2021届甘肃省高三理数第一次高考诊断试题及答案

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这是一份2021届甘肃省高三理数第一次高考诊断试题及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三理数第一次高考诊断试卷
一、单项选择题
1.集合，，那么〔   〕
A.                            B.                            C.                            D.
2.假设复数满足，那么的共轭复数是〔   〕
A.                             B.                             C.                             D.
3.抛物线的准线经过椭圆的右焦点，那么〔   〕
A. 2                                           B. 4                                           C. 8                                           D. 12
4.甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10次，中靶环数情况如下列图．那么甲、乙两人中靶环数的方差分别为〔   〕

A. 7，7                               B. 7，1.2                               C. 1.1，2.3
5.函数，那么〔   〕
A. 是奇函数，且在单调递减
B. 是奇函数，且在单调递增
C. 是偶函数，且在单调递减
D. 是偶函数，且在单调递增
6. ，表示两条不同直线，，表示两个不同平面．设有四个命题：：假设，，那么；：假设，，那么；：假设，，那么；：假设，，那么．那么以下复合命题中为真命题的是〔   〕
A.                              B.                              C.                              D.
7.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．假设将如下列图的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一局部，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为〔   〕

A.                          B.                          C.                          D.
8. 是第四象限角，且，那么〔   〕
A.                                   B.                                   C.                                   D.
9.圆上任意一点到直线的距离大于的概率为〔   〕
A.                                           B.                                           C.                                           D.
10.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器〞，是古人用于祭祀神祇的一种礼器．?周礼?中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地〞等文．如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径，外径，筒高，方高，那么其体积约为〔单位：〕〔   〕

A.              B.              C.              D.
11.在中，，，那么的面积的最大值为〔   〕
A.                                         B. 1                                        C.                                         D.
12.设实数，假设对任意的，不等式恒成立，那么的最小值为〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D.
二、填空题
13.设，，，那么，，的大小关系是________．〔按照从大到小的顺序排列〕
14.向量与向量夹角为，且，，要使与垂直，那么 ________．
15.展开式中的系数为________．
16.函数，，有以下命题：
① 的表达式可改写为；
②直线是函数图象的一条对称轴；
③函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到；
④满足的的取值范围是．
其中正确的命题序号是________．〔注：把你认为正确的命题序号都填上〕
三、解答题
17.数列的前项和为，且，．
〔1〕求；
〔2〕设，求使得成立的最小正整数．
18.2021年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了?关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见?，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳总分值20分．学校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其成绩均在间，并得到如下列图频率分布直方图，计分规那么如下表：
一分钟跳绳个数

得分
16
17
18
19
20

〔1〕补全频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计样本中位数；
〔2〕假设两人可组成一个小队，并且两人得分之和小于35分，那么称该小队为“潜力队〞，用频率估计概率，求从进行测试的100名学生中任意选取2人，恰好选到“潜力队〞的概率．
19.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，平面平面，为棱上一点．

〔1〕在平面内能否作一条直线与平面垂直？假设能，请画出直线并加以证明；假设不能，请说明理由；
〔2〕假设时，求直线与平面所成角的正弦值．
20.椭圆的焦距为，且经过点．
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕设椭圆上存在两点，，使得的斜率与的斜率之和为-1，直线是否过定点？假设是，求出定点的坐标；假设不是，说明理由．
21.函数．
〔1〕求函数的单调区间；
〔2〕设函数，假设在上有两个零点，求实数的取值范围．
22.在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线的方程为：〔其中为参数〕．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：．
〔1〕将直线的方程化为普通方程，曲线的方程化为直角坐标方程；
〔2〕假设直线过点且交曲线于，两点，设线段的中点为，求．
23.函数，．
〔1〕假设，，解不等式；
〔2〕当，时，的最大值是，证明：．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为，，
所以，
故答案为：A

【分析】求出A的范围，求出A，B的交集即可．
2.【解析】【解答】因为，
所以，
所以，
故答案为：C

【分析】先求出z，再求出的共轭复数即可。
3.【解析】【解答】抛物线的准线方程是，椭圆的右焦点是，
因为抛物线的准线经过椭圆的右焦点，
所以p=4，
故答案为：B

【分析】先求出椭圆的右焦点是，由此能求出p．
4.【解析】【解答】实线的数字为：，
虚线的数字为：，
所以，
,

.
故答案为：D

【分析】根据平均数，方差的公式，计算即可。
5.【解析】【解答】因为， ,定义域关于原点对称，
且，
所以是偶函数，
当时，，
所以在单调递增，
故答案为：D

【分析】根据奇偶性的定义即可判断奇偶性，然后结合指数函数的性质可判断单调性．
6.【解析】【解答】：假设，，那么是假命题，例如也可能，故是真命题；
：假设，，那么，根据线面垂直的性质定理即线面平行的性质定理知是真命题；
：假设，，那么是假命题，例如可以；
：假设，，那么是假命题，也可能相交.
所以，，是假命题，是真命题，
故答案为：C

【分析】：m与n相交、平行或异面；：由线面垂直的性质定理得m⊥n；：由线面垂直的性质定理得m⊥n；：m与n相交、平行或异面．
7.【解析】【解答】因为，
所以下焦点为，渐近线方程为，即，
那么下焦点到的距离为，
又因为，
解得，即，
所以渐近线方程为：
故答案为：B

【分析】利用条件求出，即可求解双曲线的渐近线方程．
8.【解析】【解答】因为是第四象限角，且，
所以，
所以，
所以，
故答案为：D

【分析】由利用同角三角函数根本关系式可求sinα的值，利用正弦、余弦的二倍角公式及两角和差的余弦。
9.【解析】【解答】设圆心为，圆心到直线的距离，
如图，

取，过做交圆于，可知满足条件的点在劣弧上〔不包括A，B〕，
在中， ,
所以，，即 ,
因为符合条件的点所在弧长所对圆心角为，
由几何概型可知 ,
故答案为：C
【分析】设圆心为，圆心到直线的距离，取，过做交圆于，可知满足条件的点在劣弧上〔不包括A，B〕，由几何概型可知。
10.【解析】【解答】由图可知，组合体由圆柱、长方体构成，
组合体的体积为，
故答案为：D

【分析】由图可知，组合体由圆柱、长方体构成，根据圆柱的体积公式即可求出答案。
11.【解析】【解答】由余弦定理，，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，
故答案为：D

【分析】根据余弦定理及面积公式即可求出答案。
12.【解析】【解答】解：由题意得，设，，
可得与互为反函数，且与的图像关于对称，
所以函数〔或〕的图像与直线相切时的值是不等式恒成立时的最小值，设函数与直线相切的切点为，
可得可得，同时对求导可得：，可得，联立可得，解得：，
那么的最小值为，
故答案为：A.

【分析】设，，可得与互为反函数，且与的图像关于对称，可得不等式恒成立，只需不等式恒成立，运用参数别离和构造函数，求得导数和单调性、最值，可得t的范围．
二、填空题
13.【解析】【解答】 ,
,
而，，
所以b＞a＞c，
故答案为：b＞a＞c

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
14.【解析】【解答】解：因为与垂直，
那么，
解得 .
故答案为： .

【分析】将向量与垂直的关系转化为内积为零，代入两向量的模与夹角，即可得到参数λ的方程，解方程求值。
15.【解析】【解答】由多项式乘法及二项展开式的通项可知，含的项分别为，，，，
合并同类项，那么含的项为，
所以系数为24.
故答案为：24.

【分析】写出的展开式的通项，令x的指数等于3和1，即得展开式中的系数。
16.【解析】【解答】，故①正确；
当时，，故②错误；
因为函数的图象向右平移个单位长度得到，
而 ,故③错误；
由可得，解得，
所以 ,解得，故④正确.
故答案为：①④

【分析】根据对称轴的定义可得f〔x〕的图象关于直线对称，故①正确；y=2sin2x的图象向右平移个单位得到故②不正确；求出函数的对称中心判定③不正确；求出函数的增区间判定④正确；求出函数的周期判断⑤不正确；由,知⑥不正确．
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕利用数列的递推关系式，推出数列是等比数列，然后求解即可;
〔2〕化简数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和，结合不等式推出n的范围，然后求解即可．
18.【解析】【分析】〔1〕求出第一、二两组的频率，第三组的频率，所以中位数落在第三组，由此能求出笔试成绩的中位数；
〔2〕根据频率分布直方图，一分钟跳绳个数在  那么可得16分，而且这些事件的可能性相同，其中“潜力队〞的两人构成有4种情况，分别得分之和为  ，  ，  ，  ．那么即可求得恰好选到“潜力队〞的概率。
19.【解析】【分析】〔1〕过  作  ，交棱  于  ，  为所求作的直线，根据面面垂直的性质可证得平面；
〔2〕取  中点  ，  中点  ，连接  ，那么  平面  ，以  为坐标原点，  所在直线为  轴，  所在直线为  轴，  所在直线为  轴，建立空间直角坐标系，求出平面  的法向量，设  与平面  所成角为   ，由求出   与平面  所成角的正弦值。

20.【解析】【分析】〔1〕根据点的坐标和离心率，即可求出椭圆的方程；
〔2〕设   ，   ，设直线l：y=kx+m，构造方程组，消元，根据韦达定理，和弦长公式，运用斜率公式，计算化简整理，即k〔x-2〕+〔y+1〕=0，即可求定点．
21.【解析】【分析】〔1〕求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
〔2〕求出g〔x〕的解析式，问题转化为关于x的方程在  上有两个不相等的实数根，令函数   ，  ，根据函数的单调性求出k的范围即可．
22.【解析】【分析】〔1〕：首先由   〔  为参数〕消去参数得普通方程，进一步把极坐标方程
，转化为普通方程；
〔2〕直线  的参数方程为，代入  可得，根据中点坐标公式求出。

23.【解析】【分析】〔1〕通过对x取值范围的讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取并集即可求得不等式的解集；
〔2〕利用绝对值不等式的几何意义及根本不等式可证出。