2022届高考数学一轮复习第六章不等式6.2二元一次不等式组与简单的线性规划问题学案理含解析北师大版

第二节　二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

授课提示：对应学生用书第123页

知识点　简单的线性规划

1．二元一次不等式（组）表示的平面区域

2．线性规划中的基本概念

• 温馨提醒 •

1．画平面区域时避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为Ax＋By＋C＞0（A＞0）的形式．

2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．

1．不等式组表示的平面区域是（　　）

答案：B

2．（易错题）已知x，y满足若使得z＝ax＋y取最大值的点（x，y）有无数个，则a的值为（　　）

A．－1　　　　　　　 B．1

C．2  D．－2

解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点（x，y）有无数个，所以－a＝kAB＝1，所以a＝－1．

答案：A

3．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为　　________．（用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨）

解析：用表格列出各数据

所以不难看出，x≥0，y≥0，200x＋300y≤1 400，200x＋100y≤900．

答案：

授课提示：对应学生用书第124页

题型一　二元一次不等式（组）表示的平面区域　　

1．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（　　）

A．　　　　　　 B．

C．  D．2

解析：作出不等式组表示的平面区域是以点O（0，0），B（－2，0）和A（1，）为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分（含边界），由图知该平面区域的面积为×2×＝．

答案：B

2．已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为（　　）

A．1  B．－1

C．0  D．－2

解析：由于x＝1与x＋y－4＝0不可能垂直，所以只有可能x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直或x＝1与kx－y＝0垂直．①当x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直时，k＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求；②当x＝1与kx－y＝0垂直时，k＝0，检验不符合要求．综上，实数k的值为1．

答案：A

3．已知直线y＝kx－3经过不等式组所表示的平面区域，则实数k的取值范围是（　　）

A．

B．∪

C．

D．∪

解析：画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，直线y＝kx－3过定点M（0，－3），由解得A（－2，4），当直线y＝kx－3过点A时，k＝＝－；由解得B（2，0），当直线y＝kx－3过点B时，k＝＝．由图形知，实数k的取值范围是∪．

答案：B

根据平面区域确定参数的方法

在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．

题型二　目标函数的最值及应用　　

考法（一）　求线性目标函数的最值

[例1]　（2020·高考全国卷Ⅰ）若x，y满足约束条件则z＝x＋7y的最大值为________．

[解析]　画出可行域如图阴影部分所示．由z＝x＋7y得y＝－x＋z．平移直线l0：y＝－x，可知当直线y＝－x＋z过点A时z最大．

由得

即A（1，0）

∴zmax＝1＋7×0＝1．

[答案]　1

求目标函数最值的三步骤

（1）作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线．

（2）平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置．

（3）求值——解方程组求出对应点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．

考法（二）　求非线性目标函数的最值

[例2]　（1）设实数x，y满足则u＝的取值范围是（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．  D．

（2）（2021·安徽马鞍山模拟）已知实数x，y满足则x2＋y2的最大值与最小值之和为（　　）

A．5  B．

C．6  D．7

[解析]　（1）在坐标平面上点（x，y）所表示的区域如图所示，根据几何意义，u的值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然kOA最小，kOB最大．

由得点A（3，1），由得点B（1，2），

故≤u≤2．

（2）作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，x2＋y2的几何意义是原点O到可行域内点的距离的平方，由图可知，O到直线x＋y－1＝0的距离最小，为．

可行域内的点B与坐标原点的距离最大，为＝．

所以x2＋y2的最大值与最小值之和为5＋＝．

[答案]　（1）A　（2）B

常见的两种非线性目标函数及其几何意义

（1）点到点的距离型：形如z＝（x－a）2＋（y－b）2，表示区域内的动点（x，y）与定点（a，b）的距离的平方．

（2）斜率型：形如z＝，表示区域内的动点（x，y）与定点（a，b）连线的斜率．

考法（三）　线性规划中的参数问题

[例3]　若x，y满足约束条件若z＝2x－3y的最大值为9，则正实数m的值为________．

[解析]　作出x，y满足约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，

由图可知z＝2x－3y在点A处取得最大值，

由解得A（3，m－3），

由zmax＝2×3－3（m－3）＝9，解得m＝2．

[答案]　2

求解线性规划中含参数问题的基本方法

（1）把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．

（2）先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．

考法（四）　线性规划的实际应用

[例4]　为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过1 200元的资金购买单价分别为90元、120元的排球和篮球．根据需要，排球至少买3个，篮球至少买2个，并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是________．

[解析]　设买排球x个，篮球y个，买排球和篮球的个数之和z＝x＋y．

则即

由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示．

联立解得A（8，4），化目标函数z＝x＋y为y＝－x＋z，由图可知，当直线y＝－x＋z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值，此时z＝8＋4＝12．

[答案]　12

解答线性规划实际问题的三步骤

（1）根据题意设出变量，找出约束条件和目标函数．

（2）准确作出可行域，求出最优解．

（3）将求解出来的结论反馈到实际问题当中，设计最佳方案．

[题组突破]

1．（2021·石家庄市高三模拟）已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为（　　）

A．－3　　　　　　　 B．

C．3  D．4

解析：画出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线过点B时，z＝2x＋y取得最大值．

由得所以B（2，－1），故zmax＝2×2－1＝3．

答案：C

2．若x，y满足且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为（　　）

A．  B．

C．1  D．2

解析：若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－2与3x－2y＋2＝0和x＋y＝1分别交于A（2，4），B，直线mx－y＝0经过其中一点，所以m＝2或m＝．当m＝时，经检验不符合题意，舍去，故m＝2．

答案：D

3．某届冬奥会中国运动健儿发挥稳定，向世界展现了良好的精神风貌．在饮食方面，每天的中餐主办方向运动员提供A和B两种套餐．已知一个单位的A套餐含有6个单位的蛋白质、6个单位的碳水化合物和12个单位的维生素；一个单位的B套餐含有12个单位的蛋白质、6个单位的碳水化合物和6个单位的维生素．另外，营养师分析：一位运动员每天的中餐需要的营养中至少含有60个单位的蛋白质、42个单位的碳水化合物、54个单位的维生素．若每单位A，B套餐所需费用分别为4元和3元，则在满足上述营养的要求下，每位运动员每天的中餐至少花费　　　　元．

解析：设每位运动员食用x个单位的A套餐，食用y个单位的B套餐，每天中餐的花费为z元，根据题意，得到约束条件

化简得目标函数z＝4x＋3y．作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知目标函数z＝4x＋3y在A（2，5）处取得最小值，所以zmin＝4×2＋3×5＝23，故每位运动员每天的中餐至少花费23元．

答案：23

　线性规划应用中的核心素养

直观想象——线性规划的创新交汇问题

[例]　已知不等式组表示的平面区域为Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2＋y2＝1的两条切线且切点分别为A，B，当∠APB最大时，·的值为（　　）

A．2　　　　　　　 B．

C．  D．3

[解析]　作出平面区域Ω如图中阴影部分所示，当∠APB最大时，∠APO最大，sin∠APO＝＝最大，故|OP|最小，易知|OP|的最小值为点O到直线x＋y－2＝0的距离d，且d＝2，故sin∠APO ≤，当等号成立时，∠APB＝2∠APO＝60°，且|PA|＝|PB|＝，此时·＝||·||·cos∠APB＝．

[答案]　B

求解此类问题的关键是利用转化思想与数形结合思想进行求解．

[对点训练]

已知实数x，y满足设向量a＝（y－2x，m），b＝（1，－1），若a∥b，则m的最大值为（　　）

A．－6  B．6

C．1  D．－1

解析：因为a＝（y－2x，m），b＝（1，－1），a∥b，所以m＝2x－y，作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x－y＝0，并平移，结合图像易知，m＝2x－y取得最大值的最优解为（4，2），所以m的最大值为6．

答案：B