2022届高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.9第3课时定点定值探索性问题学案理含解析北师大版

第三课时　定点、定值、探索性问题

授课提示：对应学生用书第197页

题型一　圆锥曲线中的定点问题　　

[例]　（2020·高考全国卷Ⅰ）已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1（a＞1）的左，右顶点，G为E的上顶点，·＝8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点．

[解析]　（1）由题设得A（－a，0），B（a，0），G（0，1）．

则＝（a，1），＝（a，－1）．由·＝8，得a2－1＝8，即a＝3．所以E的方程为＋y2＝1．

（2）证明：设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）．

若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3＜n＜3．

由于直线PA的方程为y＝（x＋3），所以y1＝（x1＋3）．

直线PB的方程为y＝（x－3），所以y2＝（x2－3）．

可得3y1（x2－3）＝y2（x1＋3）．

由于＋y＝1，故y＝－，

可得27y1y2＝－（x1＋3）（x2＋3），

即（27＋m2）y1y2＋m（n＋3）（y1＋y2）＋（n＋3）2＝0．①

将x＝my＋n代入＋y2＝1得（m2＋9）y2＋2mny＋n2－9＝0．

所以y1＋y2＝－，y1y2＝．

代入①式得（27＋m2）（n2－9）－2m（n＋3）mn＋（n＋3）2·（m2＋9）＝0．

解得n＝－3（舍去）或n＝．

故直线CD的方程为x＝my＋，

即直线CD过定点．

若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点．

综上，直线CD过定点．

[对点训练]

（2021·武汉模拟）过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8．

（1）求直线l的方程；

（2）若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标．

解析：（1）由y2＝4x知焦点F的坐标为（1，0），则直线l的方程为y＝k（x－1），

代入抛物线方程y2＝4x，得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，

由题意知k≠0，

且Δ＝[－（2k2＋4）]2－4k2·k2＝16（k2＋1）＞0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝1．

由抛物线的弦长公式知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，则＝6，

即k2＝1，解得k＝±1．

所以直线l的方程为y＝±（x－1）．

（2）证明：由（1）及抛物线的对称性知，D点的坐标为（x1，－y1），

直线BD的斜率kBD＝＝＝，

所以直线BD的方程为y＋y1＝（x－x1），

即（y2－y1）y＋y2y1－y＝4x－4x1．

因为y＝4x1，y＝4x2，x1x2＝1，

所以（y1y2）2＝16x1x2＝16，

即y1y2＝－4（y1，y2异号）．

所以直线BD的方程为4（x＋1）＋（y1－y2）y＝0，

对任意y1，y2∈R，有

解得即直线BD恒过定点（－1，0）．

题型二　圆锥曲线中的定值问题　　

[例]　（2021·驻马店模拟）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，且椭圆C的离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求证：＋为定值．

[解析]　（1）由题意可知2b＝2，b＝1，

又椭圆的离心率为，则a＝，

故椭圆C的方程为＋x2＝1．

（2）证明：当直线AB的斜率不存在或为零时，＋＝．

当直线AB的斜率存在且不为零时，

设直线AB的方程为y＝kx＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），

由消y得（k2＋2）x2＋2kx－1＝0，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，

∴|AB|＝＝，

同理可得，|CD|＝，

∴＋＝＋

＝＝．

[对点训练]

在直角坐标系xOy中，已知椭圆E的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆内一点M（1，3）的直线与椭圆E交于不同的A，B两点，交直线y＝－x于点N，若＝m，＝n，求证：m＋n为定值，并求出此定值．

解析：（1）由已知得，2a＝8，a＝2c，则a＝4，c＝2，

又b2＝a2－c2，∴b2＝12，

∴椭圆的标准方程为＋＝1．

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，－x0），

由＝m，

得＝m（1－x1，3－y1），

∴x1＝，y1＝，

∴A．

∵点A在椭圆＋＝1上，

∴＋＝1，

得到9m2＋96m＋48－x＝0；

同理，由＝n，可得9n2＋96n＋48－x＝0．

∴m，n可看作是关于x的方程9x2＋96x＋48－x＝0的两个根，

则m＋n＝－为定值．

题型三　圆锥曲线中的存在性问题　　

[例]　已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x＋y－2＝0相切．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同的交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

[解析]　（1）由椭圆的离心率e＝，得＝＝，得b＝c．

上顶点为（0，b），右焦点为（b，0），

以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为＋＝＝．圆心为，半径为b，

∴＝b，即|b－2|＝b，得b＝c＝1，a＝，

∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1．

（2）不存在．理由如下：设直线的方程为y＝2x＋t，M（x1，y1），N（x2，y2），P，Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），

由消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，

所以y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36（t2－8）＞0，

故y0＝＝，且－3＜t＜3．

由＝，得＝（x4－x2，y4－y2），

所以y1－＝y4－y2，y4＝y1＋y2－＝t－，

（也可由＝知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的中点，所以y0＝＝，可得y4＝．）

又－3＜t＜3，所以－＜y4＜－1，

与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾．故不存在斜率为2的直线满足条件．

　求解存在性问题的思路及策略

（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．

（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；

②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．

[对点训练]

（2021·惠州调研）已知定点A（－3，0），B（3，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－，记动点M的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）过点T（1，0）的直线l与曲线C交于P，Q两点，是否存在定点S（x0，0），使得直线SP与SQ斜率之积为定值？若存在，求出S的坐标；若不存在，请说明理由．

解析：（1）设动点M（x，y），则直线MA的斜率kMA＝（x≠－3），

直线MB的斜率kMB＝（x≠3）．

因为kMA·kMB＝－，所以·＝－，

化简得＋y2＝1，

又x≠±3，所以曲线C的方程为＋y2＝1（x≠±3）．

（2）由题意得直线l的斜率不为0，根据直线l过点T（1，0），可设直线l的方程为x＝my＋1，

联立消去x得（m2＋9）y2＋2my－8＝0．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

直线SP与SQ的斜率分别为kSP＝＝，kSQ＝＝，

kSP·kSQ＝

＝，

当x0＝3时，任意m∈R，kSP·kSQ＝＝－；

当x0＝－3时，任意m∈R，kSP·kSQ＝＝－．

所以存在定点S（±3，0），使得直线SP与SQ斜率之积为定值．