2020-2021学年四川省遂宁市高二（下）6月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年四川省遂宁市高二（下）6月月考数学（理）试卷人教A版，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 以下说法错误的是( )
A.命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”
B.“x=1”是“x2−3x+2=0”的充分不必要条件
C.若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
D.若命题p:∃x∈R，x2+x+10)的右支与焦点为F的抛物线x2=2pyp>0交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
三、解答题

“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为13，乙组能使生物成活的概率为12，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．
(1)甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；

(2)若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望．

已知函数fx=ex−12x2−ax−1（其中a∈R，e为自然对数的底数）．
(1)若函数fx无极值，求实数a的取值范围；

(2)当x>0时，证明：ex−1lnx+1>x2.
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省遂宁市高二（下）6月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
全称命题与特称命题
逻辑联结词“或”“且”“非”
四种命题间的逆否关系
【解析】
写出原命题的逆否命题判断A；求出方程x2−3x+2=0的解判断B；直接写出特称命题的否定判断C，由复合命题的真假判断说明D错误．
【解答】
解：对于A，命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2−3x+2≠0”，∴ A正确；
对于B，若x=1，则x2−3x+2=0，反之，若x2−3x+2=0，则x=1或x=2，所以“x=1”是“x2−3x+2=0”的充分不必要条件，∴ B正确；
对于C，若命题p且q为假命题，则p、q中至少有一个为假命题，∴ C错误；
对于D，命题p:∃x∈R，可使x2+x+10，tanβ0，
则ℎ′x=1x+1−4x+22
=x2x+1x+22>0恒成立，
故ℎx在0,+∞单调递增，从而ℎx>ℎ0=0，
即lnx+1−2xx+2>0，
即lnx+1>2xx+2，
所以ex−1lnx+1>x2.
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：∵ 函数 fx无极值，
∴ fx在R上单调递增或单调递减，
即f′x≥0或f′x≤0在x∈R时恒成立；
又f′x=ex−x−a，
令gx=ex−x−a，
则g′x=ex−1，
所以gx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增；
gxmin=g0=1−a.
当f′x≥0时，f′xmin=gxmin=1−a≥0，即a≤1，
当f′x≤0时，显然不成立，
所以实数a的取值范围是(−∞,1].
(2)证明：由(1)可知，当a=1时，
当x>0时，fx>f0=0，即ex−1>x22+x，
欲证ex−1lnx+1>x2，
只需证lnx+1>2xx+2即可．
构造函数ℎx=lnx+1−2xx+2x>0，
则ℎ′x=1x+1−4x+22
=x2x+1x+22>0恒成立，
故ℎx在0,+∞单调递增，从而ℎx>ℎ0=0，
即lnx+1−2xx+2>0，
即lnx+1>2xx+2，
所以ex−1lnx+1>x2. ξ
0
1
2
3
4
P
19
13
1336
16
136
ξ
0
1
2
3
4
P
19
13
1336
16
136