以＝1＋（n－1）×1＝n，故Sn＝n2．当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2＝2n－1．当n＝1时，b1＝1符合上式，所以bn＝2n－1（n∈N＋）．1．已知Sn求an的三个步骤（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式；（3）注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．2．Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解．题型二　由递推关系求数列的通项公式　　考法（一）　累加法[例1]　设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1（n∈N＋），求数列{an}的通项公式．[解析]　由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n（n≥2）．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝．又因为a1＝1，所以an＝（n≥2）．因为当n＝1时也满足上式，所以an＝（n∈N＋）．根据形如an＋1＝an＋f（n）（f（n）是可以求和的）的递推公式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式．考法（二）　累乘法[例2]　在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1（n≥2），求数列{an}的通项公式．[解析]　因为an＝an－1（n≥2），所以an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1．以上（n－1）个式子相乘得an＝a1···…·＝＝．当n＝1时，a1＝1，上式也成立．所以an＝（n∈N＋）．根据形如an＋1＝an·f（n）（f（n）是可以求积的）的递推公式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，进而得到an的通项公式．考法（三）　构造法[例3]　（1）已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝（n∈N＋），求an＝________．（2）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．[解析]　（1）因为an＋1＝，所以－＝．因为a1＝2，即＝，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以＝＋（n－1）×＝，故an＝．（2）因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3（an＋1），所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列且公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1（n∈N＋）．[答案]　（1）　（2）见解析1．形如an＋1＝（p，q，r是常数）的数列，将其变形为＝·＋．若p＝r，则是等差数列，且公差为，即可用公式求通项．2．根据形如an＋1＝pan＋q的递推关系式求通项公式时，一般先构造公比为p的等比数列{an＋x}，即将原递推关系式化为an＋1＋x＝p（an＋x）的形式，再求出数列{an＋x}的通项公式，最后求{an}的通项公式．[对点训练]　根据下列条件，求解数列{an}的通项公式．（1）a1＝2，an＋1＝an＋ln；（2）a1＝，an＝an－1（n≥2）；（3）a1＝，an＋1＝an＋；（4）a1＝1，an＝．解析：（1）因为an＋1＝an＋ln，所以an＋1－an＝ln，所以an－an－1＝ln（n≥2），an－1－an－2＝ln，…，a2－a1＝ln．所以an－a1＝ln＋ln＋…＋ln＝ln n（n≥2），即an＝ln n＋2（n≥2）．又a1＝2，适合此等式．所以an＝ln n＋2．（2）因为an＝an－1（n≥2），所以当n≥2时，＝，所以＝，…，＝，＝，以上n－1个式子相乘得··…··＝··…··，即＝··2·1，所以an＝．当n＝1时，a1＝＝，也与已知a1＝相符，所以数列{an}的通项公式为an＝．（3）在an＋1＝an＋两边分别乘以2n＋1，得2n＋1·an＋1＝（2n·an）＋1．令bn＝2n·an，则bn＋1＝bn＋1，根据待定系数法，得bn＋1－3＝（bn－3）．所以数列{bn－3}是首项为b1－3＝2×－3＝－，公比为的等比数列．所以bn－3＝－·，即bn＝3－2．于是，an＝＝3－2．（4）取倒数，得＝＝3＋．所以是等差数列，＝＋3（n－1）＝1＋3（n－1）⇒an＝．　数列性质应用中的核心素养逻辑推理——数列性质的创新应用[例]　若存在常数k（k∈N＋，k≥2），q，d，使得无穷数列{an}满足an＋1＝则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k，q，d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”，若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1，3，0，3，则b2 019＝（　　）A．3　　　 B．4　　　　C．5　　　 D．6[解析]　法一：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1，3，0，3，∴b2 017＝0×b2 016＝0，∴b2 018＝b2 017＋3＝3，∴b2 019＝b2 018＋3＝6．故选D．法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1，3，0，3，∴b1＝1，b2＝4，b3＝7，b4＝0×b3＝0，b5＝b4＋3＝3，b6＝b5＋3＝6，b7＝0×b6＝0，…，∴当n≥4时，{bn}是周期为3的周期数列．∴b2 019＝b6＝6．故选D．[答案]　D1．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．2．求解数列新定义问题关键是抓住信息条件，转化求解．[对点训练]若数列{an}满足a2－a1＜a3－a2＜…＜an－an－1＜…，则称数列{an}为“差半递增”数列．若数列{an}为“差半递增”数列，且其通项an与前n项和Sn满足Sn＝2an＋2t－1（n∈N＋），则实数t的取值范围是________．解析：由题知，Sn＝2an＋2t－1　①，当n＝1时，a1＝2a1＋2t－1，得a1＝1－2t；当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋2t－1　②，①－②并化简，得an＝2an－1，故数列{an}是以a1＝1－2t为首项，2为公比的等比数列，则an＝（1－2t）·2n－1，所以an－an－1＝（1－2t）·2n－1－·（1－2t）·2n－2＝（3－6t）·2n－3，因为数列{an}为“差半递增”数列，所以3－6t＞0，解得t＜．答案：