2021届河北省唐山市高三下学期数学第二次模拟试卷及答案

这是一份2021届河北省唐山市高三下学期数学第二次模拟试卷及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三下学期数学第二次模拟试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                  B.                  C.                  D. 



2.多项选择题的四个选项 A 、B 、C、D中至少有两个选项正确，规定：如果选择了错误选项就不得分．假设某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两个选项，那么其得分的概率为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
 
 


3.不等式 的解集是〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 



4.在 的展开式中，常数项为〔    〕
A. 20                                      B. -20                                      C. 160                                      D. -160



5.设复数 满足 ，在复平面内 对应的点到原点距离的最大值是〔    〕
A. 1                                         B.                                          C.                                          D. 3



6.在 中， 为 的中点， 为 边上的点，且 ，那么 〔    〕
A.                B. 

               C.                D. 



7.劳动力调查是一项抽样调查2021年的劳动力调查以第七次人口普查的最新数据为根底抽取相关住户进入样本，并且采用样本轮换模式．劳动力调查的轮换是按照“ 〞模式进行，即一个住户连续2个月接受调查，在接下来的10个月中不接受调查，然后再接受连续2个月的调查，经历四次调查之后退出样本．调查进行时保持每月进入样本接受第一次调查的新住户数量相同．假设从第 个月开始，每个月都有 的样本接受第一次调查， 的样本接受第二次调查， 的样本接受第三次调查， 的样本接受第四次调查，那么 的值为〔    〕
A. 12                                         B. 13                                         C. 14                                         D. 15



8. 为双曲线 的右焦点， 为双曲线 右支上一点，且位于 轴上方， 为渐近线上一点， 为坐标原点．假设四边形 为菱形，那么双曲线 的离心率 〔    〕
A. 2                                        B. 3                                        C.                                         D. 



二、多项选择题
9.设函数 的图象为曲线 ，那么〔    〕
A. 将曲线 向右平移 个单位长度，与曲线 重合


B. 将曲线 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，与曲线 重合


C. 是曲线 的一个对称中心


D. 假设 ，且 ，那么 的最小值为



10. ，且 ，那么〔    〕
A.                   B. 

                  C.                   D. 



11.三棱锥 的三视图如图，图中所示顶点为棱锥对应顶点的投影，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为 的正方形，那么〔   〕

A. 该棱锥各面都是直角三角形                                B. 直线 与 所成角为


C. 点 到底面 的距离为                              D. 该棱锥的外接球的外表积为



12.假设直线 与曲线 相交于不同两点 ， ，曲线 在A ， 点处切线交于点 ，那么〔    〕
A.          B. 

         C.          D. 存在 ，使得



三、填空题
13.一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，那么该圆锥的体积为________.
14.设 是首项为2的等比数列， 是其前 项和．假设 ，那么 ________．
15.有以下三个条件：①定义域不是 ；②值域为 ；③奇函数；写出一个同时满足以上条件的函数 ________．
16.设抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于 ， ，与 轴交于 ，假设 ，那么 ________．
四、解答题
17. 为等差数列 的前 项和， ， ．
〔1〕求 ；
〔2〕记数列 的前 项和为 ，证明： ．
18.改革开放是我国开展的最大“红利〞，自1978年以来，随着我国社会经济的快速开展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．下表数据反响了我国改革开放三十余年的人口平均预期寿命变化．
人口平均预期寿命变化表单位：岁
年份
年份代码
人口平均预期寿命
1981
4

1990
13

2000
23

2021
33


〔1〕散点图如上图所示，可用线性回归模型拟合 与 的关系，回归方程 中的斜率 ，且 ，求 ；
〔2〕关于2021年我国人口平均预期寿命的统计数据 迄今暂未公布，依据线性回归方程，对 进行预测并给出预测值 〔结果保存两位小数〕，结合散点图的开展趋势，估计 与 的大小关系，并说明理由．
19.如图，在多面体 中，底面 为正方形， ，平面 平面 ， ， ．

〔1〕判断平面 与平面 的交线 与 的位置关系，并说明理由；
〔2〕求平面 与平面 所成二面角的大小．
20.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ． ， 边上的高为 ．
〔1〕假设 ，求 的周长；
〔2〕求 的最大值．
21.函数 ．
〔1〕假设 ，求 的取值范围；
〔2〕假设 有两个零点 ， ，且 ，证明： ．
22. 、 分别为椭圆 的左顶点和下顶点， 为直线 上的动点， 的最小值为 ．
〔1〕求 的方程；
〔2〕设 与 的另一交点为 ， 与 的另一交点为 ，问：是否存在点 ，使得四边形 为梯形，假设存在，求 点坐标；假设不存在，请说明理由．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ， ，
所以 。
故答案为：C

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合Q，再利用交集的运算法那么求出集合P和集合Q的交集。
2.【解析】【解答】由题得从4个选项里选两个选项，共有 种方法，
从3个正确选项里选择两个选项，共有 种方法，
由古典概型的概率公式得所求的概率为 。
故答案为：A

【分析】利用条件结合组合数公式，再利用古典概型求概率公式，进而求出某考生随机选了两个选项得分的概率。
3.【解析】【解答】在同一坐标系中作出两函数和的图象，如下图：

当 时，解得 ，
由图象知： 的解集是 。
故答案为：B

【分析】在同一坐标系中作出两函数和的图象，再利用结合两函数的图像，求出x的值，再利用两函数的图像求出不等式 的解集 。
4.【解析】【解答】 展开式的通项公式 ，令 ，
常数项 。
故答案为：D．

【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。
5.【解析】【解答】设 ，
那么 ，所以 ，即 ，
所以复数 对应的点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
所以 ，
所以复平面内 对应的点到原点距离的最大值是3。
故答案为：D

【分析】利用复数的模求解公式结合条件，得出，所以复数 对应的点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，再利用几何法求出复数z的模的最大值，进而结合复数的几何意义求出复平面内 对应的点到原点距离的最大值。
6.【解析】【解答】如图，可知

。
故答案为：B

【分析】利用条件结合中点的性质和三角形法那么以及共线定理，从而利用平面向量根本定理求出。
7.【解析】【解答】假设每月新增一组人，将其编号为1,2,3,4,……，那么每个月接受调查的情况为：
1月 ：1；2月：1,2；3月：2,3；4月：3,4；5月：4,5；6月：5,6；7月：6,7；8月：7,8；9月：8,9；10月：9,10；11月：10,11；12月：11,12；13月：12,13,1；14月：14,13,2,1；15月：15,14,3,2；可知到第14个月开始，接受调查的有4组，并且分别是第一次调查、第二次调查、第三次调查和第四次调查.
故答案为：C.

【分析】利用条件结合统计的知识，进而求出k的值。
8.【解析】【解答】由题意，双曲线 的焦点 ，且渐近线方程 ，
因为四边形 为菱形，如下图，

设 ，因为 ，解得 ，可得 ，
设 ，代入双曲线的方程 ，可得 ，即 ，
又由 ，可得 ，可得 ，
所以双曲线的离心率为 。
故答案为：D.

【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点的坐标和渐近线方程，因为四边形 为菱形，再利用两点距离公式结合菱形的性质，进而求出点B的坐标，再利用代入法结合双曲线的标准方程，进而求出点A的坐标，再利用两点求斜率公式，进而求出a,b,c的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式结合双曲线离心率公式变形，进而求出双曲线的离心率。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】A：曲线 向右平移 个单位长度，
得到函数 ，
显然该函数的图象与曲线 不重合，故本说法不正确；
B：由曲线 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，可得
，故本说法正确；
C：因为 ，所以点 不是该函数的对称中心，故本选项不正确；
D：由 ，可得
因为 ，所以 ， ，
所以 ，因为 ， ，所以 的最小值为1，
即 的最小值为 ，故本选项正确。
故答案为：BD

【分析】利用正弦型函数的图象变换找出曲线 和曲线 变成曲线E的变换方法，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数 的对称中心，由 ，可得 ， 因为 ，所以 ， ，所以 ，因为 ， ，从而求出的最小值，进而求出的最小值，从而找出正确的选项。
10.【解析】【解答】因为 ，且 ，对A， ，所以 ，A符合题意；对B，取 ，所以 ，B不符合题意；对C， ，当且仅当 取等号，又因为 ，当且仅当 取等号，所以 ，当且仅当 取等号，因为 ，所以不能取等号，C符合题意；对D，当 ， ，所以 ；当 ， ，所以 ，当且仅当 取等号，因为 ，所以不能取等号，D符合题意.
故答案为：ACD.

【分析】利用条件结合指数函数的单调性结合与特殊值对应的指数的大小关系比拟，进而推出；利用特殊值法结合对数的运算法那么，进而利用对数函数的单调性和与特殊值对应的对数大小关系比拟，推出；利用均值不等式求最值的方法结合均值不等式的条件，从而推出；再利用分类讨论的方法结合均值不等式求最值的方法，进而推出， 从而找出正确的选项。
11.【解析】【解答】由三视图可知三棱锥 的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，且 ，如图，

其中 为等边三角形，A不符合题意；
由侧视图可知直线 与 所成角为 ，B不符合题意；
由正视图，侧视图可知点 到底面 的距离为 ，C符合题意；
由条件可知三棱锥外接球的直径为 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：CD

【分析】由三视图可知三棱锥 的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，且 ，其中 为等边三角形,再利用异面直线所成的角求解方法，点到平面的距离求解方法和棱锥外接球的外表积求解方法，进二找出正确的选项。
12.【解析】【解答】对于A：当 时，直线 与曲线 没有两个不同交点，所以 ，如图1所示，

当直线 与曲线 相切时，设切点为 ，那么 ，
所以切线方程为： ，代入点 解得 ，此时 ，所以直线 与曲线 相切，
所以当 时直线 与曲线 有两个不同的交点，
当 时，直线 与曲线 没有交点，A符合题意；
对于B：由得 ， ，不妨设 ，那么 ，
又 在点A处的切线方程为： ，在点B处的切线方程为 ，
两式相减得 ，将 ， 代入得 ，
因为 ，所以 ，即 ，B符合题意；
对于C：要证 ，即证 ，即证 ，因为 ，所以需证 .
令 ，那么 ，令 ，那么点A、B是 与 的两个交点，令 ，
所以 ，令 ，那么 ，所以当 时， ， 单调递减，
而 ， ，所以 ，所以 时， ，所以 单调递减，所以 ，
即 ，又 ，所以 ，
而 ，所以当 时， ， 单调递增，又 ， ，所以 ，即 ，C符合题意；
对于D：设直线AM交 轴于C ， 直线BM交 轴于点D ， 作 轴于点E ．

假设 ，那么 ，
即 ，所以 ，
化简得 ，即 ，所以 ，即 ，
令 ，那么 ，又 ，所以 ，
而 ，所以方程 无解，所以不存在 ，使得 ，D不正确，
故答案为：ABC．

【分析】利用分类讨论的方法结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的方程，再结合条件直线 与曲线 相交于不同两点 ， ，联立二者方程结合韦达定理，再利用曲线 在A ， 点处切线交于点 ， 再结合两点求斜率公式结合直线的斜率与倾斜角的关系式，进而找出正确的选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，
那么 ，解得 ，
∴圆锥的高 ，
∴圆锥的体积 。
故答案为： 。

【分析】利用条件结合圆锥的侧面积公式和弧长公式，进而求出圆锥的底面半径长和母线长，再利用勾股定理求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式，进而求出该圆锥的体积。   
14.【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，
那么 ，将 代入得 ，得 ，
所以 。
故答案为： 。

【分析】利用条件结合等比数列的通项公式，进而求出公比，再利用等比数列前n项和公式，进而求出等比数列前6项的和。
15.【解析】【解答】满足的函数为 ，或 或 等.〔答案不唯一〕
故答案为：y=tanx，或 或 等.〔答案不唯一〕

【分析】利用函数的定义域和值域求解方法，再结合奇函数的定义，进而写出同时满足条件的函数。
16.【解析】【解答】由题设知： ，而直线 过 点，又 ，
∴ 在 ， 之间，且 ， ，即 ，
联立抛物线与直线方程， ，整理得 且 ，
假设 ，那么 ，而 ，
∴ ，可得 ，即 。
故答案为： 。

【分析】利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点的坐标，而直线 过 点，又 ，所以 在 ， 之间，且 ， ，即 ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，再结合抛物线的定义和弦长公式，进而求出k的值，从而结合两点距离公式和条件，进而求出线段AB的长。
四、解答题
17.【解析】【分析】(1)利用条件结合等差数列前n项和公式，进而解方程组求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列前n项和公式，进而求出等差数列前n项和。
〔2〕利用〔1〕求出的等差数列前n项和求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法，进而求出数列 的前 项和，再利用放缩法证出不等式 成立。
18.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合散点图和平均数公式，进而求出中心点的坐标，再利用中心点在线性回归直线上，进而结合代入法求出 的值。
〔2〕利用〔1〕求出的线性回归直线方程对 进行预测并给出预测值 ，再结合散点图的开展趋势，得出随着年份代码增加，人口平均预期寿命提高的越快，进而估计出 与 的大小关系。
19.【解析】【分析】〔1〕利用线线平行证出线面平行，即 平面 ， 再利用线面平行的性质定理证出线线平行，即证出平面 与平面 的交线 与 平行。
〔2〕 由 ， ， ， ，得 ， ，又 ，那么 ，所以 ，由题意可知，P点向平面 引垂线，垂足落在 上，设为 ，那么 ，以 为原点，以 ， 的方向分别为 轴， 轴正方向，建立如下图的空间直角坐标系 ， 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，进而求出平面 与平面 所成二面角的大小。
20.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合三角形面积公式，进而求出c的值，再利用角C的值，进而求出ab的值，再结合余弦定理求出a+b的值，再利用三角形周长公式，进而求出三角形的周长。
〔2〕 由〔1〕及正弦定理可得 ， ， 再利用条件结合三角形中角A的取值范围，进而利用正弦型函数的图像求出正弦型函数的最大值，从而求出 的最大值 。
 
 
21.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，再利用条件 ，进而求出实数a的取值范围。
〔2〕 由〔1〕结合条件知， ， ， 由题得 所以，所以 ，所以
，令 ，再利用求导的方法和
〔1〕知， ，等号当且仅当 时成立，所以 ，等号当且仅当 时成立，进而判断出函数的单调性，再利用函数的单调性，进而证出不等式 成立。
 
22.【解析】【分析】〔1〕利用条件 、 分别为椭圆 的左顶点和下顶点，进而求出点A,B的坐标，再利用 为直线 上的动点，进而设 ，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用向量数量积的坐标表示得出 为二次函数，再利用二次函数图象求最值的方法，进而求出 的最小值，再利用条件 的最小值为 ， 进而求出a的值，从而求出椭圆的标准方程。
〔2) 假设存在点 满足题设，设 ， ,所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ,再利用直线 与椭圆 的另一交点为 ，直线 与椭圆 的另一交点为 ， 分别联立两直线与椭圆的方程，进而求出交点C，D的坐标， 假设四边形 为梯形，那么 ，再利用两直线平行对应边成比例，所以 ，再利用两点距离公式，进而求出t的值，从而得出点P的坐标，进而求出当 时，四边形 为梯形。