2021届甘肃省兰州市高三下学期理数诊断试卷及答案

这是一份2021届甘肃省兰州市高三下学期理数诊断试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三下学期理数诊断试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔  〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
2.复数 满足 〔 为虚数单位〕，那么 的虚部为〔  〕
A.                                           B. -1                                          C.                                           D. 1
3.向量 满足 ，且 ，那么 的夹角大小为〔  〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
4.点 为双曲线 右支上一点， 分别是双曲线的左、右焦点，假设 ，那么双曲线的一条渐进方程是〔  〕
A.                       B.                       C.                       D. 
5.2021年9月1日兰州地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有 节车厢，两人进入车厢的方法数共有〔  〕
A. 15种                                    B. 30种                                    C. 36种                                    D. 64种
6.函数 的图象如下列图，那么函数 的图象为〔   〕

A.                   B. 
C.                         D. 
7.?九章算术?卷五?商功?中有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高四丈.〞意思是：今将粟放在平地，谷堆下周长12丈，高4丈.将该谷堆模型看作一个圆锥， 取近似值 ，那么该圆锥外接球的外表积约为〔  〕
A. 55平方丈                         B. 75平方丈                         C. 110平方丈                         D. 150平方丈
8.一组数据 的平均数为 ，现定义这组数据的平均差 .以下列图是甲、乙两组数据的频率分布折线图

根据折线图，判断甲、乙两组数据的平均差 的大小关系是〔  〕
A.                             B.                             C.                             D. 无法确定
9.函数 的一个极值点为1，那么 的最大值为〔  〕
A. 1                                         B.                                          C.                                          D. 
10.以下四个命题：
① 是两条不同的直线， 是一个平面，假设 ，那么 .②命题“ 〞的否认是“ 〞.③函数 的对称中心为 .④函数 为 上的增函数.
其中真命题的个数是〔  〕
A. 0个                                       B. 1个                                       C. 2个                                       D. 3个
11. 是离心率为 的椭圆 外一点，经过点 的光线被 轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，那么此条切线的斜率是〔  〕
A.                                        B.                                        C. 1                                       D. 
12.奇函数 ，当 时， ，那么 的图象与函数 的图象所有交点的横坐标之和等于〔  〕
A. 0                                          B. 9                                          C. 11                                          D. 17
二、填空题
13.“学习强国〞学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台.2021年1月 日，“学习强国〞学习平台在全国上线，某单位组织全体党员登录学习统计学习积分得到的频率分布直方图如下列图.假设学习积分在 〔单位：万分〕的人数是32人，那么该单位共有________名党员，假设学习积分超过2万分的党员可获得“学习达人〞称号，那么该单位有________名党员能获得该称号.

14.假设 满足约束条件 ，那么 的最小值为________．
15.如图，正方体 的棱长为 ，点 在棱 上， ，过 的平面 与平面 平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，那么该截面多边形的周长为________．

16.在 中， ， ，那么 的值为________．
三、解答题
17. 为等差数列 的前 项和， ， .
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕假设 ，求数列 的前 项和 .
18.在三棱锥 中， 是 的中点， ， .

〔1〕证明： 平面 ；
〔2〕假设 ，求二面角 的余弦值.
19.2021年1月15日教育部制定出台了?关于在局部高校开展根底学科招生改革试点工作的意见?〔 也称“强基方案〞〕，?意见?宣布：2021年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基方案.强基方案上要选拔培养有志于效劳国家重大战略需求且综合素质优秀或根底学科拔尖的学生.据悉强基方案的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.假设某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为 ，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为 ，其中 .
〔1〕假设 ，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
〔2〕强基方案规定每名考生只能报考一所试点高校，假设以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求 的范围.
20.抛物线 及点 .
〔1〕以抛物线焦点 为圆心， 为半径作圆，求圆 与抛物线交点的横坐标；
〔2〕、 是抛物线上不同的两点，且直线 与 轴不垂直，弦 的垂直平分线恰好经过点 ，求 的范围.
21. .
〔1〕判断函数 是否存在极值，并说明理由；
〔2〕求证：当 时， 在 恒成立.
22.在平面直角坐标系 中，双曲线 的参数方程为 〔 为参数〕.以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
〔1〕假设 ，设双曲线 的一条渐近线与 相交于 两点，求 ；
〔2〕假设 ，分别在 与 上任取点 和 ，求 的最小值.
23.函数 .

〔1〕当 时，画出函数 的图象：
〔2〕当 时， 恒成立，求 的范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 ，

故答案为：A

【分析】 可求出集合N，然后进行交集的运算即可．
2.【解析】【解答】 ，所以 ，
那么 的虚部是-1.
故答案为：B

【分析】首先利用除法法那么化简 ，   再求的虚部。
3.【解析】【解答】 ， ，解得： ，即 ，
，
所以 和 的夹角大小为 .
故答案为：A

【分析】 根据   求出m，再代入夹角计算公式即可．
4.【解析】【解答】由题意，点 为双曲线右支上一点， 分别是双曲线的左、右焦点，
因为 ，由双曲线的定义，可得 ，解得 ，
所以双曲线的一条渐进方程是 ，即 .
所以双曲线的一条渐进方程是 .
故答案为：C.

【分析】 由利用双曲线定义求得a，即可求得双曲线的渐近线方程．
5.【解析】【解答】每位同学都可以进入地铁中的任何一节车厢，每个人都有6种方法，所以两人进入车厢的方法数共有 种方法.
故答案为：C

【分析】 根据题意，依次分析两位同学进入车厢的方法，由分步计数原理计算可得答案．
6.【解析】【解答】将函数 的图象作以 轴为对称轴的翻折变换，得到函数 的图象，再将图象向右平移一个单位，即可得到函数 的图象．
故答案为：D．

【分析】根据函数的对称变化和平移变换即可解出。
7.【解析】【解答】如下列图，结合题意绘出图像：

因为谷堆下周长12丈， 取近似值3，所以圆锥底面半径 丈，
谷堆高4丈，即 丈,
设球的半径 丈，那么 丈， 丈，
，解得 ，
该圆锥外接球的外表积约为 平方丈，
故答案为：B.

【分析】 根据谷堆下周长12丈可求出底面圆的半径，设外接球的半径为R，利用勾股定理求出R，最后利用球的外表积公式进行求解即可．
8.【解析】【解答】由给定的平均差公式可知：数据越集中于平均值附近，平均差越小.
甲乙两图的纵坐标表示的为频率/组距，即指数据落在此处的概率，甲图中，不同组距区间的概率相差不大，即指数据较为均匀的分布在各区间，而乙图数据较为集中的分布在乙图最高处指代的区间，其他区间分布的比较少，故乙图平均差比较小.
故答案为：C

【分析】 根据题意分析平均差是表示一组数据离散程度的量，平均差越小，数据越集中，结合频率分布折线图得出结论．
9.【解析】【解答】因为 ，依题意有 ，即 ，
而 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
即 的最大值为 ．
故答案为：D．

【分析】 求出f〔x〕的导函数，由题意可得f′〔1〕=0，可得， 再根据根本不等式即可求得ab的最大值．
10.【解析】【解答】对于①中，假设 ， ，那么 或 ，所以①不正确；
对于②中，根据全称命题与存在性命题的关系，
可得命题“ 〞的否认是“ 〞，所以②是正确的；
对于③中，令 ，解得 ，
即函数 的对称中心为 ，所以③不正确；
对于④中，当 ， ，此时 ，
所以函数 不是 上的增函数，所以④不正确.
故答案为：B.

【分析】 直接利用直线和平面的位置关系，命题的否认，三角函数的性质，函数的单调性与关系式的关系的应用判定①②③④的结论．
11.【解析】【解答】由题意可知 ，又 ，故 ，
设过点 的直线斜率为 ，那么直线方程为： ，即
那么反射后的切线方程为：
由 得 ，
因为所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，
，
化简得： ，即 ，解得
故答案为：D.

【分析】 设过P的直线，由关于y轴对称可得反射光线的直线方程，与椭圆联立，由判别式等于0，可得k的值．
12.【解析】【解答】解析：由于 时， ，
可知当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减，当 时函数有最大值 ，
又由于当 时， ，
因此可以画出函数 与 的图象如图，

由图象可知，在区间 内两图象有4个交点，
根据对称性，在区间 内也有4个与它们关于点 对称的交点，
这四对点的横坐标之和为 ，再加 点横坐标，故各交点横坐标之和为9.
故答案为：B

【分析】 利用导数研究函数f〔x〕的单调性，画出函数f〔x-1〕与函数y=2sinπx〔-4≤x≤6〕的图象，由对称性，数形结合即可求得f〔x-1〕的图象与函数y=2sinπx〔-4≤x≤6〕的图象所有交点的横坐标之和．
二、填空题
13.【解析】【解答】由频率分布直方图可知，该单位组织学习积分在 内的党员所占的频率为 ，
所以，该单位组织的党员总人数为 ，
该单位组织学习积分超过 万分的党员所占的频率为 ，
因此，该单位组织能获得“学习达人〞称号的党员人数为 .
故答案为：80；8.

【分析】 由频率分布直方图求出学习积分在[1，1.5〕〔单位：万分〕的频率为0.4，再由学习积分在[1，1.5〕〔单位：万分〕的人数是32人，能求出该单位人数，求出学习积分超过2万分的党员所占频率0.1，由此能求出该单位有0.1×80=8名党员能获得该称号．
14.【解析】【解答】如下列图，可行域为阴影局部：

由 解得 ．
当直线 经过直线 与 的交点 时，
．
故答案为：-3．

【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.
15.【解析】【解答】如图：虚线即为截面图形，

分别为各边的三等分点，
且面 面 ，
设正方体的棱长为 ，
那么 ，
可得 ,
那么截面 的周长为： ，
那么该截面多边形的周长为 .
故答案为： .

【分析】 先利用平行关系得到截面与正方体的交点位于靠近D1 ， A，C的三等分点处，从而得到截面为MIHGFE，利用正方体的棱长求出截面的周长即可．
16.【解析】【解答】在 中， ，
可得
即
由余弦定理可知 ，可得 ，
由正弦定理可知 ，
因为 ，
所以 .
故答案为： .

【分析】 先根据数量积得到， 再结合余弦定理以及正弦定理即可求解结论．
三、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕根据条件求出d的值，利用等差数列的通项公式，可求得数列  的通项公式；
〔2〕利用裂项相消法求和．
 
 
18.【解析】【分析】 〔1〕在△CBD中，证明BC⊥BD，再利用勾股定理证明BC⊥PB，由线面垂直的判定定理证明即可；
〔2〕建立适宜的空间直角坐标系，利用待定系数法求出平面PBA的法向量，求出平面PBD的法向量，利用二面角的计算公式求解即可．
19.【解析】【分析】  〔1〕甲通过的考试科目的门数  ，由此能求出该考生报考甲大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；当 时，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为 ， 利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
〔2〕求出甲通过的考试科目的门数，  ， 设乙通过的考试科目的门数为 ， 利用相互独立事件概率乘法公式求出    现由该考生更希望通过乙大学的笔试，能求出m的范围．
20.【解析】【分析】 〔1〕由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由题意可得圆F的方程，与抛物线联立求出交点的横坐标〔注意横坐标大于0〕，；
〔2〕设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出线段AB 的中点的坐标，进而求出线段AB的中垂线的方程，将P的坐标代入可得参数的关系，求出  的范围．
21.【解析】【分析】 〔1〕先对函数求导，结合导数研究函数单调性，进而可判断；
〔2〕把f〔x〕代入后对所要证明不等式进行整理，结合不等式的特点构造函数，结合导数及函数性质可证．
22.【解析】【分析】〔1〕利用点到直线的距离公式和弦长公式，求出 ；
〔2〕利用二次函数的性质，求出  的最小值。
23.【解析】【分析】 〔1〕写出f〔x〕的分段函数的形式，由分段函数的画法可得f〔x〕的图象；
〔2〕分别讨论a=0，a＜0，a＞0，f〔x〕的解析式，以及f〔x〕的单调性，结合恒成立思想，解不等式可得所求范围．