2021届甘肃省高三理数高考考前全真模拟试卷及答案

这是一份2021届甘肃省高三理数高考考前全真模拟试卷及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三理数高考考前全真模拟试卷
一、单项选择题
1. ， ，那么 〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
2.设复数 满足 ，且 在复平面内对应的点为 ，那么〔    〕
A.             B.             C.             D. 
3.以下列图是我国2021—2021年载货汽车产量及增长趋势统计图，针对这10年的数据，以下说法错误的选项是〔    〕

A. 与2021年相比较，2021年我国载货汽车产量同比增速不到15%
B. 这10年中，载货汽车的同比增速有增有减
C. 这10年我国载货汽车产量的极差超过150万辆
D. 这10年我国载货汽车产量的中位数不超过340万辆
4.双曲线 的焦距为 ，那么C的一条渐近线方程不可能为〔    〕
A.                          B.                          C.                          D. 
5.在古印度的数学著作?丽拉沃蒂?中，有这样一个问题：某人给一个人布施，初日施3德拉玛(古印度货币单位)，其后日增2德拉玛，共布施360德拉玛，请快告诉我，他布施了几日？这个问题的答案是〔    〕
A. 9                                         B. 18                                         C. 20                                         D. 24
6.函数 的图象向右平移1个单位长度得到函数 的图象，那么 的图象大致为〔    〕
A. 
B. 
C. 
D. 
2 ， 参考数据： )

A. 90.4 cm2                         B. 180.8 cm2                         C. 361.6 cm2                         D. 368.0 cm2
8.如图，在平行四边形 中，点 是 的中点，点 为线段 上的一动点，假设 ，那么 的最大值为〔    〕

A.                                            B.                                            C. 1                                           D. 2
9.函数 的图象在点 处的切线与直线x+3y-1=0垂直.执行如下列图的程序框图，假设输出的n的值为20，那么判断框中t的值可以为〔    〕

A.                                        B.                                        C.                                        D. 
10.函数 在区间 内单调递减，那么 的最大值为〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
11.抛物线 ： 的焦点为 ，直线 经过点 交 于 ， 两点，交 轴于点 ，假设 ，那么弦 的中点 到 轴的距离为〔    〕
A.                                          B.                                          C. 4                                         D. 
12.函数 ，假设函数 ，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A. 假设 没有零点，那么
B. 当 时， 恰有1个零点
C. 当 恰有2个零点时， 的取值范围为
D. 当 恰有3个零点时， 的取值范围为
二、填空题
13. ，那么 的值为________.
14.正项等比数列 的前 项和为 ， ， ，那么数列 中不超过2021的所有项的和为________.
15.疫情防控期间，某中学从9位(包含甲､乙､丙､丁)行政人员中选出6人负责某月1日到6日的学生体温情况统计工作，每人各1天，其中甲､乙､丙､丁四人必须选中，且甲､乙两人不能安排在相邻的两天，丙､丁两人也不能安排在相邻的两天，那么不同的安排方法共有________种(用数字作答).
16.如图，正方体 的棱长为3，E，F分别为线段AB，BC上的点，且BE= AB，FC=2BF.那么平面 截该正方体的面 所得的线段的长度为________.

三、解答题
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 且
〔1〕求B；
〔2〕 求 的值.
18.在四棱锥P-ABCD中，侧面 底面ABCD， 为等边三角形，底面ABCD为菱形， ，O为AD的中点.

〔1〕试在线段BP上找一点E，使 平面PCD，并说明理由；
〔2〕求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
19.随着移动网络的飞速开展，人们的生活发生了很大变化，其中在购物时利用 中的支付宝､微信等APP软件进行扫码支付也日渐流行开来.某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计，结果如下表：
年份
2021
2021
2021
2021
2021
年份代码x
1
2
3
4
5
使用扫码支付的人次y(单位：万人)





〔1〕观察数据发现，使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式： ，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性.设 ，利用 与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的回归方程，并估计2021年该商场使用扫码支付的人次；
〔2〕为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200元可参加1次抽奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8个形状､大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有5个)，顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球，假设摸到3个红球，那么打7折；假设摸出2个红球那么打8折，其他情况不打折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有 的概率享受8折优惠，有 的概率享受9折优惠，有 的概率享受立减10元优惠.假设小张在活动期间恰好购置了总价为200元的商品.
〔i〕求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；
〔ii〕试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：最小二乘法估计公式：经过点 的回归直线为 相关数据： (其中 .
20.椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 在椭圆C上，且 .
〔1〕求椭圆C的标准方程；
〔2〕椭圆C上的两点P，Q关于原点O对称，点R在椭圆C上，且直线PR与圆 2相切，问： 是否为定值？假设为定值，求出该定值；假设不为定值，试说明理由.
21.函数 .
〔1〕讨论函数 的单调性；
〔2〕当 时， 恒成立，求 的取值范围.
22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 .
〔1〕求C的普通方程和l的直角坐标方程；
〔2〕假设C与 轴的正半轴交于点 ， 与 交于点 ，求以线段 为直径的圆的标准方程.
23.函数 .
〔1〕解不等式 ；
〔2〕记 的最大值为t，假设 ，求证： .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由 ，解得 ，所以 ，
所以 .
故答案为：B

【分析】先求出集合A，再根据交集的运算即可得出答案。
2.【解析】【解答】因为 在复平面内对应的点为 ，所以 ，那么 ,
所以 ，所以 ，
整理得 .
故答案为：D.

【分析】 利用复数的几何意义以及共轭复数的定义求出，然后由复数模的定义列出等式，化简即可.
3.【解析】【解答】对于A：由表中折线图可得，与2021年相比较，2021年我国载货汽车产量同比增速不到15%，A正确，不符合题意；
对于B：增长率有正有负，所以这10年中，载货汽车的同比增速有增有减，B正确，不符合题意；
对于C：产量最大为423.9万辆，最小为273.5万辆，所以极差为 万辆，C正确，不符合题意；
对于D：这10年中，数据按从小到大排列，第5组数据为339.9，第6组数据为344.1，
两组的平均值为中位数，所以中位数为 万辆，D错误，符合题意.
故答案为：D

【分析】利用题中的条形图和折线图中数据的变化趋势，对四个选项逐一进行分析，即可得出答案。
4.【解析】【解答】当焦点在x轴上时，C的方程可化为 ，
依题意得 ，解得 ，C的方程为 ，
其渐近线方程为y= ；
当焦点在y轴上时，C的方程可化为 ，
依题意得 ，解得 ，C的方程为 ，
其渐近线方程为 ，
对照各选项，
只有C不符合.
故答案为：C.

【分析】 通过双曲线的几何性质，直接求出a, b, c,然后求出， 求出双曲线的渐近线方程.
5.【解析】【解答】由题意，这个人每日布施的金钱数构成以 为首项，公差为 的等差数列，
设他布施了 日，那么 ，解得 或 (舍去).
故答案为：B.

【分析】由题意，这个人每日布施的金钱数构成以 为首项，公差为 的等差数列，再利用等差数列的前n项求和公式，即可得出答案。
6.【解析】【解答】由题意，可得 ，其定义域为 ，
当 时， ，函数 ，
故排除A、B选项；
当 时，0 ，故函数 ，故排除C选项；
当 时，函数 ，
该函数图象可以看成将函数 的图象向右平移一个单位得到，D符合.
故答案为：D.

【分析】根据函数图像的变换，求得函数，根据当 时，得到   可排除A,B；当 时得到可排除C，进而得答案。
7.【解析】【解答】由题意可得该木升子上口边长约为13cm，下口边长约为10cm，故侧面等腰梯形的高h= (cm)，
所以该木升子的侧面积为 .
故答案为：C.

【分析】由题意可得该木升子上口边长约为13cm，下口边长约为10cm，求得侧面等腰梯形的高h= (cm)，再根据棱台的侧面积公式即可得出答案。
8.【解析】【解答】设BD、AE交于O，因为 ，

所以 ，所以 ,
所以 ，那么 ，
所以 ，
因为O、F、B三点共线，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ，
所以 ，
故答案为：A

【分析】 先得到，进而得到， 由O, F, B三点共线，得到3x + 2y= 2，再利用根本不等式求最值即可.
9.【解析】【解答】 ，那么y=f(x)的图象在点(1，f〔1〕)处的切线的斜率 ，
由于切线与直线x+3y-1=0垂直，那么有 -1，那么a=-1，
所以 ，
所以 ，
所以S= ，
由于输出的n的值为20，故总共循环了20次，
此时 ，
故t的值可以为 .
故答案为：B

【分析】 求导数，根据导数的几何意义，结合函数 的图象在点A (1, f (1) )处的切线l与直线x+3y=0垂直，建立方程，即可求出a的值，从而可求f (x) 解析式，模拟运行程序，即可得出答案。
10.【解析】【解答】 ，那么 ，
因为函数 在区间 内单调递减，那么 ，
所以， ，解得 ，
由 ，可得 ，
因为 且 ，那么 ， .
因此，正数 的最大值为 .
故答案为：B.

【分析】由题意利用余弦函数的单调减区间，求得 的最大值 。
11.【解析】【解答】解：由抛物线 ，可得焦点 ，准线方程为 ，
设 ， ，又

那么
∴ ，得 ，代入抛物线方程求得 ，
那么 ，
那么 方程为 ，
联立 ，求得 ，代入抛物线方程得 ．
那么AB的中点坐标为
弦 的中点到 轴的距离为 ．
故答案为：A．

【分析】设 ， ，又 ， 那么 ， 求得 ， ，求出方程，联立 ， 求出AB的中点坐标，进而求出弦  的中点  到  轴的距离。
12.【解析】【解答】作出 的图象，如下列图：

令 ，即 ，
可得 或 ，即 或 ，
当 时， 和 均无解，此时 无零点，
当 时， 有且仅有一个根x=-1， 无解，此时 有一个零点，A不符合题意；
当 时， 图象与 图象有2个交点，即 有2个根，
， 图象与 无交点，即 无解，此时 有2个零点；
当 时， 图象与 图象有3个交点，即 有3个根，
， 图象与 无交点，即 无解，此时 有3个零点；
当 时， 图象与 图象有2个交点，即 有2个根，
图象与 图象有1个交点，此时 有3个零点；B不符合题意
当 时， 图象与 图象有1个交点，即 有1个根，
， 图象与 图象有2个交点，即 有2个根，此时 有3个零点；
当 时， 图象与 图象有1个交点，即 有1个根，
， 图象与 图象有3个交点，即 有3个根，此时 有4个零点；
当 时， 图象与 图象有1个交点，即 有1个根，
图象与 图象有2个交点，即 有2个根，此时 有3个零点；
当 时， 图象与 图象有1个交点，即 有1个根，
， 图象与 图象有1个交点，即 有1个根，此时 有2个零点，C不符合题意；
综上可得：当 恰有3个零点时， 的取值范围为 ，D符合题意.
故答案为：D

【分析】作出 的图象，令 ， 可得或 ，对选项逐个进行验证，即可得出答案。
二、填空题
13.【解析】【解答】由得 ，
所以 .
故答案为：-2

【分析】利用正弦的二倍角公式以及同角三角函数根本关系式，求出值。
14.【解析】【解答】设正项等比数列 的公比为q， ，
因为 ， ，
所以 ，解得： ，所以 .
令 ，解得： .
所以数列 中不超过2021的所有项的和为：
.
故答案为：2046.

【分析】设正项等比数列 的公比为q， ，由， 解得： ， 再利用等比数列前n项求和公式，即可求出。
15.【解析】【解答】余下5人选2人，即 ，6人全排，即 ，所以共有 种，
甲乙捆绑一起，即 ，丙丁捆绑一起，即 ，
2个组合与另外2人全排，即 ，故 ；
甲乙捆绑一起，与另外4人全排，即 ；
丙丁捆绑一起，与另外4人全排，即 ；
所以符合条件的有 种.
故答案为：3360

【分析】利用捆绑法和插空法，即可得出答案。
16.【解析】【解答】如下列图，连接 交 的延长线于点I，连接IE交 于点H，

设平面 与棱 的交点为G，连接 ，GH，
那么五边形 即为平面 截该正方体所得的截面，
平面 截该正方体的面 所得的线段为线段GH，
由 ，可得 ， ，
由 ，可得 ，
由 ，可得 = ，所以 ，所以 ，
由 ，可得 ，所以 ，
由平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，可得 ，
又由 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .

【分析】连接 交 的延长线于点I，连接IE交 于点H，设平面 与棱 的交点为G，连接 ，GH， 确定五边形 即为平面 截该正方体所得的截面，从而得到平面EFC1截该正方体的面ADD1 A1所得的线段为线段GH，然后利用平行关系以及相似比进行求解即可.
三、解答题
17.【解析】【分析】 (1)由正弦定理化简等式可得 ，由余弦定理，同角三角函数根本关系式可求 ， 结合范围 ，可得B的值；
(2)由利用余弦定理可得ac的值，进而可求a, c的值，由正弦定理可得  ，， 即可得解A，C的值，从而可求   的值.
18.【解析】【分析】 (1)当点E为PB的中点时，取PC的中点F,连接EF，DF,推导出四边形ODFE是平行四边形，从而OE// DF,由此得到OE //平面PCD；
(2)连结PO,推导出PO⊥AD,那么PO⊥平面ABCD，从而PO⊥OB,推导出OB⊥AD,以点O为原点，直线OA, OB, OP分别为x, y, z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
19.【解析】【分析】 (1)先求出样本中心，利用公式求出回归系数,即可得到回归方程，令x= 6,代入回归方程求解，即可得到预测值；
(2) (i)设付款金额为X元，先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；
(i)记需支付的金额为Y元，先求出随机变量Y的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可.
20.【解析】【分析】〔1〕 设椭圆的半焦距为c，由点  在椭圆C上，可得   ， 由 ，
， 解得 ，进而求出   ，即可求得椭圆C的标准方程；
〔2〕 ①当直线PR的斜率不存在时，可得直线PR的方程为  或   ， 假设直线RP：   ， 直线   ， 假设直线RP：  时，由对称性，同理可得 ；
②当直线PR斜率存在时，设直线PR的方程为   ， 因为直线PR与圆O：  相切，
设   ， 那么   ， 联立   ， 整理得   ， 由韦达定理得  得    ，   ， 综上所述，  的值为定值1 。
21.【解析】【分析】 (1)求出f' (x),由f' (x)的正负判断函数f (x)的单调性，即可得到答案;
(2)将不等式恒成立转化为  恒成立， 设   ， 设   ， 那么   ， 那么问题转化为   ， 都有  恒成立，分 和  ， 三种情况讨论即可求出  的取值范围.
22.【解析】【分析】 ( 1 )直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
( 2 ) 由 得 点  的直角坐标 ，利用两点间的距离公式即可求出以线段  为直径的圆的标准方程。
23.【解析】【分析】 〔1〕通过对x的范围分类讨论，化简不等式分别求出解集，然后求出并集即可；
〔2〕 由  得    ， 即 ，利用分析法即可证出。