甘肃省天水市一中2021届高三下学期5月第十次模拟考试数学（文）试题+答案

天水市一中2018级2020-2021学年度第十次考试试题

数学试题（文科）

命题 谢君琴 张莉娜   审核  马静

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设集合，，则（  ）

A. B.  C.  D.

2.已知命题p：，，则是（  ）

A. ，   B. ，  C. ，   D. ，

3.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒内有谷二十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲知米内杂谷多少”，其大意是，粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（  ）

A. 153石 B. 154石 C. 169石 D. 170石

4.设向量，，则下列结论正确的是（  ）

 B.  C.  D.

5.已知首项为1，公比为q的等比数列的前n项和为，则“”是“”的（  ）

A. 充分不必要条件   B. 必要不充分条件
C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件

6.已知在R上是奇函数，且，当时，，则（  ）

A. 98      B. 2     C.  D.

7.执行右面的程序框图，输出的S的值为（  ）

A. 1    B. 2     C. 3         D. 4

8.如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（  ）

A.        B.      C.      D.

9.设的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（  ）

A. 直角三角形   B. 锐角三角形   C. 钝角三角形   D. 不确定

10.直线与圆相切，则（  ）

A.2或12 B. 2或 C. 或 D. 或12

11.关于函数有下列四个结论：

在定义域上是偶函数；在上是减函数；

在上的最小值是；在上有两个零点.

其中结论正确的编号是（  ）

A.①② B.  C. ②③ D.③④

12.已知椭圆的左、右焦点分别为、，以O为圆心，为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点P，且直线OP的斜率为，则椭圆的离心率为（  ）

A. B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知复数z满足为虚数单位，则 ______ ．

14.双曲线的渐近线方程为____________．

15.若则____________．

16.等差数列的前n项和为则____________．

三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）

17.(12分）如图，在平面四边形ABCD中，若，，，．
求；若，求BC．

18.(12分）如图，在菱形ABCD中，且，E为AD的中点．将沿BE折起使，得到如图所示的四棱锥．

（1）求证：平面.

（2）若P为AC的中点，求三棱锥的体积．

19.(12分）某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出A、B两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在为一等品，大于115为特等品现把测量数据整理如下，其中B配方废品有6件．

A配方的频数分布表

（1）求a，b的值；（2）试确定A配方和B配方哪一种好？说明：同一组数据常用该组区间的中点值作为代表

20.(12分）已知直线l：过抛物线的焦点，且与抛物线E交于两点，点M为AB中点．

求抛物线E的方程；

以AB为直径的圆与x轴交于两点，求面积取得最小值时直线l的方程．

21.(12分）已知函数
(1)当时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间；
(3)若恒成立，求实数a的取值范围．

（二）选做题（共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作第一题计分.）

22.(10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）直线l与y轴交点为P，经过点P的直线与曲线C交于A，B两点，证明：为定值．

23.(10分）已知，，，设函数，
（1）若，求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为1，证明：

答案和解析

一、选择题

1—5.CDCCB      6—10.DCAA A    11—12.B A
解：在中，，，
，，
又，
，

二、填空题

13.     14.     15.      16.
    三、解答题

17.【答案】解：在中，，，，
可得，即有，
可得锐角ADB为；
在中，，，，
可得，
可得．

18. 【答案】证明：Ⅰ连接BD．
    四边形ABCD为菱形，，是等边三角形．
    为AD的中点，，．
    又，．
    ，．
    ．
    ，，．
    又，AE，平面ABE．
    平面ABE．
    由知，．
    ，BE，平面BCDE．
    平面BCDE．

为的中点到平面的距离为

19.【答案】解：依题意，A、B配方样本容量相同，设为n，又B配方废品有6件．
由B配方的频频率分布直方图，得废品的频率为， 
解得        
由         
解得因此a，b的值分别为24，；      
由及A配方的频数分布表得，A配方质量指标值的样本平均数为
质量指标值的样本方差为
．
由B配方的频频率分布直方图得，B配方质量指标值的样本平均数为
 

     质量指标值的样本方差为
 
综上，，       
即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A配方质量指标值不够稳定，
所以选择B配方比较好  
20.【答案】解：抛物线的焦点为，
则在上，
，，
抛物线E的方程为．
设，，
由得，

则AB中点，
，
以AB为直径的圆M的半径，
M到CD的距离，
，
，
令，
则在单调递增，
即时，S取最小值，
此时的方程为．
21.【答案】解：当时，，
，

函数的极大值为，无极小值；
，
当时，恒成立，故在是增函数；
当时，对，是增函数，
对，是减函数，
综上，当时，在是增函数；
当时，在是增函数，在是减函数
要使得恒成立，则，
由可知，的极大值即为的最大值，
，
实数a的取值范围为．

22.【答案】解：Ⅰ由，
得曲线C：．
直线l的极坐标方程展开为，
故l的直角坐标方程为．
Ⅱ显然P的坐标为，不妨设过点P的直线方程为为参数，
代入C：得，设A，B对应的参数为，
所以为定值．
23.【答案】解：Ⅰ若，不等式，即，
而表示数轴上的x对应点到1、对应点的距离之和，
而、2对应点到1、对应点的距离之和正好等于4，
故它的解集为．
Ⅱ函数的最小值为，
 
．