2021届河北省高三下学期数学仿真模拟（四）试卷及答案

这是一份2021届河北省高三下学期数学仿真模拟（四）试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三下学期数学仿真模拟〔四〕试卷
一、单项选择题
1.设全集为 ， ， ，那么集合 等于〔    〕
A.                 B.                 C.                 D. 
2.某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门，系统会随机〔即等可能〕为你翻开一个通道.假设是1号通道，那么需要1小时走出迷宫；假设是2号、3号通道，那么分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机翻开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.那么你走出迷宫的时间超过3小时的概率为〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
3.假设 ，那么 的值为〔   〕
A. 1                                           B. -1                                           C. 0                                           D. 2
4.设 分别为圆 和椭圆 上的点,那么 两点间的最大距离是〔   〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
5. ，且关于 的方程 有实根，那么 与 的夹角的取值范围是〔   〕
A.                                 B.                                 C.                                 D. 
6.在体育合格考中有甲、乙两科目，成绩评定为“优秀〞、“合格〞、“不合格〞三种.假设 同学每科成绩不低于 同学，且至少有一科成绩比 高，那么称“ 同学比 同学成绩好.〞现有假设干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人甲科目成绩一样，乙科目成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生〔    〕
A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5
7.抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 、 ，那么 等于〔　　〕
A. 3                                        B. 4                                        C.                                         D. 
8.把函数 的图像 向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度后得到图像 ．假设对任意的 ，曲线 与 至多只有一个交点，那么 的最小值为〔   〕
A. 2                                           B. 4                                           C. 6                                           D. 8
二、多项选择题
9.假设直线 与曲线 满足以下两个条件：①直线 在点 处与曲线 相切；②曲线 在点 附近位于直线 的两侧，那么称直线 在点 处“切过〞曲线 .那么以下结论正确的选项是〔    〕
A. 直线 在点 处“切过〞曲线
B. 直线 在点 处“切过〞曲线
C. 直线 在点 处“切过〞曲线
D. 直线 在点 处“切过〞曲线
10.不相等的复数 ， ，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 假设 ，那么 是纯虚数
B. 假设 ，那么
C. 假设 ，那么 ， 在复平面内对应的点关于实轴对称
D. 假设 ，那么
11.如图，在长方形 中， ， ， 为 的中点， 为线段 (端点除外)上一动点.现将 沿 折起，使平面 平面 .在平面 内过点 作 ， 为垂足.设 ，那么 的取值可以是〔    〕

A.                                           B.                                           C.                                           D. 1
12.定义在 上的函数 满足 ，且当 时， .假设 ，那么实数 的取值可能是〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
三、填空题
13.如下列图，一个球内接圆台，圆台上下底面的半径分别为3和4，圆台的高为7，那么该球的外表积为________.

14.函数 是定义在 上的偶函数，假设对于 ，都有 ，且当 时， ，那么 的值为________.
15.△ABC的顶点坐标分别为 ，那么内角 的角平分线所在直线方程为________.
16.有两个分类变量 和 ，其中一组观测值为如下的2×2列联表：



总计



15



50
总计
20
45
65
其中 ， 均为大于5的整数，那么 ________时，在犯错误的概率不超过 的前提下为“ 和 之间有关系〞.附：
P〔K2≥k〕





k





四、解答题
17.数列 的前 项和 满足： ， .
〔1〕出求数列 的前3项 ， ， ；
〔2〕求数列 的通项公式.
18.设 的内角 所对的边长分别为 ，且 ．
〔Ⅰ〕求 的值；
〔Ⅱ〕求 的最大值．
19.圆柱 内有一个三棱柱 三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 是圆 的直径.
〔1〕证明：平面 平面 ；
〔2〕设 .记 ，其中 表示体积.
〔i〕当点 在圆周上运动时，求 的最大值；
〔ii〕记平面 与平面 所成的角为 .当 取最大值时，求 的值.
20.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
〔1〕假设袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
〔2〕商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个适宜的设计，并说明理由．
21.双曲线 的两条渐近线分别为 ， .

〔1〕求双曲线E的离心率；
〔2〕如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线 ， 于A，B两点〔A，B分别在第一、四象限〕，且 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？假设存在，求出双曲线E的方程；假设不存在，说明理由.
22.函数 .
〔1〕求证： ；
〔2〕假设 对 恒成立，求 的最大值与 的最小值.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 或 ，
又因为 ， ，
所以 .
故答案为：D

【分析】根据题意即可得出或， 由补集和交集的定义，结合条件即可得出答案。
2.【解析】【解答】记事件 走出迷宫的时间超过3小时，事件 包括3个根本领件.
一是进入2号通道，回来后进入3号通道的概率为 ；
二是进入3号通道，回来后进入2号通道的概率为 ；
三是进入3号通道，回来后进入1号通道的概率为 .
故 .
故答案为：A.

【分析】 由条件即可得出：走出迷宫的时间超过3小时这一事件，包括三种情况，且这三种情况是互斥的，一是进入2号通道，回来后又进入3号通道，二是进入3号通道，回来后又进入2号通道，三是进入3号通道，回来后又进入1号通道的概率，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果.
3.【解析】【解答】(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2
故答案为：A

【分析】根据题意对二项展开式的x分别赋值1，-1，由此得到两个等式，再把两个等式相乘求出待求的值即可.
4.【解析】【解答】设 ，圆心为 ，
那么 ，
当 时，取到最大值 ，∴ 最大值为 ．
故答案为：D.

【分析】 首先由条件求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离.
5.【解析】【解答】 关于 的方程 有实根   
设 与 的夹角为 ，那么
又         
又    
故答案为：B

【分析】 根据题意由方程有实根，那么判别式， 根据条件便能求得 与 夹角的余弦值的范围，从而求得这两向量夹角的范围.
6.【解析】【解答】因为没有任意两个科目成绩一样，又因为成绩评定为“优秀〞、“合格〞、“不合格〞三种，所以最多有三个同学.假设有三个同学，那么三个人可以为 优秀、不合格， 合格、合格， 不合格、优秀.
故答案为：B.

【分析】根据题意即可得出最多有三个同学，结合题意逐一验证即可。
7.【解析】【解答】设直线 的方程为 ，由 ，进而可求出 的中点 ，又由 在直线 上可求出 ，∴ ，由弦长公式可求出 ．此题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自此题起运算量增大．
故答案为：C

【分析】 根据题意首先设出直线AB的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+×2的值，进而可求AB中M的坐标，代入直线x+y=0中求得b，进而由弦长公式求得|AB|.
8.【解析】【解答】根据题意曲线C的解析式为 那么方程 ，即 ，即 对任意 恒成立，于是 的最大值，令 那么 由此知函数 在〔0，2〕上为增函数，在 上为减函数，所以当 时，函数 取最大值，即为4，于是 ．
故答案为：B

【分析】 由平移规律得出平移后的曲线对应的解析式，因两曲线有交点，故相应方程有根，对方程(， 进行变形，得出v关于u的不等式，转化成恒成立的问题求参数v的范围.
二、多项选择题
9.【解析】【解答】A项,因为 ,当 时, ,
所以 是曲线 在点 处的切线.
当 时, ；当 时, ,
所以曲线 在点 附近位于直线 的两侧,结论正确；
B项, ,当 时, ,在 处的切线为 .
令 ,那么 ,
当 时, ；当 时, ,
所以 .故 ,
即当 时,曲线 全部位于直线 的下侧〔除切点外〕,结论错误；
C项, ,当 时, ,在 处的切线为 ,
由正弦函数图像可知,曲线 在点 附近位于直线 的两侧,结论正确；
D项, ,当 时, ,在 处的切线为 ,
由正切函数图像可知,曲线 在点 附近位于直线 的两侧,结论正确.
故答案为：ACD.

【分析】 首先求出曲线C在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小，由此对选项逐一判断即可得出答案。.
10.【解析】【解答】对于A，设 ，那么 ，
那么 且 ，所以 ，所以 是纯虚数，A符合题意；
对于B，假设 ， ，此时 ，但 ，B不符合题意；
对于C，假设 ，在复平面对应的点为 ，那么 ，在复平面对应的点为 ，所以 、 在复平面内对应的点关于实轴对称，C符合题意；
对于D，假设 ， ，那么 ， ，此时 ，但 、 的大小无法比较，D不符合题意.
故答案为：AC.

【分析】 由题意设， 由复数的乘法运算及性质可得， 即可判断出选项A；举出反例即可判断出选项B、D；由复数的何意义可判断出选项C，由此即可得出答案。
11.【解析】【解答】连接 ，设 ， .

因为平面 平面 ， ，所以 平面 .
又因为 平面 ，所以 .
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
设 ，在 中， ，
在 中， ，
所以 ，即 .
又因为 ，所以 .
故答案为：BC

【分析】 根据题意利用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，可得k=1，随着F点到C点
时，当C与F无限接近，不妨令二者重合，此时有CD=2，由此能求出k的取值的范围，从而即可得出答案.
12.【解析】【解答】设 ，
由 得 ，即 ， 是偶函数，
又 ，而 时， ，所以 ，
在 递增，那么其在 上递减，
化为 ，即 ，所以 ，解得 ，A、B均满足。
故答案为：AB．

【分析】设 ， 再利用偶函数的定义判断出函数g(x)为偶函数，再利用求导的方法判断函数的单调性，再利用偶函数的性质结合函数的单调性，进而解绝对值不等式求出实数t的取值范围，从而选出实数 的可能取值 。
三、填空题
13.【解析】【解答】设圆台的上下底面圆心分别为 、 ，在上下底面圆周上分别取点 ，
连接 、 、 、 、 、 ，如图，

设 ，那么 ，
所以 ， ，
由 可得 ，解得 ，
所以该球的半径 ，
所以该球的外表积 .
故答案为： .

【分析】 由条件即可得出，圆台的轴截面ABCD是球的大圆的内接等腰梯形，且球心在梯形上下底边的中点连线上O1 ， O2 ， 取球心为O，利用△AOO2与△DOO1用半径表示出梯形的高7，得到R的方程，求解即可.
14.【解析】【解答】当 时， ，
又因为函数 是定义在 上的偶函数，
那么 ，
，
因此， .
故答案为：0.

【分析】 根据条件关系得到当x≥0时，函数是周期为4的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可.
15.【解析】【解答】 ,
∴三角形 的内角 的平分线的方向向量为 ,直线的斜率为7，所以直线的方程为 ,即7x-y-17=0,
故答案为：7x-y-17=0.

【分析】 求出|AB|、|AC|的长，利用的坐标，进而得到直线的斜率，然后利用点斜式得到所求直线的方程。
16.【解析】【解答】解：由题意知： ,
那么 ，
解得： 或 ，
因为： 且 ， ，
综上得： ， ，
所以： .
故答案为：9.

【分析】 利用的公式代入数值计算出K的观测值K2 ， 利用K1≥6.635可得a的取值范围，再结合a>5且15-a>5，， 即可求出a的值.
四、解答题
17.【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系，对n赋值计算出结果即可。
(2)由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，从而求出数列的通项公式即可。
18.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合正弦定理变形，再利用同角三角函数根本关系式，从而求出 的值。
〔2〕由〔1〕知 ， 再利用两角差的正切公式结合均值不等式求最值的方法，从而求出 的最大值。
19.【解析】【分析】 (1)根据题意要证， 平面 平面 ，关键是找线面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理可知 平面 ；
(2)(i〕根据为定值可求出.的最大值，从而得到的最大值。
(ii)p取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，然后求出两法向量的夹角从而得到二面角的余弦值.
 
 
20.【解析】【分析】〔1〕根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出P〔X=60〕，P〔X=20〕，画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望；〔2〕先讨论，寻找期望为60元的方案，找到〔10，10，50，50〕，〔20，20，40，40〕两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决．
21.【解析】【分析】(1)利用双曲线的简单性质以及双曲线里的 a、b 、c 三者的关系，整理即可求出， 由此得出答案。
(2)法一： 〔2)由〔1〕知，双曲线E的方程为 ， 设直线[与x轴相交于点C，分与直线不与x轴垂直讨论，当轴时，易求双曲线E的方程为2.当直线！不与x轴垂直时，
设直线|的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由=8可证得：
双曲线E的方程为， 从而可得答案.
法二：由〔1〕知，双曲线E的方程为 ， 设直线[与x轴相交于点C，分与直线不与x轴垂直讨论，当轴时，易求双曲线E的方程为2.当直线！不与x轴垂直时，
设直线|的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由=8，再结合
直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当，整理得到， 由此求解出a的值，从而得到双曲线的方程。
22.【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导，再由导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，由此得证出结论。
(2)由条件分情况讨论： 当x>0时，“ 〞等价于“ 〞，“ 〞等价于“ 〞，令结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，从而得到即， 由此得到当且仅当 时，g〔x〕>0对任意 恒成立.当且仅当 时，g〔x〕