2022届高考数学一轮复习第五章数列5.3等比数列及其前n项和学案理含解析北师大版

这是一份2022届高考数学一轮复习第五章数列5.3等比数列及其前n项和学案理含解析北师大版，共9页。
第三节　等比数列及其前n项和命题分析预测学科核心素养本节是高考的考查热点，主要考查等比数列的基本运算和性质，等比数列的通项公式和前n项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题．本节通过等比数列通项公式及其前n项和公式、等比数列性质的应用，考查对函数与方程、转化与化归和分类讨论思想的应用，提升考生的数学运算和逻辑推理核心素养．授课提示：对应学生用书第109页知识点一　等比数列的概念及通项1．等比数列的概念（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q（q≠0）表示．数学语言表达式：＝q（n≥2，q为非零常数），或＝q（n∈N＋，q为非零常数）．（2）如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±Ｗ．2．等比数列的通项公式及前n项和公式（1）若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m．（2）等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝．• 温馨提醒 •1．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．2．等比数列{an}中任何一项an≠0．1．已知数列{an}是等比数列，且a1＝，a4＝－1，则{an}的公比q为（　　）A．2　　　　　　　 B．－C．－2  D．解析：由＝q3＝－8得q＝－2．答案：C2．（易错题）已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则x的值为________．解析：因为x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，所以（2x＋2）2＝x（3x＋3），即x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4．当x＝－1时，数列的前三项为－1，0，0，不是等比数列，舍去．答案：－43．（易错题）设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q＝________．解析：当q≠1时，由题意，＝3a1q2，即1－q3＝3q2－3q3，整理得2q3－3q2＋1＝0，解得q＝－．当q＝1时，S3＝3a3，显然成立．故q＝－或1．答案：－或1知识点二　等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．（1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N＋），则有ak·al＝am·an．（2）等比数列{an}的单调性：当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；当q＝1时，数列{an}是常数列．• 温馨提醒 •1．相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 qm．2．若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．3．当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn．1．等比数列{an}各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（　　）A．12  B．10C．8  D．2＋log35解析：∵数列{an}为等比数列，∴a5a6＋a4a7＝2a1a10＝18，a1a10＝9，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3（a1a2…a10）＝log3（a1a10）5＝5log39＝10．答案：B2．在3与192中间插入两个数使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．解析：设该数列的公比为q，由题意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4．所以插入的两个数分别为3×4＝12，12×4＝48．答案：12，483．等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则{an}的通项公式an＝________．解析：因为＝，所以＝－，因为S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，所以q5＝－，q＝－，则an＝－1×＝－．答案：－授课提示：对应学生用书第110页题型一　等比数列的基本问题　　1．（2021·菏泽模拟）在等比数列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为（　　）A．2  B．－C．  D．－或解析：设等比数列{an}的公比为q，由a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，可得a2a16＝2，即aq16＝2，即a＝2，则＝a9＝±．答案：D2．（2021·郑州模拟）已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4（a4－1），则a2＝（　　）A．2  B．1  C．  D．解析：法一：因为a3a5＝a，a3a5＝4（a4－1），所以a＝4（a4－1），所以a－4a4＋4＝0，所以a4＝2．又因为q3＝＝＝8，所以q＝2，所以a2＝a1q＝×2＝．法二：因为a3a5＝4（a4－1），所以a1q2·a1q4＝4（a1q3－1），将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，解得q＝2，所以a2＝a1q＝．答案：C3．（2021·贵阳第一学期检测）设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，a1＋a2＝4，a3－a2＝6．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若对任意的n∈N＋，kan，Sn，－1都成等差数列，求实数k的值．解析：（1）∵a1＋a2＝4，a3－a2＝6，∴∵q＞0，∴q＝3，a1＝1．∴an＝1×3n－1＝3n－1，故数列{an}的通项公式为an＝3n－1．（2）由（1）知an＝3n－1，Sn＝＝，∵kan，Sn，－1成等差数列，∴2Sn＝kan－1，即2×＝k×3n－1－1，解得k＝3．1．解决等比数列有关问题的常用思想方法（1）方程思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求关键量a1和q，问题可迎刃而解．（2）分类讨论思想等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝．2．在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N＋），则有aman＝apaq”，则可减少运算量，解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．题型二　等比数列的判定及应用　　[例]　已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝（n∈N＋）．（1）证明：数列是等比数列；（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn．[解析]　（1）证明：因为an＋1＝，所以＝＝＋，所以－＝，又a1＝1，所以－＝，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知－＝·＝，即＝＋，所以bn＝＝＋，设Tn＝＋＋＋…＋　①，则Tn＝＋＋…＋＋　②，由①－②得，Tn＝＋＋…＋－＝－＝1－－，所以Tn＝2－－，又×（1＋2＋3＋…＋n）＝，所以数列{bn}的前n项和Sn＝2－＋．掌握等比数列的四种常用判定方法 定义法若＝q（q为非零常数，n∈N＋）或＝q（q为非零常数且n≥2，n∈N＋），则{an}是等比数列中项公式法若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2（n∈N＋），则数列{an}是等比数列通项公式法若数列通项公式可写成an＝c·qn－1（c，q均是不为0的常数，n∈N＋），则{an}是等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k（k为常数且k≠0，q≠0，1），则{an}是等比数列[对点训练]（2021·六安高三联考）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＞0，S＝a－λSn＋1，其中λ为常数．（1）证明：Sn＋1＝2Sn＋λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{an}为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．解析：（1）证明：因为an＋1＝Sn＋1－Sn，S＝a－λSn＋1，所以S＝（Sn＋1－Sn）2－λSn＋1，所以Sn＋1（Sn＋1－2Sn－λ）＝0，因为an＞0，所以Sn＋1＞0，所以Sn＋1－2Sn－λ＝0，所以Sn＋1＝2Sn＋λ．（2）存在．因为Sn＋1＝2Sn＋λ，所以Sn＝2Sn－1＋λ（n≥2），相减得an＋1＝2an（n≥2），所以{an}从第二项起成等比数列，因为S2＝2S1＋λ，即a2＋a1＝2a1＋λ，所以a2＝1＋λ＞0，得λ＞－1，所以an＝若使{an}是等比数列，则a1a3＝a，所以2（λ＋1）＝（λ＋1）2，所以λ＝1，经检验，符合题意．故存在实数λ，使得数列{an}为等比数列，λ的值为1．题型三　等差数列、等比数列的综合问题　　[例]　已知数列{an}为公差不为零的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn＝2an，求数列{an＋bn}的前n项和Tn．[解析]　（1）设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a3，a7成等比数列，所以a＝a1a7，即（a1＋2d）2＝a1（a1＋6d），又a1＝2，所以d＝1或d＝0（舍），所以an＝n＋1．（2）数列{an}的前n项和＝＝n2＋n．又bn＝2an＝2n＋1，所以数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列，所以数列{bn}的前n项和＝＝2n＋2－4．所以数列{an＋bn}的前n项和Tn＝n2＋n＋2n＋2－4．数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化．[对点训练]各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：对任意的正整数n，都有an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）若a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an，bn．解析：（1）证明：∵bn，an＋1，bn＋1成等比数列，且an＞0，bn＞0，∴a＝bnbn＋1，∴an＋1＝．∵an，bn，an＋1成等差数列，∴2bn＝an＋an＋1，2bn＋1＝an＋1＋an＋2＝＋．∴2＝＋．∴{}是等差数列．（2）∵a1＝1，b1＝2，a2＝3，∴b2＝，＝，∴－＝，∴＝（n＋1），∴bn＝（n＋1）2，an＋1＝（n＋1）（n＋2），则an＝n（n＋1），显然a1＝1也满足上式，故an＝n（n＋1），bn＝（n＋1）2．　等比数列应用中的核心素养数学建模——等比数列的实际应用[例]　（2021·衡阳模拟）中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题．今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟（单位：升）为（　　）A．　　　　　　　 B．C．  D．[解析]　5斗＝50升．设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，解得a1＝，所以马主人应偿还粟的量为a2＝2a1＝．[答案]　D以数学文化为背景的等比数列模型题的求解关键：一是会透过数学文化的“表象”看“本质”；二是构建模型，即盯准题眼，构建等比数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等比数列的相关问题，如求指定项、公比或项数、通项公式或前n项和等．[对点训练] “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（　　）A．f　　 B．f　　　C．f　　 D．f解析：由题意知，十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，设该等比数列为{an}，则a8＝a1q7，即a8＝f．答案：D