2021届湖南省邵阳高三上学期数学7月第一次自主调研试卷及答案

这是一份2021届湖南省邵阳高三上学期数学7月第一次自主调研试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三上学期数学7月第一次自主调研试卷一、单项选择题：此题共8道小题，每题5分，共40分。1.复数 〔 为虚数单位〕，那么 〔   〕           
B.
C.
 2.假设非零向量 、 满足 ，那么 、 两向量的夹角为〔   〕            A.0°
B.60°
C.90°
D.180°3.集合  , 那么 〔   〕            A.
B.
C.
D.4.从包含甲在内的5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，那么不同的参赛方案种数为(   )           


 5. ，那么cosx等于〔   〕            A.
B.
C.
D. 6.假设 ， ，那么以下式子成立的是〔   〕            A.
B.
C.
D.7.双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 且斜率为 的直线与其左支交于点 ，假设存在 ，使 ， ，且 ，那么双曲线的离心率为(   )            A.
B.
C.
D.8.设 ，假设存在正实数 ，使得不等式 成立，那么 的最大值为〔   〕            A.
B.
C.
D.二、多项选择题：此题共4小题，每题5分，共20分。9.以下说法正确的选项是(   )            A.命题“ ， 〞的否认是“ ， 〞
B. ，那么“ 〞是“ 〞的必要不充分条件
C.命题 ：假设 为第一象限角，那么 ；命题 ：函数 有两个零点，那么 为假命题
D.， 10.设函数 ，那么以下说法正确的有(   )            A.当 ， 时， 为奇函数
B.当 ， 时， 的一个对称中心为
C.假设关于 的方程 的正实根从小到大依次构成一个等差数列，那么这个等差数列的公差为
D.当 ， 时， 在区间 上恰有4个零点11.抛物线C：x2=4y的焦点为F，A、B在抛物线C上，且 =2 ，过A，B分别引抛物线C两切线交于点P，那么以下结论正确的选项是(   )           
B.∠APB=90°
C.PF⊥AB
D.PF=2 12.如图，菱形 边长为 ， ， 为边 的中点．将 沿 折起，使 到 ，且平面 平面 ，连接 ， ．  那么以下结论中正确的选项是(   )A.
B.四面体 的外接球外表积为
C.与 所成角的余弦值为
D.直线 与平面 所成角的正弦值为 三、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。13.曲线 在点 处的切线方程为________.    14.等差数列 的前 项和为 ，公差 ， ， 是 与 的等比中项，那么 的通项公式为________.    15.中国工程院院士袁隆平，被誉为“世界杂交水稻之父〞．他创造的“三系法〞籼型杂交水稻，创立了超级杂交稻技术体系．某地种植超级杂交稻，产量从第一期大面积亩产 公斤，到第二期亩产 公斤，第三期亩产 公斤，第四期亩产 公斤．将第一期视为第二期的父代，第二期视为第三期的父代，或第一期视为第三期的祖父代，并且认为子代的产量与父代的产量有关，请用线性回归分析的方法预测第五期的产量为每亩________公斤．  附：用最小二乘法求得线性回归方程为 ，其中 ， ．16.英国数学家泰勒发现了公式： ，瑞士大数学家欧拉凭着他非凡的数学洞察力，由此公式得到了下面的无穷级数之和，并最终给出了严格证明．  ．其发现过程简单分析如下：当 时，有 ，容易看出方程 的所有解为： ， ， ， ， ，于是方程 可写成： ，改写成： ．    〔*〕比较方程〔*〕与方程 中 项的系数，即可得________．四、解答题：此题共6小题，共70分。17. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， .    〔1〕求角A；    〔2〕假设 ， ，求 的面积.    18.数列 是首项为4，公差为2的等差数列.( 为常数， 且 ). (Ⅰ)求证：数列 是等比数列；(Ⅱ)当 时，设 ，求数列 的前 项和 .19.如图，在五面体 中，面 为矩形，且与面 垂直， ， ， .  〔1〕证明： ；    〔2〕求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.    20.从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图．  分组频数频率[2.5，7.5)2 [7.5，12.5)m [12.5，17.5)106 [17.5，22.5)149 [22.5，27.5)352n[27.5，32.5)190 [32.5，37.5)100 [37.5，42.5)47 合计1000 附： ， ， ．〔1〕求m，n，a的值；    〔2〕求出这1000件产品质量指标值的样本平均数 〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；    〔3〕由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 ，其中已计算得 ．如果产品的质量指标值位于区间 ，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间 之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记 为抽取的20件产品所获得的总利润，求 ．    21.椭圆 的长轴长为 ，离心率为 ，  〔1〕求椭圆 的方程；    〔2〕过椭圆 上的点 的直线 与 ， 轴的交点分别为 ， ，且 ，过原点 的直线 与 平行，且与 交于 ， 两点，求 面积的最大值．    22.函数 ， ， 是自然对数的底数．    〔1〕当 时，讨论 的单调性；    〔2〕当 时， ，求 的取值范围．   
答案解析局部一、单项选择题：此题共8道小题，每题5分，共40分。1.【解析】【解答】解：由题意得， 那么
故答案为：B
【分析】根据复数的运算，结合复数的模求解即可.2.【解析】【解答】解：由  得 ， 那么
那么
又
那么
故答案为：A
【分析】根据向量的运算，结合向量的夹角公式求解即可.3.【解析】【解答】解：由题意得，集合A={x|-1≤2x+1≤3}={x|-1≤x≤1}，
集合  ，
那么A∩B={x|0<x≤1}
故答案为：B
【分析】根据一元一次不等式，以及绝对值不等式的解法，结合交集的定义求解即可4.【解析】【解答】解：因为甲不参加生物竞赛,所以可安排甲参加另外3科比赛或甲不参加任何比赛,
①当甲参加另外3科比赛时,共有种参赛方案;
②当甲不参加任何比赛时,共有种参赛方案.
综上所述,所有的参赛方案有72 +24 =96(种).
故答案为：D
【分析】根据分类加法计数原理以及分步乘法计数原理，结合排列与组合求解即可.5.【解析】【解答】解：由   得
即
那么
故答案为：C
【分析】根据二倍角的余弦公式，两角和的余弦公式，以及诱导公式求解即可6.【解析】【解答】解：对于A，令a=4,b=2,， 那么显然， 故A错误；
对于B，令a=4,b=2,， 那么， ， 显然， 故B错误；
对于D，令a=4,b=2，那么， ， 故D错误；
故答案为：C
【分析】运用特殊值法，结合对数运算与指数运算求解即可7.【解析】【解答】解：∵    ，     ，
∴点Q在直线F2P上，且F1Q⊥F2P，
∵
∵F1Q⊥F2P
∴
∴
∴
∵直线QF2斜率位-1，且过点〔c,0〕
∴直线QF2的方程为：y=c-x
∵F1Q⊥F2P，且直线F1Q过点〔-c,0〕
∴直线F1Q的方程为：y=x+c
由得x=0,y=c，即点Q〔0，c〕
∴
∴
∴点Q为直线PF2的中点，
∴点P为〔-c,2c〕
又∵点P位于双曲线上，
∴
又∵b2=c2-a2
∴c4+a4-6a2c2=0
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据向量的线性运算以及向量的数量积运算，结合直线间的垂直关系，利用点在双曲线上的几何性质，结合双曲线的几何性质求解即可.8.【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，因为 ，所以 即 ．  因为 ，设函数 在 为增函数，所以 所以 ．又函数 在 为增函数，在 为减函数，所以 的最大值为 ．
故答案为：A 
【分析】根据化归思想，将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最值问题，再利用函数的单调性研究函数的最值求解即可。二、多项选择题：此题共4小题，每题5分，共20分。9.【解析】【解答】解：对于A，根据存在量词命题的否认是全称量词命题的结论易知A正确；
对于B，由a2≤a得0≤a≤1，那么a≤1是a2≤a的必要不充分条件，故B正确；
对于C，对于命题p：当取第一象限角时，显然sina<a不成立，故p为假命题，
对于命题q：f( -1) <0，f(0) >0，结合图像知，函数f(x)在( -1,0)上有一个零点；
又f(2)=f(4)=0，那么函数f(x)至少有三个零点，故q为假命题，那么 为真命题，故C错误；
对于D，当时，， ， 故不存在    ，  ， 故D错误.
故答案为：AB
【分析】根据存在量词命题与全称量词命题的关系可判断A，根据充分必要条件的定义可判断B，根据正弦函数的性质及函数的零点存在性定理，结合复合命题的判定可判断C，根据指数函数与对数函数的性质可判断D10.【解析】【解答】解：对于A，当a=1,b=0时，f(x)=sin2x，那么f(-x)=sin(-2x)=-sin2x=-f(x)，那么f(x)为奇函数，故A正确；
对于B，当a=1,b=-1时，f(x)=sin2x-cos2x=， 那么， 故f(x)不关于 对称，故B错误；
对于C，f(x)=asin2x+bcos2x=， 所以方程 的正实根从小到大依次构成一个等差数列，那么m=0，公差为， 故C错误；
对于D，当a=1,b=-时，f(x)=sin2x-cos2x=，
那么由， 得， 那么
在 内，， 对应4个零点，故D正确.
故答案为：AD

【分析】根据奇函数的定义可判断A，根据两角差的正弦公式，结合正弦函数的性质可判断B，根据辅助角公式，结合正弦函数的性质以及等差数列的定义可判断C，根据两角差的正弦公式，结合正弦函数的性质以及函数的零点可判断D11.【解析】【解答】解：由， 且焦点弦的性质， 可知|AF|=3,|BF|=，
设A(x1,y1), B(x2,y2),
2(x- x1),

联立两直线方程，得点P为， 故点P位于准线y=-1上，故A正确；
l1  ， l2的斜率乘积为， 所以l1⊥l2，故∠APB=90°，故B正确；
， 那么AB⊥PF，故C正确；
由射影定理:， 所以， 故D错误.
故答案为：ABC

【分析】根据抛物线的定义与性质，结合焦点弦的性质，直线垂直的充要条件，向量垂直的充要条件，以及射影定理逐项判断即可12.【解析】【解答】解：由题意易得DE⊥AB
又∵平面A'DE⊥平面BCDE，且平面A'DE∩平面BCDE=DE
∴A'E⊥平面BCDE
∴建立如以下列图空间直角坐标系，

对于A，∵
∴
∴
∴BD,A'C不垂直
故A错误；
对于B，取CE中点F，连接DF，
∵DE⊥DC
∴
过F作FO'⊥平面CDE，四面体A'CDE的外接球球心O'在直线O'F上，
设O'F=t，又O'D=O'A'=R得， 解得
∴
∴四面体A'CDE的外接球外表积为S=4πR2=8π
故B正确；
对于C，∵
∴
故C正确；
对于D，∵VA'-BCD=VB-A'CD
又A'E=1,
∴
∴
∴
故D正确.
故答案为：BCD

【分析】根据向量垂直的充要条件可判断A，根据四面体与外接球的几何特征，结合球的外表积公式可判断B，根据向量的夹角公式可判断C，根据等体积法，结合棱锥的体积公式可判断D.三、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。13.【解析】【解答】函数 的导数为 ， ，及切线斜率 所以切线方程为 ： 即 故答案为： 【分析】此题考查函数在某点处的切线方程的求法，函数导数与切线斜率的关系，属于导数的应用。14.【解析】【解答】解：由题意得即
解得a1=20,d=-2
那么an=20+(n-1)×(-2)=-2n+22
故答案为：an=-2n+22
【分析】根据等差数列的前n项和公式，等比中项的性质，结合等差数列的通项公式求解即可.15.【解析】【解答】解：因为 ， ，所以 ，，所以 ，所以第五期产量为  
【分析】运用最小二乘法，根据线性回归方程的意义求解即可.16.【解析】【解答】∵x2的系数为
又∵中  项的系数为 ，
∴
∴
故答案为：
【分析】根据类比推理的思想求解即可.四、解答题：此题共6小题，共70分。17.【解析】【分析】〔1〕根据正弦定理、余弦定理求解即可； 〔2〕根据余弦定理，结合三角形的面积公式直接求解即可.18.【解析】【分析】〔Ⅰ〕根据等差数列的通项公式，结合对数式与指数式的互化，以及等比数列的定义求解即可；
〔Ⅱ〕根据裂项相消法求解即可.19.【解析】【分析】〔1〕根据直线与平面平行的判定定理与性质定理即可求证； 〔2〕利用向量法直接求解即可.20.【解析】【分析】〔1〕根据频率分布直方图的性质求解即可； 〔2〕根据平均数的解法，结合频率分布直方图求解即可；
〔3〕根据正态分布的性质，结合二项分布的性质求解即可. 21.【解析】【分析】〔1〕根据椭圆的几何性质求解即可； 〔2〕解法一：根据直线的点斜式方程，向量运算的坐标表示，利用直线与椭圆的位置关系，以及点到直线的距离与弦长公式，利用根本不等式求最值即可
解法二：根据直线的截距式方程，利用直线与椭圆的位置关系，以及点到直线的距离与弦长公式，利用根本不等式求最值即可.22.【解析】【分析】〔1〕根据导数研究函数的单调性求解即可； 〔2〕解法一：根据化归思想，将不等式恒成立问题转化为求函数g(x)的最小值问题，结合分类讨论思想，利用导数g'(x)研究函数g(x)的单调性，从而求得函数g(x)的最小值即可；
解法二：根据化归思想，将不等式恒成立问题转化为求函数g(x)的最小值问题，结合分类讨论思想，利用导数g'(x)研究函数g(x)的单调性，从而求得函数g(x)的最小值即可.